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Licence de Mathematiques

3 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence de Mathematiques, annee 2010-2011 5MT02 Feuille d'exercices 1 Theorie des ensembles, relations d'equivalence. 1. Soit X et Y deux ensembles, f : X ? Y une application, et A ? X et B ? Y . Simplifier les deux expressions : f(f?1(f(A))) et f?1(f(f?1(B))). 2. Soit f : X ? Y une application. Montrer que (a) f est injective ? ?A ? X f?1(f(A)) = A. (b) f est surjective ? ?B ? Y f(f?1(B)) = B. 3. Soit X, Y et Z trois ensembles. (a) Soit f : X ? Y et g : Y ? Z deux appli- cations. Montrer que si l'application com- posee g ? f est injective, alors f est injec- tive, puis montrer que si l'application g ? f est surjective alors g est surjective. (b) Soit f : Y ? X et g : Z ? X deux applica- tions. Montrer qu'il existe une application h : Z ? Y telle que g = f ?h si et seulement si on a g(Z) ? f(Y ). A quelle condition h est-elle unique ? (c) Soit f : X ? Y et g : X ? Z deux applica- tions.

  • relation d'equivalence

  • composition des applications notee

  • application lineaire entre e˜

  • e˜ ?

  • bijec- tion

  • classe d'equivalence

  • tables des operations dans z


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LicencedeMath´ematiques, anne´e2010-2011 5MT02
Feuille d’exercices 1 Th´eoriedesensembles,relationsd´equivalence.
1. SoitXetYdeux ensembles,f:XYuneDeux ensemblesXetYstnetopiuqe´tnos application, etAXetBY.e^emltmeslnotsiiemenseulsiet 1 Simplifier les deux expressions :f(f(f(A))) etcardinal. 11 f(f(f(B))). (a)Quelsensdecette´equivalenceest-iltrivial 2. Soitf:XYune application.?Montrer que 1suppose(b) OnXYet #Y#X. (a) fest injective⇔ ∀AX f(f(A)) =A. i. Montrerqu’il existeZXopetqeiu´tn 1 (b) fest surjective⇔ ∀BY f(f(B)) =B. a`Y. Onnote alorsg:YZune bijection. 3. SoitX,YetZtrois ensembles. ii. SoitC0=Y\Xque. MontrerC0(a) Soitf:XYetg:YZdeux appli-g(C0) =. cations. Montrerque si l’application com-Onde´nitparre´currenceCk, pourkpose´egfest injective, alorsfest injec-0, en posantCk+1=g(Ck). tive, puis montrer que si l’applicationgf iii. Montrerque pour toutnet toutk < n est surjective alorsgest surjective. , on aCnCk=. (b) Soitf:YXetg:ZXdeux applica-On poseC=CketD=k1Ck. kN tions. Montrerqu’il existe une application iv. MontrerqueY\C=X\D. h:ZYtelle queg=fhsi et seulement v. Montrer queh:YXeniepar´d si on ag(Z)f(Y). h(x) =g(x) sixCeth(x) =xsinon, ` A quelle conditionhest-elle unique ? est une bijection. (c) Soitf:XYetg:XZdeux applica-(c)Traiterlecasge´ne´ral. tions. Montrerqu’il existe une application 6. Soit{Ei}une famille d’ensembles h:YZtelle queg=hfsi et seulementiN 0 0 d´enombrables.OnposeE=Enpose. On six, xXon a :f(x) =f(x)g(x) = 0 F0=E0d´enit,etonFnruercneepra´rcen g(x). n1 posantFn=En\ ∪ `k=0Ek. A quelle conditionhest-elle unique ? (a) Montrerque les (Fn)nNux`antdeosdeux 4. Soitf:XYune application. disjoints. (a)Montrerl´equivalencedesproprie´te´ssuiv-(b) MontrerqueE=Fn. antes :”il existeg:YXtelle que Ond´esigneparfnune injection deEndans fg=IdY” et ”fest surjective”. Nond´enit.Etf:EN×Npar (b)Montrerle´quivalencedesproprie´t´essuiv-f(x) = (n, f(n`u,o))nest tel quexFn. antes :”il existeg:YXtelle que (c) Montrerqueflisqtugatibienestnieed´egf=IdX” et ”fest injective”. d’une injection. Soit deux ensemblesXetYeriude´deuq.End)(Elb,euqeed´tosnebmar lensembledespolynoˆmesa`coecientsen-5.nDs:itio´en tiersestd´enombrable,quelensembledes -On dit queXetYe´uqostnisexilstsenotip-cejibenuet parties finies deN-enetleabbromne´dtse tion deXsurY. 1 nquelensembledesnombresalge`briques -On dit queXa un plus petit cardinal queYs’il existe estd´enombrable. une injection deXdansY. On note alors #X#Y. -On dit queXetYnoacemeˆmtsialinrd#X#Yet7. SoitAsndelembr´esbrompmocsleeertnesirlnees #Y#X.tnoceneitntnomsnorecicsuonetscerexanDdont0et1evelled´emtnpoepmliela´dce th´eor`emedeCantor-Bernstein:quedes1etdes8. 1 Onrappellequunr´eelxse´ieqeuleesunirltalge´setbrlopnudenicartseencieco`ameˆoynlin.sSitrestneriqug`ebasalestp transcendant.
(a) Montrerque l’on a #N#A. 13.Lemme des bergers On suppose queAt`aotenquipste´eNSoit. SoitXetYOn suppose quedeux ensembles.X ´ fune bijection deNsurAtacilppanoinontstiatEon.ceuned`ernee´inenotdsf:Xun entierntlasuiteond´eni,(an,k)Y. kNX 1 parf(n) = 0, an,1∙ ∙ ∙an,k∙ ∙ ∙. OnCard(X)= Card(pose alorsMontrer que :f(y)). x= 0, a1,1a2,2∙ ∙ ∙an,n,∙ ∙ ∙ety= 1x.yY (b) Montrer quexetyx´eltdeuntsd´emeesno 14. On reprend les notations de l’exercice 12 et on A. suppose queEetFsont des espaces vectoriels, queEest de dimension finie et quefest une ap-(c)Quellienexiste-t-ilentrelesde´cimalesdex plicationlin´eaire.Onconside`re{e1,∙ ∙ ∙, ek}une et celles dey? base de kerfoleuqe`lpmocnrpate{f1,∙ ∙ ∙, fl} (d) SoitpNtel quef(p) =yles. Comparer pour obtenir une base deE. ie`me pealedecimd´xet deypeut on en. Que ˜ conclure ?(a) MontrerqueEettˆmureeupcurt-dinsenu ture ”naturelle” d’espace vectoriel.Montrer (e) MontrerqueRest un ensemble qui n’est pas ˜ qu’alorsfreeenteairlin´enoitacilppaenuts d´enombrable. ˜ EetF. ˙ 8. (a)Montrer que le produit fini d’ensembles(b) Montrerque 0E= kerf. de´nombrables(´equipotents`aunepartiede ˙ ˙˜ (c) Montrerque{f1,∙ ∙ ∙, fl}est une base deE. Ndte´)see.rablnomb (d)D´emontrerlethe´ore`medurang. N (b) MontrerqueN, l’ensemble des suites 15.Extrait du partiel de novembre 2008 dentiers,nestpasde´nombrable. Onconsid`eresurRla relationRduoreip,e´n9. Montrer que l’ensemble des nombres transcen-xRetyRparxRy(yx)Z. dantsnestpasde´nombrable. (a)Ve´rierqueRest une relation 10. SoitXetYenuxdeselbmeseˆmedsinelcn.enO´qeiuavdtaecenom-irdarxla classe nal. Montrerque pour une applicationf:Xcneledeqe´aviudxRpour cette rela-Yt,eontiteet´vitiecnji,e´tivitcejib,spri´et´etroisprolseR/Zl’ensemble quotient deRpar surjectivite´,sonte´quivalentes.R. (b) Expliciter0, puis exprimerx+ 1,ainsi que 11. SoitE´dnOinerustneuemnse.blP(E), (x), en fonction dex. l’ensemble des parties deE, les relationsR1et (c) Montrer que pour toutxRl’ensemble R2par :AR1Bsi #A#BetAR2BsiAest x[0,1[ est un singleton.On noterarxson ´equipotent`aB. unique´ele´ment. (a) MontrerqueR1n’est pas une rela-(d) Montrerque l’applicationϕ:R/Z7→[0,1[, tion d’ordre et queR2est une relation d´enieparϕ(x) =rxest une bijection. d´equivalence.2 (e) Montrer que pour tout (x, y)Ron a : (b)De´crirelesclassesd´equivalencedeR2x+y=rx+ry. lorsqueE=R. 16. Soitn2esurd`ernoisO.cnitrenuneZla re-12. SoitEetFdeux ensembles, et soitf:EFlaee´tonetnavius.noite´eelpptaecongruence Ond´enitsurEla relationRsuivante :modulonuqeits´deinperaetab⇔ ∃kZba=kn. xEyE xRyf(x) =f(y). (a) Montrerqu’il s’agit d’une relation de´quivalencesurZessal´ePr.acrlseci (a)V´erierqueRest une relation de´quivalencede0etdunentierquelconque de´quivalence. aZ. ´ Etantdonne´xE, on notexclasse˙ sa d´equivalencepourcetterelation.(b)MontrerquepourtoutaZil existe un uniquer=radans{0,1,∙ ∙ ∙, n1}tel que (b) Quepeut-on dire de ces classes ar(modn). d´equivalencesifest injective ? (c)D´eterminerlecardinaldelensemblequo-(c) Montrer que pour toutxEon ax˙ = tientZ/´eton,Z/nZ. 1 f(f(x)). (d) Montrerqueest compatible avec ˜ ˜ Onde´nitsurE:=E/Rla fonctionfpar l’addition et la multiplication surZ. ˜ f(x=˙ )f(x). (e)Ond´esigneparaecedlaneusqaveisaldlec´ ˜ (d) Montrerquefbiend´enie.tse aZdansZ/nZqu’il existe sur. Montrer 2 ˜ ˜ˆ (e) Montrer quef:Ef(E) est une bijec-Z/nZtira´eopneuqeeuno+etll(a, b)Z, ˆ tion.a+b=a+b.