Les calculatrices sont autorisées

Vincent

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
1/7 Les calculatrices sont autorisées N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. PROBLEME Notations et définitions Dans tout le problème, n et p désignent deux entiers naturels non nuls. ( ),n p CM désigne l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients complexes. ( )n CM désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes. In désigne la matrice identité d'ordre n. L'ensemble des entiers compris entre 1 et n sera noté a b1, n . On appellera matrice colonne d'ordre n toute matrice complexe à n lignes et 1 colonne. Ainsi, ( )1,n CM est l'ensemble des matrices colonnes d'ordre n. Soit ( )q qA ?N une suite de matrices de ( ),n p CM . Pour q?N, 1≤i≤n et 1≤j≤p, on appelle [ ],qA i j le coefficient sur la i-ième ligne et la j-ième colonne de la matrice Aq. On dira qu'une telle suite ( )q qA ?N converge vers la matrice [ ]( )11, i nj pB B i j ≤ ≤≤ ≤= de ( ),n p CM lorsque : a b a b [ ] [ ]1, , , , lim , ,qqi n j i p A i j B i j?∞? ?

• longueur des segments et de la matière de la tige


• ?? ??


• tige


• tige homogène


• langages de calcul formel du programme


• ?? ??


• s? ?


• matrice colonne

Sujets

• Vecteur colonne

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Extrait

Les calculatrices sont autorisées N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. PROBLEME Notations et définitions Dans tout le problème,netpdésignent deux entiers naturels non nuls.M ( C ) désigne l’ensemble n,p fficients complexes. ne l’ensemble des des matrices ànet lignes p colonnes à coe M n ( C )  désig matrices carrées d’ordrenà coefficients complexes.I n désigne la matrice identité d’ordren. L’ensemble des entiers compris entre 1 etnsera noté1,n. On appellera matrice colonne d’ordren toute matrice complexe àn lignes et 1 colonne. Ainsi, Mest l’ensemble des matrices colonnes d’ordren. n,1 ( C ) trices deM C. Pourq∈N, 1≤i≤net 1≤j≤p, oni jle Soit ( A q ) une suite de ma n,p ( ) appelleA q [ , q∈N coefficient sur lai-ième ligne et laj-ième colonne de la matriceA q . =jdM Clorsque : On dira qu’une telle suiteA ) converge vers la matriceB B [ i, ) 1≤i≤n e n,p ( ) q q∈N 1≤j≤p ∀i∈1,n,∀j∈i,p, limA i,j=B i,j. q q→∞ On notera dans ce cas=limA. Par exemple, si on pose pour tout entierq>0 : q q→∞     1 −q cose     q     A= , q   2q 1   1+q   alors :  1 0   1  −q 2q A,1=co,A [ 1,2 = e,A [ 2,1 = 1,A [ 2,2 ] =etlimA=. q [ 1 ] s   q qq q   q1+q1 2 q→∞    

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Préliminaire On détermine dans ce préliminaire trois résultats qui seront utiles pour les questions 6 et 7 de la partie I. Pour la questionP.1, le détail des calculs devra figurer sur la copie.Pour les questionsP.2etP.3, on pourra faire usage de la calculatrice et ne mentionner que les résultats intermédiaires utiles. On définit les trois matricesA 1 ,A 2 etA 3 par :  1 1    1     4 0 14 2 2  3 2i6i      3 1   2 3 3     A=6 , A= −2i3 7 (oùi= −et1 ) A=1 . 123       2 22 2   2i−2−5       7 −1−1−1 −1 0−       2   P.1 – Donner les valeurs propres deA 1 et justifier queA 1 est diagonalisable. P.2 – Donner les valeurs propres deA 2 et justifier queA 2 est diagonalisable. P.3 – Justifier queA 3 diagonalisable, et donner une matrice inversible est P, une matrice −1−1 diagonaleDtelles que P A P=D . Déterminer P . 3 Partie I Généralités sur les suites matricielles. Etude du cas diagonalisable 1 – SoientSetTdeux matrices deM Cet soientVe n,p ( ) ( q ) t ( W ) , deux suites de matrices de q q∈Nq∈N M convergentes respe n,p ( C ) ctivement vers les matricesSetT, et soitλ∈C. Prouver alors que la suite ( V+ λW ) converge versS+λT. q q q∈N 2 – Soitrun entier naturel non nul et :  une suite de matrices de M C , convergente versS; • ( V q ) n,p ) q∈N •Wune suite de matrices de M C , convergente versT. ( q ) p,r ( ) q∈N Prouver alors que la suitWest e ( V q q ) convergente versST. q∈N une matrice de M C e de matrices dee si . Déduire d 3 – SoitB n ( ) u I.2 quA q )  est une suit q∈N M ( C ) , convergente vers B , et si P  est une matrice inversible d’ordre n , alors la suite n −1 −1 ( P A P ) converge vers P BP . q q∈N Prouver également que si X et Y sont deux matrices colonnes d’ordre n , alors la suite de matrices +Y converge vers X+Y . colonnes ( A q X ) q ∈ N

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4 – On suppose, dans cette question 4 seulement, que Aest une matrice carrée diagonale d’ordren, de coefficients diagonauxλ 1 ,…,λ n (qui peuvent être complexes) :  λ ( 0 )  1   A=%.     ( 0 )   n q Pourq∈N,Adésigne laq-ième puissance deA: 0  A=I  n .  q+1q ∀q∈N,A=A.A  q On s’intéresse alors à la suite ( A ) des puissances deA. qN q 4.1 – Prouver que si pour tout∈on aλ <1, alors l i1,n i a suite ( A ) converge. Quelle est q∈N sa limite ? q 4.2 – Prouver∈e1 que s’il existei1,ntel quλ i >, alors la suite ( A ) ne converge pas. q∈N q λ 4.3 – Soitλun nombre complexe de module 1 tel que la suite de nombres complexes ) q∈N converge vers un nombre complexez. 4.3.1 – Justifier quez≠0. q+1 λ = 4.3.2 – En remarquant que la suiteλ ) converge aussi versz, montrer que1. qN q 4.3.3 - En déduire que la suite de matricesA ) converge, si et seulement si : q∈N ∀i∈1,n,λ <1 ouλ =1 ) . i i 5 – Montrer que siA ∈M ( C ) est une matrice carrée diagonalisable, dont chaque valeur propreλ n q vérifieλ <1, alors la suite ( A ) converge vers la matrice nulle. q∈N q q q 6 – Déterminer si les suites de matricesA, tAet donner leurs convergent 1 ) ( A 2 )  e 3 ) qNqNqN limites éventuelles (lesA i sont les trois matrices définies dans la partie préliminaire).On pourra faire usage de la calculatrice. 7 –Les résultats de cette question 7 ne sont pas utilisés dans la suite du problème. λ 7.1 – Soit une matrice carréeAd’ordre diagonale n, de coefficients diagonaux 1 ,…,λ n . q 1 k ∑ Montrer que la suite de matrices ( q q S ) définie par : S=A a une limite, notée q∈N k=0 k! exp ( A ) , qu’on déterminera.

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−1 7.2 – Montrer que siAune matrice carrée diagonalisable avec est A=PDP, oùDune est matrice diagonale (d’ordren) etP∈GL C , alorsS n ( ) la suite ( q ) par définie q∈N q 1 k 1 ∑ S q =A converge vers une matrice notée exp ( A ) , et que : exp ( A ) =Pexp ( D ) P . k=0 k! 7.3 – CalculerexpAo définie dans le préliminaire (on pourra utiliser la calculatrice ( 3 ) ùA 3 est pour faire certains produits matriciels). Partie II Suites arithmético-géométriques matricielles Etant donnéesA∈M CetB∈iceséfinit par récur n ( ) M n,1 ( C ) rence une suite, on d ( X )  de matr q q∈N colonnes d’ordrenpar :  est une matrice colonne donnée d'ordren  0 .  ∀q∈N,X=AX+B  q+1q  On suppose de plus que 1 n’est pas valeur propre deA. 1 – Montrer queA−Iest inversible. n 2 – Démontrer qu’il existe une unique matrice colonneS,telle que AS + B = S . 3 – Prouver alors que : q qN,− + . ∀ ∈X q =A ( X 0 S ) S 4 – En déduire que siAdiagonalisable et si toutes les valeurs propres est λ deA vérifientλ <1, alors : lim=S . q q→∞ Partie III Application à la diffusion de la chaleur dans une tige On considère, dans cette partie, une tige homogène découpée enn+2 petits segments de longueurs identiques, numérotés de 0 àn+1. 1n n+1

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On suppose les segments assez petits pour considérer la température comme constante sur chacun d’entre eux à un instant donné. On appelleF ( k,t ) température à l’instant la t≥0 du segment numérotékavec k ∈0, n +1. On fait les hypothèses suivantes : •Après un intervalle de tempsτ > 0(caractéristique de la longueur des segments et de la matière de la tige) la température à l’instantt+τ,d’un segment autre que les deux segments extrêmes, a pour température la moyenne des températures à l’instanttdes deux segments adjacents : + 1 ∀t∈R,∀k∈1,n,F ( k,t+ τ ) =F ( k−1,t ) +F ( k+1,t )  . a b  2 •segment numéroté 0 est maintenu à la température de 20° C et le segment numéroté Le n+1 est maintenu à la température de 100° C : + ∀t∈R, ( F ( 0,t ) =20 etF ( n+1,t ) =100 ) . •On suppose enfin qu’à l’instant 0 le segment numérotén+1 est à la température de 100° C et que tous les autres sont à la température de 20° C : ∀ k∈0,n,F ( k,0 ) =20  .  F ( n+1,0 ) =100   1 – Donner une matrice carréeAd’ordren, et une matriB∈M Ctels que : ce colonne n,1 ( )  F1,t+ τ )   F ( 1,t )  +     ∀t∈ R,# =A # +B.         F ( n , t+ τ ) F ( n , t )     2 – Pourq∈N, on définit la matrice colonneX q par :  F1,qτ )    X q =#.     F ( n,q )   Justifier alors que pour tout entier naturelqon a :=AX+B. q+ 1 q 3 – On supposen= 4 dans cette question. 3.1 – Ecrire dans l’un des langages de calcul formel du programme (MAPLE ou MATHEMATICA par exemple) une procédure permettant de calculerX q en fonction de q.On indiquera le langage utilisé. 3.2 – Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur numérique deX 10 . On donnera le résultat -1 avec une précision de 10 sur chaque coordonnée. 4 – Soitω∈R. On noteUla matrice colonne :

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 sin ( ω )    sin ( 2 )   = U ω .   #   sin ( nω )   4.1 – Prouver que : U=0⇔sin ( ω ) =0 . ω On supposera par la suite quesin ( ω ) ≠0. = λ ωλ = 4.2 – Montrer que siλest un réel tel queAU U ω , alors cos ( ) . ω∈ π 4.3 – Réciproquement, donner les valeurs de 0, [ pour lesquelles AU ω =cos ( ω ) U ω . 4.4 – En déduire queAest diagonalisable et donner une matrice inversibleP∈R GL n ( ) et une −1 matrice diagonale D∈M ( R ) , telles queP AP=D. n Justifier que les valeurs propres deAappartiennent à ]-1,1[. 5 – A l’aide de la partie II, justifier qu’il existe une unique matrice colonneStelle queS=AS+B, puis quelim=S. Quelle interprétation physique pouvez-vous donner deS? q q →∞ 6 – Déterminer explicitementS. Interprétez le résultat. Partie IV Etude de la suite des puissances d’une matrice réelle A désigne, pour toute la suite, une matrice carrée réelle d’ordren. On appelle (E 1 ,…,E n ) la base n 2 canonique de M R . On munit M R de son produit scalaire usuel ; on note =x la n , 1 ( ) n , 1 ( ) i i =1   1   norme de la matrice colonne X=# et ( Y ) le produit scalaire des matrices colonnesXetY.      n  t t On notera que ( Y ) =XY(Xdésigne la transposée deX). q q utk∈1,n, la sui 1 – Montrer que la suite ( A ) teconverge si et seulement si pour to ( A E k ) q∈NqN de matrices colonnes converge. q On pourra introduire les colonnesC ( q ) , ..., C q ) de la matriceA. 1n q 2 – En déduire que la suite ( A ) si et seulement si pour toute matrice colonne converge q∈N q X∈ M ( R ) la suite de matrices colonnes ( A X ) converge. n,1 q∈N 3 – Démontrer que :

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q ∀ ∈ M R ,AX≤k X, alors la suite 3.1 – S’il existek∈ [ 0,1 [ tel que n,1 ( ) ( A ) converge q∈N vers la matrice nulle. q q établir que On pourra∀ ∈M ,1 ( R ) ,∀q∈N,A X≤k X. n q existe∈ +∞ [  t n,1 ( ) 3.2 – S’ilk1,el que∀ ∈M R,AX≥k X, alors la suite ( A )  ne q∈N converge pas. 2 4 – Pour toute matrice colonne X∈M ( R ) , on poseϕ ) =AX. Soitg l’endomorphisme n,1 t associé àAA. Montrer que : t t ∀ ∈M ( R ) ,ϕ ( X ) =X AAX=X g ( X ) ) . n,1 t 5 – Justifier queAAest semblable à une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux seront notésλ 1 ,…,λ n . e sorte que pour tout 6 – Prouver qu’il existe une base orthonormaleB=(u 1 ,…,u n ) deM n,1 ( R )  d vecteurXde coordonnées (y 1 ,…,y n ) dansBon ait : n 2 ∑ ϕ ( ) = λ i y i . i=1 En déduire que lesλ i sont tous positifs ou nuls. 7 – On pose désormaisk=minλetk=maxλ. Prouver à l’aide de la question 3 que : 0i1i 1≤i≤n 1≤i≤n q 7.1 – Sik 1 < 1, alors la suite ( A ) converge vers la matrice nulle. q∈N q 7.2 – Sik 0 > 1, alors ( A ) ne converge pas. q∈ N n reprend la suite ie dans la partie II, et on supp 8 – O ( X q ) défin ose quek 1 < 1. Montrer que 1 q∈N q n’est pas valeur propre de A et que pour tout entier q on a : −S≤k X−S . q ( 1 ) 0 9 – On reprend les notations de la partie III, avecn= 4. Déterminer à l’aide de la majoration ci- dessus un entier 1 q 0 tel que pourq≥q 0 on aitX q −S≤. En déduire que pourq≥q 0 et pour tout k∈1,non aS1F k,1 k − ≤ ( qτ ) ≤S k +(lesS k désignent les coordonnées deS). Interpréter ce résultat. Fin de l’énoncé

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