Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
LICENCE DE MATHEMATIQUES Automne 2010 ANALYSE 1 Universite de Nice Sophia Antipolis CORRIGE DE L'EXAMEN Exercice 1 On renvoie au cours. Exercice 2 Un simple calcul montre que f ?(x) = cos(x)esin(x), g?(x) = 2x cos(x4)? 4x5 sin(x4), h?(x) = ?ex (1 + ex)2 . Exercice 3 On a I1 = ? ∫ pi 4 0 ? cos?(x) cos2(x) dx = [ 1 cos(x) ] pi 4 0 = √ 2? 1 Pour calculer I2, on procede a une integration par parties : I2 = ∫ pi 2 0 x sin?(x)dx = [x sin(x)] pi 2 0 ? ∫ pi 2 0 sin(x)dx = pi 2 + [cos(x)] pi 2 0 = pi 2 ? 1. Exercice 4 On a sin(x) = x? x3 6 + o0(x 3) et cos(x) = 1? x2 2 + o0(x 2). Par suite, x cos(x) = x? x 3 2 + o0(x 3) et pour x 6= 0, on a sin(x)? x cos(x) x3 = 1 2x 3 ? 16x 3 + o0(x3
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