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´MEMOIRE
pr´esent´e pour obtenir
ˆ `LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER
´DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES
´DE l’UNIVERSITE PARIS-EST
par
Benoˆıt Daniel
`SURFACES A COURBURE MOYENNE CONSTANTE
´ ´ `DANS LES VARIETES HOMOGENES
Soutenu le 3 novembre 2010 devant un jury compos´e de
G´erard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier
´Fr´ed´eric Helein Professeur, Universit´e Paris Diderot
R´emi Langevin Professeur, Universit´e de Bourgogne
Frank Pacard Professeur, Ecole Polytechnique
Harold Rosenberg Professeur, IMPA - Rio de Janeiro
Etienne Sandier Professeur, Universit´e Paris-Est Cr´eteil
Rapporteurs
G´erard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier
William P. Minicozzi II Professeur, Johns Hopkins University
Antonio Ros Professeur, Universidad de GranadaRemerciements
J’aimerais tout d’abord exprimer toute ma reconnaissance a` Harold Rosenberg :
c’est lui qui m’a initi´e `a la g´eom´etrie riemannienne et j’ai beaucoup appris grˆace a` lui.
Sa fac¸on d’aborder les probl`emes est pour moi une grande source d’inspiration. Je le
remercie ´egalement pour ses encouragements constants.
Je suis tr`es honor´e que G´erard Besson, William Minicozzi et Antonio Ros aient
accept´e d’´ecrire les rapports de cette habilitation et je les remercie pour le temps et
l’attention qu’ils ont consacr´es `a cette taˆche. Merci ´egalement `a Frank Pacard pour
´ses conseils, `a Fr´ed´eric H´elein, R´emi Langevin, Etienne Sandier et a` nouveau a` G´erard
Besson, Frank Pacard et Harold Rosenberg d’avoir accept´e d’ˆetre membres du jury.
Mes remerciements vont aussi `a mes autres collaborateurs, Laurent Hauswirth,
William Meeks et Pablo Mira, ainsi qu’`a tous ceux, trop nombreux pour ˆetre cit´es,
avec qui j’ai eu le plaisir de discuter de math´ematiques ou d’autres choses.
Merci aux membres cristoliens du Laboratoire d’analyse et de math´ematiques ap-
pliqu´ees(LAMA)pourl’ambianceaussiamicalequepropice`alarecherchequir`egneau
laboratoireet`aClaudiaLouisonpoursonaidepourlestaˆchesadministratives.Jesalue
aussi les enseignants et personnels administratifs de l’UFR de sciences ´economiques et
de gestion de Cr´eteil ou` j’ai plaisir a` enseigner depuis cinq ans, ainsi que mes amis
et coll`egues que j’ai connus au cours de mon post-doctorat a` l’Instituto nacional de
matem´atica pura e aplicada (IMPA) en 2004-2005.
Je voudrais enfin remercier mes amis pour tous les moments de d´etente extra-
math´ematique et exprimer toute mon affection `a ma famille.
12Table des mati`eres
Introduction 5
1 Les vari´et´es riemanniennes homog`enes de dimension 3 11
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
31.2 Les vari´et´esE (κ,τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
21.2.1 Les vari´et´es produitsS (κ)×R : κ>0 et τ =0 . . . . . . . . . . 12
21.2.2 Les vari´et´es produitsH (κ)×R : κ<0 et τ =0 . . . . . . . . . 13
1.2.3 Les sph`eres de Berger : κ>0 et τ =0 . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Le groupe de Heisenberg Nil : κ =0 et τ =0 . . . . . . . . . . . 143
1.2.5 Le revˆetement universel du groupe de Lie PSL (R) : κ < 0 et2
τ =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.6 Mod`ele commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Ladiff´erentielle d’Abresch-Rosenbergetl’unicit´e dessph`eresCMCdans
3E (κ,τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Le groupe de Lie Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
32 Immersions isom´etriques dans les vari´et´esE (κ,τ) et applications aux
surfaces CMC 23
2.1 Un th´eor`eme d’immersions isom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Surfaces sœurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1 22.2.2 Surfaces minimales dans Nil et surfaces CMC dansH ×R . . 293 2
2.2.3 Surfaces jumelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 22.2.4 La famille associ´ee a` une surface minimale dansS ×R ouH ×R 30
2.3 G´en´eralisations et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Surfaces minimales dans le groupe de Heisenberg 35
3.1 L’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
6663.2 Construction d’anneaux minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Th´eor`emes du demi-espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Propri´et´es et classification des graphes minimaux complets. . . . . . . . 42
3.5 Construction de graphes minimaux dont l’image gaussienne est prescrite 44
4 Sph`eres a` courbure moyenne constante dans Sol 453
´4.1 Enonc´e des r´esultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 R´eflexion d’Alexandrov et probl`eme isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . 46
4.3 L’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Unicit´e des sph`eres CMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Existence et propri´et´es des sph`eres CMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Conclusion et r´esultats ult´erieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Liste des travaux pr´esent´es 55
4Introduction
L’objet de ce m´emoire est d’´etudier certaines propri´et´es des surfaces minimales ou
a` courbure moyenne constante (CMC) dans les vari´et´es riemanniennes homog`enes de
dimension 3.
Les surfaces minimales et `a courbure moyenne constante constituent un sujet
d’´etude classique en g´eom´etrie diff´erentielle faisant appel `a des techniques provenant
de disciplines tr`es diff´erentes, comme l’analyse complexe, le calcul des variations, la
th´eorie des ´equations diff´erentielles elliptiques, la th´eorie g´eom´etrique de la mesure, la
topologie, les syst`emes int´egrables, la g´eom´etrie alg´ebrique complexe, etc.
Cessurfacesinterviennentdansdesprobl`emesvariationnels:lessurfacesminimales
(c’est-`a-dire`acourburemoyennenulle)sontlespointscritiquesdel’airepourtoutesles
transformationsfixantleurbord,et plusg´en´eralement les surfacesa`courburemoyenne
constante sont les points critiques de l’aire pour les transformations fixant leur bord
et pr´eservant le volume renferm´e par la surface et une surface fixe donn´ee. Lorsqu’on
consid`ere une surface compl`ete sans bord, on demande que les petits domaines de
cette surface v´erifient ces propri´et´es. Les solutions du probl`eme isop´erim´etrique sont
´egalement des surfaces CMC.
3La th´eorie des surfaces minimales deR a d´ebut´e au dix-huiti`eme si`ecle avec les
travaux d’Euler, de Lagrange et de Meusnier. Euler a d´ecouvert le cat´eno¨ıde (surface
minimale de r´evolution) en cherchant la surface d’aire minimale s’appuyant sur deux
cercles parall`eles. Lagrange a ´etabli l’´equation que doit v´erifier une fonction f pour
que la surface d’´equation x = f(x ,x ) minimise l’aire. Meusnier a montr´e que les3 1 2
surfaces minimisant l’aire sont a` courbure moyenne nulle et a d´ecouvert l’h´elico¨ıde
(surface minimale r´egl´ee).
Au dix-neuvi`eme si`ecle, le physicien Plateau a montr´e exp´erimentalement l’exis-
tence de surfaces minimales, obtenues comme pellicules de savon s’appuyant sur un
contour. Par la suite, des math´ematiciens comme Riemann, Weierstrass, Enneper et
Schwarz se sont int´eress´es aux surfaces minimales. De nouveaux exemples ont ´et´e
d´ecouverts, et Weierstrass a obtenu une description des surfaces minimales en termes
de donn´ees m´eromorphes : c’est la (repr´esentation de Weierstrass ).
Dans la premi`ere moiti´e du vingti`eme si`ecle, les math´ematiciens se sont int´eress´es
au probl`eme de Plateau, c’est-`a-dire trouver une surface d’aire minimale d´elimit´ee par
une courbe ferm´ee donn´ee. L’existence d’une solution a ´et´e d´emontr´ee par les travaux
de Rad´o, Douglas et Courant notamment. Les probl`emes de r´egularit´e ont ensuite ´et´e
´etudi´es entre autres par Osserman, Gulliver et Hildebrandt.
5Plus r´ecemment, les recherches se sont focalis´ees sur les surfaces minimales sans
bordproprementplong´ees:constructiond’exemples(surfacesdeCosta-Hoffman-Meeks
[21, 37], h´elico¨ıdes de genre 1 [39, 35, 81], surfaces de Riemann de genre sup´erieur
[32], etc.), probl`emes de classification et d’unicit´e. Collin [18] a montr´e (utilisant aussi
d’autres r´esultats ant´erieurs, notamment [74, 36, 57, 51]) que le cat´eno¨ıde est l’unique
anneau minimal proprement plong´e, Meeks et Rosenberg [58] ont montr´e (utilisant
notamment la th´eorie de Colding-Minicozzi [14, 15, 16, 17]) que l’h´elico¨ıde et le plan
sont les seules surfaces minimales proprement plong´ees simplement connexes, et enfin
tr`es r´ecemment Meeks, P´erez et Ros [53] ont montr´e (´egalement a` l’aide de r´esultats
ant´erieurs) que les seules surfaces minimales proprement plong´ees de genre 0 avec une
infinit´e de bouts sont les exemples construits par Riemann.
3Parall`element, la th´eorie des surfaces CMC dans R , dans les autres vari´et´es `a
3 3courbure constante (sph`ere rondeS et espace hyperboliqueH ) ou dans une vari´et´e
ambiante quelconque, s’est aussi beaucoup d´evelopp´ee et constitue un th`eme de re-
cherche tr`es actif. Un th´eor`eme fondamental quinousint´eressera plusparticuli`erement
3 3 3est le th´eor`eme de Hopf : les seules sph`eres CMC (immerg´ees) dansR ,H ouS sont
les sph`eres rondes.
Nous allons maintenant nous int´eresser aux surfaces CMC dans les vari´et´es ho-
mog`enessimplementconnexesdedimension3.Onrappellequ’unevari´et´eriemannienne
est dite homog`ene si son grouped’isom´etries agit transitivement dessus,c’est-`a-dire si,
pour tout couple (p,q) de points, il existe une isom´etrie qui envoiep surq. Autrement
dit, toutes les r´egions d’une vari´et´e homog`ene sont ( semblables ). Ces vari´et´es sont
les plus simples a` ´etudier apr`es les vari´et´es a` courbure constante, et constituent un
cadre naturel pour ´etablir des r´esultats de classification et d’unicit´e de surfaces CMC
(a` isom´etries ambiantes pr`es).
Malgr´e quelques travaux importants sur le sujet [42, 26, 64, 30, 63], l’´etude des
surfaces CMC dans les vari´et´es homog`enes (autres que celles a` courbure constante) a
commenc´e `a devenir une th´eorie unifi´ee il y a moins de dix ans, avec les travaux de
Rosenberg [70], Meeks et Rosenberg [55, 54], et Abresch et Rosenberg [1, 2]. D’une
part, Meeks et Rosenberg ont construit des exemples et ´etudi´e la g´eom´etrie et la
topologie des surfaces minimales proprement plong´ees dans des vari´et´es produits de
la forme M ×R. D’autre part, Abresch et Rosenberg ont construit une diff´erentielle
quadratique holomorphe pour les surfaces CMC et ont montr´e l’unicit´e des sph`eres
2 2 2 2CMC (probl`eme de Hopf) dans les vari´et´es produitsS ×R etH ×R (ou`S etH
d´esignent la sph`ere de dimension 2 `a courbure constante et le plan hyperbolique), puis
3dans d’autres vari´et´es homog`enes de dimension 3 not´eesE (κ,τ).
Ces r´esultats ont attir´e l’attention de nombreux chercheurs vers ce sujet, notam-
ment [73, 34, 62, 24, 25, 4, 5, 77, 76, 7, 9, 82, 52, 68, 61, 40, 8]. C’est en particulier
2la th´eorie des surfaces minimales dans H ×R qui a permis a` Collin et Rosenberg
[20] de r´esoudre un important probl`eme ouvert portant sur les applications harmo-
2niques : ils ont construit un diff´eomorphisme harmoniqueC→H , contredisant ainsi
une conjecture de Schoen.
Dans ce m´emoire nous nous int´eresserons a` divers probl`emes relatifs aux surfaces
CMC dans les vari´et´es homog`enes de dimension 3 faisant appel a` des m´ethodes de
6r´esolution vari´ees.
Le chapitre 1 a pour but de pr´esenter les vari´et´es homog`enes que nous´etudierons :
3– d’une part les vari´et´esE (κ,τ), qui sont les vari´et´es simplement connexes dans
lesquelles le th´eor`eme d’Abresch-Rosenberg est valable; ces vari´et´es sont (outre
3 2 2R et les sph`eres rondes) les vari´et´es produitsS ×R etH ×R, le groupe de
HeisenbergNil munid’unem´etriqueinvariante`agauche,lerevˆetementuniversel3
de PSL (R) muni d’une m´etrique invariante `a gauche et les sph`eres de Berger,2
– d’autre part le groupe de Lie Sol .3
Nous exposerons ´egalement bri`evement le th´eor`eme d’Abresch-Rosenberg dans les
3vari´et´esE (κ,τ).
Au chapitre 2 (articles [D1, D2]), nousg´en´eraliserons la correspondance de Lawson
3aux surfaces CMC dans les vari´et´es E (κ,τ). (La correspondance de Lawson est une
correspondanceisom´etrique localeentresurfacesCMCdanslesvari´et´es dedimension3
a` courbure constante; elle est un outil fondamental pour construire des surfaces CMC
ayant des sym´etries.) Nous montrerons l’existence de correspondances isom´etriques
3locales entre les surfaces CMC dans les vari´et´es E (κ,τ) (( surfaces sœurs )). Nous
2 2montrerons aussi que les surfaces minimales dans S ×R et H ×R poss`edent une
famille associ´ee, c’est-`a-dire une famille `a un param`etre de d´eformations isom´etriques
minimales.
Pour cela, nous montrerons d’abord un th´eor`eme d’immersions isom´etriques dans
3les vari´et´esE (κ,τ), qui g´en´eralise le th´eor`eme classique selon lequel les ´equations de
GaussetdeCodazzi constituentunecondition n´ecessaire etsuffisantepourqu’unesur-
faceriemanniennepuisseˆetreimmerg´eeisom´etriquement(localement) dansunevari´et´e
de dimension 3 a` courbure constante. La d´emonstration de ce th´eor`eme repose prin-
cipalement sur des techniques de rep`ere mobile. Ce th´eor`eme a ensuite ´et´e g´en´eralis´e
dans d’autres contextes. La correspondance isom´etrique a ´et´e utilis´ee pour r´esoudre
3d’autres probl`emes dans les vari´et´esE (κ,τ), notamment un (probl`eme de Bonnet )
[27] et la famille associ´ee pour construire des surfaces minimales proprement plong´ees
2`a courbure totale finie dansH ×R [68, 61].
Au chapitre 3 (articles [D3, DH] et pr´epublication [DMR]), nousnousint´eresserons
13 3).CommedansR ,auxsurfacesminimalesdansle groupedeHeisenbergNil =E (0,3 2
lessurfacesminimalesdansNil sedistinguentbeaucoupdesautressurfacesCMC(par3
exemple il n’existe pas de surface minimale compacte dans Nil alors qu’il existe des3
surfaces CMC H compactes dans Nil pour tout H >0). Il existe aussi des h´elico¨ıdes3
et des cat´eno¨ıdes minimaux dans Nil .3
Nous ´etablirons tout d’abord une formule de repr´esentation ((de Weierstrass )) en
termes d’applications harmoniques a` valeurs dans le plan hyperbolique. Cette formule
est obtenue en ´ecrivant les ´equations relatives aux surfaces minimales a` l’aide de coor-
donn´ees conformes. Elle permet de construire des exemples explicites non triviaux et
d’utiliser la th´eorie des applications harmoniques pour ´etudier l’application de Gauss
des surfaces minimales.
En particulier nous pouvons construire des anneaux minimaux qui ne sont pas
de r´evolution. L’´etude pr´ecise de ces anneaux minimaux permet ensuite de montrer
un th´eor`eme ( du demi-espace vertical ) en utilisant la d´emonstration classique du
73th´eor`eme du demi-espace dans R due a` Hoffman et Meeks [38] qui repose sur le
`principe du maximum. A l’aide de ce th´eor`eme du demi-espace et de th´eor`emes de
convergence, nous montrerons que les graphes minimaux complets dans Nil sont en3
2fait des graphes entiers (c’est-`a-dire au-dessus deR tout entier).
Nous utiliserons ensuite ce r´esultat ainsi que la correspondance des surfaces sœurs
obtenue au chapitre 2 et la classification de Fern´andez et Mira [25] pour r´esoudre le
1 2probl`eme de Bernstein pour les surfaces CMC dansH ×R, c’est-`a-dire que nous2
1 2obtiendrons une classification de tous les graphes entiers CMC dansH ×R.
2
Nous montrerons ´egalement d’autres th´eor`emes du demi-espace pour les surfaces
minimales dans Nil et Sol en utilisant des anneaux compacts a` bord. La convergence3 3
de ces anneaux sera ´etudi´ee a` l’aide d’un th´eor`eme de type Collin-Krust [19, 48] sur
les graphes `a courbure moyenne prescrite ou d’un principe du maximum pour les
applications sous-harmoniques.
Enfin, au chapitre 4 (pr´epublication [DM]), nous nous int´eressons aux surfaces
CMC dans le groupe de Lie Sol . Ce groupe de Lie constitue une vari´et´e homog`ene3
simplement connexe de dimension 3 dont le groupe d’isom´etries est de dimension 3,
3et ainsi n’appartient pas a` la famille (E (κ,τ)). L’objectif est d’´etudier le probl`eme de
Hopf dans Sol , c’est-`a-dire de classifier les sph`eres CMC(immerg´ees) dans Sol . Deux3 3
difficult´es importantes apparaissent :
– la m´ethode utilis´ee par Abresch et Rosenberg pour r´esoudre le probl`eme de Hopf
3dansE (κ,τ) ne peut pas se g´en´eraliser a` Sol car ils ont montr´e qu’il n’existe3
pas de diff´erentielle quadratique holomorphe pour les surfaces CMC dans Sol3
3analogue a` celle deE (κ,τ),
– le probl`eme de l’existence-mˆeme de sph`eres CMC se pose : contrairement a` ce
3qui se passe dansE (κ,τ), pour une valeur H donn´ee de la courbure moyenne,
on ne peut pas calculer explicitement les sph`eres CMC H car il n’y a pas de
rotation dans Sol (on ne peut donc pas utiliser une m´ethode de s´eparation de3
variables et chercher l’´equation d’une courbe g´en´eratrice).
NotonsenrevanchequeSol poss`ededeuxfeuilletagesdontlesfeuillessontdesplans3
de sym´etrie, ce qui permet d’appliquer la technique de r´eflexion d’Alexandrov (plans
mobiles) et de montrer qu’une surface CMC compacte plong´ee est n´ecessairement une
sph`ere.
Dans un premier temps, nous´etudierons le probl`eme de l’unicit´e. Nous montrerons
qu’ilexiste, pourtouteslessurfacesCMCH,unediff´erentielle quadratiquesatisfaisant
l’in´egalit´e de Cauchy-Riemann (une condition plus faible que l’holomorphie) a` condi-
tion de supposer l’existence d’une sph`ere S CMC H dont l’application de Gauss estH
un diff´eomorphisme. Ceci permet ensuite de conclure que cette sph`ereS est l’uniqueH
sph`ereCMCH (a`translations pr`es).Remarquonsque,contrairement a`ladiff´erentielle
d’Abresch-Rosenberg, cette diff´erentielle n’est pas explicite : elle est d´efinie en termes
de l’application de Gauss de la sph`ereS .H
Nous´etudieronsensuitelaquestiondel’exitencedessph`eresCMC,parunargument
de d´eformation. Nous partons d’une solution du probl`eme isop´erim´etrique dans Sol3
`pour un petit volume : on obtient une sph`ere CMC H ou` H est grand. A l’aide du0 0
th´eor`eme des fonctions implicites et d’arguments portant sur les domaines nodaux des
8