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Introduction a la Cryptologie Chapitre Groupes

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238 pages
Niveau: Supérieur, Master
Introduction a la Cryptologie Chapitre 7 : Groupes Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble) Annee 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2 document mis a jour le 7 juillet 2009FOURIERINSTITUTfi www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours _ crypto

  • applications en cryptographie

  • fourierinstitutfi www-fourier

  • groupes groupes cycliques

  • theoreme de lagrange

  • elements inverses


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Introduction a` la Cryptologie
Chapitre 7 : Groupes
Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)
Annee´ 2008-2009
IF / IMAG, Master 1, S1-S2
document mis a` jour le 7 juillet 2009
INSTITUTi f FOURIER
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours#cryptoSommaire
1 Groupes
2 Applications en cryptographie
3 Le theor´ eme` de Lagrange et applications
4 Groupes quotients dans le cas commutatif
5 ExercicesSommaire
1 Groupes et morphismes
Sous-groupes
Groupes cycliques
2 Applications en cryptographie
´ `3 Le theoreme de Lagrange et applications
4 Groupes quotients dans le cas commutatif
5 Exercices(G1 : associativite)´ 8a;b;c2G : (ab)c =a (bc)
(G2 : el´ ement´ neutre) 9e2G 8a2G : ae =ea =a
(G3 : el´ ements´ inverses) 8a2G 9b2G : ab =ba =e
Un groupe (G;) est dit commutatif (ou abelien´ ) s’il satisfait
(GA : commutativite)´ 8a;b2G : ab =ba:
Proposition
L’el´ ement´ neutre deG est unique ; l’el´ ement´ inverse dea dansG est unique.
Remarque
Pour un mono¨ıde (M;) on n’exige que les axiomes (G1) et (G2).
Par exemple (Z; +) est un groupe, alors que (N; +) n’est qu’un monoıde.¨
Groupes
Definition´
Un groupe (G;) est un ensembleG muni d’une application: GG!G,
´ ´notee (a;b)7!ab, verifiant les axiomes suivants :(G2 : el´ ement´ neutre) 9e2G 8a2G : ae =ea =a
(G3 : el´ ements´ inverses) 8a2G 9b2G : ab =ba =e
Un groupe (G;) est dit commutatif (ou abelien´ ) s’il satisfait
(GA : commutativite)´ 8a;b2G : ab =ba:
Proposition
L’el´ ement´ neutre deG est unique ; l’el´ ement´ inverse dea dansG est unique.
Remarque
Pour un mono¨ıde (M;) on n’exige que les axiomes (G1) et (G2).
Par exemple (Z; +) est un groupe, alors que (N; +) n’est qu’un monoıde.¨
Groupes
Definition´
Un groupe (G;) est un ensembleG muni d’une application: GG!G,
´ ´notee (a;b)7!ab, verifiant les axiomes suivants :
(G1 : associativite)´ 8a;b;c2G : (ab)c =a (bc)(G3 : el´ ements´ inverses) 8a2G 9b2G : ab =ba =e
Un groupe (G;) est dit commutatif (ou abelien´ ) s’il satisfait
(GA : commutativite)´ 8a;b2G : ab =ba:
Proposition
L’el´ ement´ neutre deG est unique ; l’el´ ement´ inverse dea dansG est unique.
Remarque
Pour un mono¨ıde (M;) on n’exige que les axiomes (G1) et (G2).
Par exemple (Z; +) est un groupe, alors que (N; +) n’est qu’un monoıde.¨
Groupes
Definition´
Un groupe (G;) est un ensembleG muni d’une application: GG!G,
´ ´notee (a;b)7!ab, verifiant les axiomes suivants :
(G1 : associativite)´ 8a;b;c2G : (ab)c =a (bc)
(G2 : el´ ement´ neutre) 9e2G 8a2G : ae =ea =aUn groupe (G;) est dit commutatif (ou abelien´ ) s’il satisfait
(GA : commutativite)´ 8a;b2G : ab =ba:
Proposition
L’el´ ement´ neutre deG est unique ; l’el´ ement´ inverse dea dansG est unique.
Remarque
Pour un mono¨ıde (M;) on n’exige que les axiomes (G1) et (G2).
Par exemple (Z; +) est un groupe, alors que (N; +) n’est qu’un monoıde.¨
Groupes
Definition´
Un groupe (G;) est un ensembleG muni d’une application: GG!G,
´ ´notee (a;b)7!ab, verifiant les axiomes suivants :
(G1 : associativite)´ 8a;b;c2G : (ab)c =a (bc)
(G2 : el´ ement´ neutre) 9e2G 8a2G : ae =ea =a
(G3 : el´ ements´ inverses) 8a2G 9b2G : ab =ba =eProposition
L’el´ ement´ neutre deG est unique ; l’el´ ement´ inverse dea dansG est unique.
Remarque
Pour un mono¨ıde (M;) on n’exige que les axiomes (G1) et (G2).
Par exemple (Z; +) est un groupe, alors que (N; +) n’est qu’un monoıde.¨
Groupes
Definition´
Un groupe (G;) est un ensembleG muni d’une application: GG!G,
´ ´notee (a;b)7!ab, verifiant les axiomes suivants :
(G1 : associativite)´ 8a;b;c2G : (ab)c =a (bc)
(G2 : el´ ement´ neutre) 9e2G 8a2G : ae =ea =a
(G3 : el´ ements´ inverses) 8a2G 9b2G : ab =ba =e
Un groupe (G;) est dit commutatif (ou abelien´ ) s’il satisfait
(GA : commutativite)´ 8a;b2G : ab =ba:Remarque
Pour un mono¨ıde (M;) on n’exige que les axiomes (G1) et (G2).
Par exemple (Z; +) est un groupe, alors que (N; +) n’est qu’un monoıde.¨
Groupes
Definition´
Un groupe (G;) est un ensembleG muni d’une application: GG!G,
´ ´notee (a;b)7!ab, verifiant les axiomes suivants :
(G1 : associativite)´ 8a;b;c2G : (ab)c =a (bc)
(G2 : el´ ement´ neutre) 9e2G 8a2G : ae =ea =a
(G3 : el´ ements´ inverses) 8a2G 9b2G : ab =ba =e
Un groupe (G;) est dit commutatif (ou abelien´ ) s’il satisfait
(GA : commutativite)´ 8a;b2G : ab =ba:
Proposition
L’el´ ement´ neutre deG est unique ; l’el´ ement´ inverse dea dansG est unique.Par exemple (Z; +) est un groupe, alors que (N; +) n’est qu’un monoıde.¨
Groupes
Definition´
Un groupe (G;) est un ensembleG muni d’une application: GG!G,
´ ´notee (a;b)7!ab, verifiant les axiomes suivants :
(G1 : associativite)´ 8a;b;c2G : (ab)c =a (bc)
(G2 : el´ ement´ neutre) 9e2G 8a2G : ae =ea =a
(G3 : el´ ements´ inverses) 8a2G 9b2G : ab =ba =e
Un groupe (G;) est dit commutatif (ou abelien´ ) s’il satisfait
(GA : commutativite)´ 8a;b2G : ab =ba:
Proposition
L’el´ ement´ neutre deG est unique ; l’el´ ement´ inverse dea dansG est unique.
Remarque
Pour un mono¨ıde (M;) on n’exige que les axiomes (G1) et (G2).