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Licence MP semestre Annee Universite de Nice Sophia Antipolis

6 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence MP semestre 3 - Annee 2006-2007 Universite de Nice-Sophia-Antipolis Erratum correction de la feuille 2 Dans la correction qui suit de l'exercice 8 de la feuille 2, l'ordre des matrices dans le produit donnant M a n'est pas le bon. Il faut ecrire : M a = P 0,a ·M 0 · P a,0 Noter aussi que le symbole ? de composition des applications ne s'emploie pas entre deux matrices.

  • xg

  • ?m0 ?

  • ordre des matrices dans le produit

  • r4 ?

  • id ???????????????

  • application ?

  • symbole ? de composition des applications


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LicenceMPsemestre3Ann´ee20062007
Universit´edeNiceSophiaAntipolis
Erratum correction de la feuille 2
Dans la correction qui suit de l’exercice 8 de la feuille 2, l’ordre des matrices dans le produit donnantMaua´tI.flbenoaplsnstere:ecri
Ma=P0,aM0Pa,0
Noter aussi que le symbolede composition des applications ne s’emploie pas entre deux matrices.
LicencedeMathe´matiques Universite´deNice-SophiaAntipolis
DeugMass2-Alg`ebre
Feuille2-Corrige´
Anne´e2003-2004
Exercice 1.SoitEunR-ev. Ondit queEest somme directe deFetGsiE=F+G(avecF+G={xE,x1F,x2G, x=x1+x2}) etFG={0}itnoeinvilae´uqteen:.D´Eest somme directe deFetG`ireueinuq,eottueut´ecrire,demanspnoi e´le´mentdeEeml´´eundmeomesmmocenedtFtdeemene´´ldnuteG. Soitpun projecteur surE. MontronsqueKer(p)Im(p) =E. E=Ker(p) +Im(pil suffit de montrer que) :EKer(p) +Im(p). SoitxE, on poseu=xp(x) etv=p(x), on auKer(p), vIm(p) etx=u+v. En effet,p(u) =p(xp(x)) =p(x)p(p(x)) =p(x)p(x) = 0 doncuKer(p). Etv=p(x)Im(p). Ker(p)Im(p) ={0}: soitxKer(p)Im(p), il existeydansEtel quex=p(y) (carxIm(p)), et on a alors x=p(y) =p(p(y)) =p(x) = 0 (en appliquant d’abordpp=ppuisxKer(p)), iex= 0. SoientFetGdeux sev deEtels queFG=E. PourtoutxdeEire´ecrpeutonx=xF+xGe`eraminedqinua,eucevxFF etxGGOn.ed´tenisniuetpparp(x) =xG.Puisonv´erie: pest un projecteur : pour toutxE,p(p(x)) =p(p(xF+xG)) =p(xG) =p(xG+ 0) =xGeuritcreicilis´auti(onle´e´edcitilnu dexGsous la formexG+ 0)F=Ker(psi) :xFalorsxF=xetxG= 0 etp(x) =xG= 0 doncxKer(p).meuq,tnece´Rorpi sixKer(p) alorsx=xF+xGavecxG=p(x) = 0 doncx=xFF.G=Im(p) :sixGalorsxF= 0 etxG=xdonc x=xG=p(xG) iexIm(p´R.)piceuqornemesit,xIm(p), alorsx=p(u) avecuE, iex=p(u) =uGG. Exercice 2.SoitHun hyperplan de l’evE.tsixeesh`leeirhPaotypFppusme´lnueentairedHdansEtel que dim(FSoit) = 1. {u~}une base deFque soit. QuelxE, il existe un unique couple (h, f)H×Ftel quex=h+f. Orfnttanndoda´ee´nsF, il existeununiquer´eelλftel quef=λf.~une`ttauot.Parcons´equxEnoepr´eeeeunlibno´dnerete´nimasutcisodeer¸cfaλx=λf, cequid´enituneapplicationφ:ER,φ(x) =λxD.pnoc¸afesne´,eulcsnoedφicationqstlappleuetcedra`iuevnuEassocie la coordonn´eeλxdans la base{~u}´edeojetduprxsurFontieciradalt`enmele`llarapH. Montrons queφesniltiae´o.eruepntproc´ederdedeuxamine`er:s -SoientDirectement :x, yE,αRO.osepmoce´dnxetydans la somme directeE=HF. Onax=h1+λxu~.et x=h2+λy~u.ar.Pdiadera`embmitnoembmient:re,onobt x+α.y= (h1+h2) + (λx+α.λy)u.~() Commeh1+h2Het (λx+α.λy).~uF, (tmploasd´)eecsondeitiox+α.ydans la somme directeE=HFqtiude´denOn.eu φ(x+α.y) =λx+α.λy=φ(x) +α.φ(y)C.ets`--arediequφeria.tles´ein -nEce´dopmoastnφetonnoiS.seriae´nmeli-mˆellesonseacitppileanπF:EFla projection surFedirecte`alasommssco´ieea E=HFetc:FRuinqun`aicplioatpalrdeuctveeFrcisoasdroocaseusee´nno~u, on a :φ=cπF. CommecetπFsont lin´eaires,ilenestdemeˆmedeφ. φnsiuneformelin´eiaerteek(reiatsφ) ={xE;x=h+ 0F, hH}il´nroemlefaaydueeairap,nolentueeqs´onrcφestH.φest de plus non nulle. uqeixtspuopossneRmeue,sntci´eoqprφ:EReluqkereunllteleeeaapiprleinocnationliunn´(φ) =Het montrons queH admetunsupple´mentairededimension1dansE. Soit~uEtel queφ(u~)6= 0R(un telu~existe puisqueφpoth`esenonnulle.)septrayh Posonsv~= (1(u)).~u. Ona alorsφ(~v) = 1. NotonsFle sev deEenrar´epgendv~et montrons queE=HF. SoitxE. Onaxφ(x)v.~Hcarφ(xφ(x)v~.) =φ(x)φ(x)(~v)=0.O´cceirerpnuedtnox= (xφ(x).~v) +φ(x)v~., avec xφ(x).~v)Hetφ(x).~vF. De plus siyHF, on a :y=.λv~etφ(y) = 0, doncλ=φ(y) = 0 iey= 0. Application :Si lesa1,∙ ∙ ∙, anne sont pas tous nuls, l’applicationφ(x1,∙ ∙ ∙, xn) =a1.x1+∙ ∙ ∙+an.xniaerin´eionltiucanteapepsl n non nulle, son noyau est donc un hyperplan deR, ie qu’il est de dimensionn1. R 0 Exercice 3.SoitE=C([0,1],R) leR-espace vectoriel des applications continues de [0,1] dansR. SoitF={fE;f= 0}.F [0,1] R est un sev deE:Felrm´einreainnnoltseyoneeduaofalnhyperplan,carcseutleulL:f7→fruseine´dEeffet,. EnLest [0,1] biend´eniedeEdansRsfonctioegraledeeudsnoensnoctnnisd´einelprroeti´led´tnirae´e´tielpsteetcaxetneuqtnemL´eintlesn.Oreai utiliselexercicepr´ec´edentpourconclurequeFest un hyperplan (et en particulier c’est un sev) deE. Fegne´rdnapee´nur´eelntmeaddemetdocnopruuspp´lmenetairetoutedroiteE\Fnoitcnopa,pmelerexioetalrdndr´engerlafeepa constante valant 1 sur [0,1]. Exercice 4.fest surjective ssi pour toutyFil existexEtel quef(x) =ynEt.rivan´ecx=λ1.x1+∙ ∙ ∙+λn.xndans la base n X n B,fest surjective ssi pour toutyFil existe (λ1,∙ ∙ ∙, λn)Rtel queλj.f(xj) =yssif(B) est surjective. j=1 n X fest injective ssi (f(x) = 0F=x= 0E) ssif(λ1.x1+∙ ∙ ∙+λn.xn) =λj.f(xj) = 0F=x=λ1.x1+∙ ∙ ∙+λn.xn= 0E. Or j=1 n X λ1.x1+∙ ∙ ∙+λn.xn= 0Essiλ1=∙ ∙ ∙=λn= 0, puisqueBest une base deE. Onen conclut que :λj.f(xj) = 0F=λ1=∙ ∙ ∙= j=1 λn= 0 ie que la famillef(B) est libre. ´rcee´edtnomtnerqueojnocaLednoitcn´exreusdspatltsuf(B) est une base deFssifest bijective.