Licence de Sciences et Technologies

Jean - Franc¸Ois Havet

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence de Sciences et Technologies Mathematiques Unite SC L4 MT 02 ALGEBRE III Jean-Franc¸ois Havet Universite d'Orleans, Departement de Mathematiques B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France Janvier 2008

• orthogonalite dans les espaces prehilbertiens


• espaces vectoriels de dimension finie


• ?? lim


• scalaire ?


• groupe des matrices inversibles de mn


• base canonique de kn

Informations

• Publié par: vehot
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français

Extrait

Licence de Sciences et Technologies

Math´ematiques

Unite´SCL4MT02

ALGEBRE III

Jean-Fran¸coisHavet

Universit´ed’Orle´ans,De´partementdeMathematiques ´ B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France

Janvier 2008

Tabledesmati`eres 1 Dual d’un espace vectoriel 1 1.1. Rappels et notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1 1.2. Espace dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2 1.3. Hyperplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4 1.4. Base duale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.5. Transposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 8 2Alge`brebilin´eaire10 2.1.Formesbiline´aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 10 2.2. Formes quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13 2.3. Orthogonalite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 ´ 2.4.Formesnonde´g´en´erees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 18 ´ 2.5. Bases orthogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 2.6.Re´ductiondesformesquadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 3 Espace Euclidien 28 3.1. Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 28 3.2.Orthogonalite´danslesespacespr´ehilbertiensre´els. . . . . . . . . . . . . .32 3.3. Adjoint d’un endomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 36 e 3.4. Endomorphisme sym´trique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 38 3.5. Endomorphisme orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 3.6.Formere´duited’unendomorphismeorthogonal. . . . . . . . . . . . . . . .43 4 Applications 48 4.1.Endomorphismessyme´triquesetformesquadratiques. . . . . . . . . .. . 48 4.2.Polynˆomesorthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 4.3. Coniques et quadriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Index 55 i

1 Dual d’un espace vectoriel Dans toute cette partieKesd´neig.fittamuomscrpcounra

1

1.1. Rappels et notations •SoientFetGdes sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE. On dit queG est unsupplementairedeFdansEsiE=F!G. ´ • vectoriel admet au aceun espace vectoriel (de dimension finie), tout sous-espDans moins un supplementaire. ´ •SoitEun espace vectoriel de dimension finienetB= (e 1 , . . . , e n  base de) uneE. n Tout vecteurx"Euein`irerualuqsecomped´eemanosedssebaB, enx= ! ! i e i i=1 etonpeutconsid´ererlamatrice-colonnedescoordonne´esdexdans la baseB: on note Mat B (x) = $ # " ! ! . 1 % ' & "M n ,1 (K) . n •Soitn"N ! e´xfi(arsponergnise´dsuoN." 1  . . ,, ." n ), labase canoniquedeK n . Rappelons que la famille (" j ) j=1∙∙∙n r:paiefinsedte´ " 1 = (1,0, . . . ,0) ," 2 = (0,1,0, . . . ,0) ," j = (0, . . . ,0,1,0 . . ,, . 10) le e´tanta`laj eme` place," n = (0 . . ,, .0,1) . n On a donc (x 1 , x 2  . . , x, . n ) =x 1 " 1 +x 2 " 2 +∙ ∙ ∙+x n " n = ! x i " i . i=1 Lelecteurremarqueraquecettenotationpeutdevenirambigu¨esionnepre´cise pas clairement l’entierntse’c,’lerida`leilar:pnalsqeeuoltnaravespacevectorield exemple" 1 perse´retne1(,0) dansK 2 (1ente´rsertpee,0,0,0) dansK 4 . •Soientmetnfiesx´dansN ! sdou.Nnopsra(e´isngreE i j ) (i, j)"[1, m] N #[1, n] N , labase canoniquedeM m, n (K),vecepaesldieorctcirtamsea`semlignes etncoes`alonn coe!cients dansK. Rappelons queE i j est la matrice deM m, n (K tous les) dont coe!ceitnssnontlu´utisiulecfuas,sneigalale`iet la colonnejqui vaut 1. m n On a donc pourA"M m, n (K) ,A= (a i j ) = ! ! a i j E i j . i=1j=1 Cettenotationpr´esentelameˆmeambigu¨ıt´equelapr´ec´edente. Si on se place dansM n (K) =M n n (Ktn:eiuavionsicattiplemule`radelg,)lano E i j E k! =# j k E i! uo`,# j k = ( 1s nis0 ij no =k, est  lesymbole de Kronecker.

2

Dual d’un espace vectoriel

•Soitn"N ! . Nous notonsD n (K) le sous-espace vectoriel deM n (Knoc)titse´u des matrices diagonales etS n (K) le sous-espace vectoriel deM n (Ksde´e)utitsnoc matricessyme´triques: D n (K) = Vect({E i i ;i"[1, n] N }) etS n (K) ={A"M n (k) ; t A=A}. Nous notonsGL n (K) le groupe des matrices inversibles deM n (K) : GL n (K) ={A"M n (K det() ;A)#= 0}. •SiEetFsont desK-espaces vectoriels, alorsL(E, F) est un espace vectoriel de dimension finie et dim(L(E, F)) = dim(E)$dim(F) . SoientB= (e 1  . . , e, . m ) , une base deEet (f 1 , . . . , f n ) une base deF. A toute applicationlin´eaireT"L(E, FtriceMat)amasee´icossatse B,B ! (T)"M n, m (K) relativement aux basesBetB $ itin:noraP.fie´d n A= Mat B,B ! (T)% &j"[1, m] N T(e j ) = ! a i j f i . i=1 1.2. Espace dual

1.2.1.De´finitions. SoitEunK-espace vectoriel. On appelle´eaireofmrlenisurEederiean´lionticalipptouteaEdansK. On appelleespace dualdeEtoe´n,E ! iae´sseremronilselrisfdeevactoece’psl,urE. On a doncE ! =L(E, K) et$"E ! signifie que$est une application deEdansKtelle que :&(x, y)"E 2 $(x+y) =$(x) +$(y) et&x"E&!"K$(!x) =!$(x) . 1.2.2. Exemples. a) L’application deEdansK`atoutvecteurui,qx"Eassocie le scalaire 0"Kest uneformeline´aire,appele´eforme nullesurE. b) SiE=C([a, b],R)() ) b )dtest un , l’applicationf'f(turae´nserirofeilemE. a c) SiEsrola,setnegrevnr´eelscosuitesderoeidlseapecevtcsteesl’u()' n% li & m +' u n estuneformeline´airesurE. d) SiE=K[X], pour touta"K, l’applicationP)('P(a´naerie)estuneformeli surE. n e) SiE=M n (Ka`iuq,r),eTactrlaA= (a i j )"Eassocie Tr(A) = ! a i i , est une i=1 formeline´airesurE.

Espace dual

3

f) SoientEun espace vectoriel de dimension finie etB= (e i ) i=1∙∙∙n une base deE. Tout n vecteurx"Eqinuuseubalresa´dceessedeompo`eremaniB, enx= ! ! i e i . Pour i=1 toutj"[1, n] N , l’applicatione ! j :x)'(! j orefunsteruseriae´nilemE,l´eeappe j e`em foeeno´noodrmrcebalasetila`aveerB. - g) SiE=R 3 i`a(cationqua’l,ilppx, y, z)"Eassocie 2x+ 3y(5zest une forme lin´eairesurE. Plusge´ne´ralementonalapropositionsuivante: 1.2.3. Proposition.Soitn"N ! (i)Fixons(a 1 , . . . , a n )"K n idnscoetoin´eronsl’applicat$deK n dansKto`autqiu x= (x 1  . . , x, . n )"K n , associe le scalaire$(x) =a 1 x 1 +a 2 x 2 +∙ ∙ ∙+a n x n . Alors$ estuneformeline´airesurK n . (ii)rieemil´naeorpimeuqce´Ruttooreft,enurpo%surK n , il existe un uniquen-uplet n (a 1  . . , a, . n )"K n tel que pour toutx= (x 1 , . . . , x n )"K n , on ait%(x) = ! a i x i . i=1 Preuve.(i) Pour tousxetydansK n , on ax+y= (x 1 +y 1  . . , x, . n +y n ) et donc n n n n $(x+y) = ! a i (x i +y i ) = ! (a i x i +a i y i ) = ! a i x i + ! a i y i =$(x) +$(y). i=1i=1i=1i=1 Ond´emontredememequepourtout!"K, on a$(!x) =!$(x) . ˆ (ii) Soit (" 1  . . ,, ." n ) la base canonique deK n . Unicite´dun-uplet (a 1  . . , a, . n )"K n : Supposons que pour toutx= (x 1 , . . . , x n )"K n , on ait n %(x) = ! a i x i . Alors pour toutj"[1, n] N , on a%(" j ) =a j . i=1 Existence : Pour toutj"[1, n] N , posonsa j =%(" j ) . Pour toutx= (x 1 , . . . , x n )"K n n n n n on ax= ! x i " i d,o’`u%(x) = ! x i %(" i ) = ! x i a i = ! a i x i . i=1i=1i=1i=1 1.2.4. Proposition.SoitEespace vectoriel de dimension finie. Alors son dualun E ! est de dimension finie etdim(E ! ) = dim(E). Preuve.On a : dim(E ! ) = dim(L(E, K)) = dim(E)$dim(K) = dim(E) . 1.2.5. Proposition.SoitEunK-apseevecrotc.leiTouteformelin´earie$surE, autre que la forme nulle, est surjective. Preuve.Comme$est non nulle, il existex 0 "Etel que$(x 0 )# .= 0 Soit!"K. Posons x= $( ! x 0 ) x 0 . Alors$(x) = $( ! x 0 ) $(x 0 ) =!. Interessonsnousmaintenantaunoyaud’uneformelin´eaire. ´

4

1.3. Hyperplan

Dual d’un espace vectoriel

1.3.1.De´finition. SoitEunK-espace vectoriel. On appellehyperplandeE, le noyau detouteformeline´airesurEautre que la forme nulle. Autrement dit, une partieHdeEest un hyperplan deE, s’il existe$"E ! \{0}tel que H= Ker ($). On dit alors que la relation$(x) = 0 est uneonuatiqe´de l’hyperplanH. 1.3.2. Proposition.SoientEunK-espace vectoriel etHun sous-espace vectoriel deE. Lesconditionssuivantessont´equivalentes: (i)Hest un hyperplan deE. (ii)H#=Eet pour toutv /"Hon aE=H!Kv,`ouKvstedrlateoigeen´rdnapeerv. (iii)Hetunadmitepedropulpuosrtniae´emnsdareE. SiEdesteoisnemidel,einfin´iditsont´equ´edentesa`slavietne s con ons prec (iv) dim(H) = dim(E)(1.

Preuve.(i)*(ii)aPetsiilexese,oth`rhyp$"E ! \{0}tel queH (= Ker$). Comme $est non nulle,Hest distinct deE. Soitvtrnepaapsaa`napttunvesurn’ecteH. On a donc$(v)#= 0. Montrons que tout vecteurxdeEocpmsodemena`iresed´eneeuqinue x=h+!vavech"Het!"K. Unicite´:Six=h+!valors$(x) =$(h) +!$(v) =!$(v`o’Du.)!= $( ( x v t ) ) eh=x(!v. $ Existence : Posons!= $ $ ( (v x ) et ) h=x(!v. On a$(h) =$(x)(!$(v) = 0 , donch"H etx=h+!v. L’implication (ii)*(iiistimm´ediate.e) (iii)*(i) SoientDune droite telle queE=H!Detvune base deD. Pour tout x"E, il existe un unique couple (h,&)"H$Ktel quex=h+&v; posons alors $(x) =&. Autrement dit,$(x) est l’unique scalaire tel quex($(x)vapaapierte`nnH. Montrons que l’application$sP.uotruoin´eaireestlxetydansE, tous!etµdansKle vecteur (!x+µy)((!$(x) +µ$(y))v=!(x($(x)v) +µ(y($(y)vappa)itra`tneHet parunicite´$(!x+µy) =!$(x) +µ$(y).D’o`u$restunenilemrofuseriae´E. De plusx"Ker ($ et seulement si) six"H. SiEest de dimension finie, il est clair que les assertions (iii) et (iv)s.elavsetn´tnoiuqe 1.3.3. Corollaire.eilil´nmrsexuofeDssleulnnnoesirearotcevecapsenuruEsont pro- portionnellessietseulementsiellesontmeˆmenoyau. Preuve.Soient$et%edxuesliformiresn´eaellunnonsoppuS.suesqon$et%ˆetmonme noyauH. Soitvapas`nantetrappa’nruetcevunH. Posons&= %(v ontr ) uesq $ mtno ( e ) v