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Licence de Mathematiques Fonction digamma

7 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nancy Licence de Mathematiques Fonction digamma Rappel : on a vu en exercice que la fonction ?, definie sur ]0,+∞[ par ?(x) = ∫ +∞ 0 e?ttx?1 d?(t). verifie ?n ? N ?(n+ 1) = n!. On ne demande pas ici de redemontrer ce resultat, mais vous devez savoir le faire. Pour x > 0 on pose ?(x) = ∫ +∞ 0 (e?t t ? e?xt 1? e?t ) dt. 1. Verifier que ? est bien definie et est continue sur ]0,+∞[. Indication : on pourra d'abord se placer sur un intervalle [a, b], avec 0 < a < b < +∞. 2. Montrer, pour x > 0, l'identite ?(x+ 1) = ?(x) + 1x . 3. (a) Montrer que pour tout x > 0, on a limk?+∞ k?N ?(x+ k)? ?(k) = 0. (b) Montrer que pour tout x > 0, ?(x+ 1) = ?(1) + +∞∑ i=1 (1 i ? 1 x+ i ) .

  • cependant ∫

  • continuite de ?

  • verifie ?n ?

  • e?t ?

  • e?t ? e?ut

  • preuve de l'identite ∫

  • theoreme de convergence dominee

  • dt


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UniversitedeNancy
LicencedeMathematiques
Fonction digamma
Rappel:onavuenexercicequelafonction,deniesur]0,+[ par Z +t x1 (x) =e t d(t). 0 verienN(n+ 1) =n!. Onnedemandepasicideredemontrerceresultat,maisvousdevezsavoir le faire. Pourx >0 on pose
Z µ +∞ txt e e (x) =dt. t t1e 0 1.Verierquetseneibnieuus]r0denieetestcont,+[. Indication : on pourra d’abord se placer sur un intervalle [a, b], avec 0< a < b <+. 1 2. Montrer, pourx >tienet0,idl(x+ 1) =(x) + . x lim 3. (a) Montrer que pour toutx >0, on a(x+k)(k) = 0. k+kN (b) Montrer que pour toutx >0, +µ ¶ X 1 1 (x+ 1) =(1) +. i x+i i=1
4.
(a) Montrer que pour tout entier naturel non nulk, on a Z +∞ t e k t dt=(k+ 1)k!. t 1e 0 (On rappelle que la fonctionru,eeopeditnss >1, par P s (s) =n.) n1 (b)Endeduirequepourx]1,1[, on a +X k+1k (1 +x) =((1) + 1)(k+ 1)x . k=1
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