Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année PCSI B Chapitre EM

Elodie Gégo

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EM 1 _____________________________________________________________________________________ -1/10- LE CHAMP ELECTROSTATIQUE INTRODUCTION L'électrostatique est la partie de l'électromagnétisme qui étudie les charges électriques à l'état statique et les interactions qu'elles exercent entre elles. I- CHARGE ELECTRIQUE ET DISTRIBUTION DE CHARGES I-1- Notion de charge électrique a) Observation expérimentale Dès le XVIIIème siècle des expériences d'électrisation ont permis de montrer que certains matériaux (verre, plexiglas. . .), possèdent lorsqu'ils ont été frottés avec d'autres matériaux, la propriété d'attirer des corps légers (corps électrisé). Les interactions observables conduisent à distinguer deux types d'électrisation : deux objets semblablement électrisé se repoussent et s'attirent dans le cas contraire. L'étude quantitative fut réalisé par Coulomb en 1785 et attribua à un état d'électrisation un paramètre q appelée charge électrique (grandeur scalaire extensive et algébrique).

• charge contenue sur ? ?


• force d'interaction dans le vide


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• distribution de charge


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Extrait

Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 Chapitre EM 1PCSI B _____________________________________________________________________________________ LE CHAMP ELECTROSTATIQUE INTRODUCTION L'électrostatique est la partie de l’électromagnétisme qui étudie les charges électriques à l'état statique et les interactions qu'elles exercent entre elles. I-CHARGE ELECTRIQUE ET DISTRIBUTION DE CHARGES I-1- Notion de charge électrique a)Observation expérimentale Dès le XVIIIème siècle des expériences d’électrisation ont permis de montrer que certains matériaux (verre, plexiglas. . .), possèdent lorsqu’ils ont été frottés avec d’autres matériaux, la propriété d’attirer des corps légers (corps électrisé). Les interactions observables conduisent à distinguer deux types d’électrisation : deux objets semblablement électrisé se repoussent et s’attirent dans le cas contraire. L’étude quantitative fut réalisé par Coulomb en 1785 et attribua à un état d’électrisation un paramètre q appelée charge électrique (grandeur scalaire extensive et algébrique). b)Interprétation 19 La matière est constitué d’atomes constitué de Z protons de charge +e = 1; 6:10 C, N neutrons de charge nulle et Z électrons de charge-e. Le frottement produit un déséquilibre entre la charge des noyaux et la charge des électrons : -Le matériau frotté acquiert une charge positive lorsque des électrons sont arrachés. C’est par exemple le cas du plexiglas lorsqu’on le frotte avec un mouchoir en papier ou du verre lorsqu’il est frotté avec de la laine. -Le matériau frotté acquiert une charge négative lorsque des électrons sont captés (ébonite avec de la peau de chat). Une fois que ces corps sont électrisés, ils peuvent attirer des corps léger en modifiant la répartition de charges à l’intérieur de ces corps (électrisation par influence). c)Propriétés de la charge -La charge q s’exprime en coulomb C, -La charge est quantifiée, elle peut se mettre sous la forme : q =±_ne où n est un entier. -La charge se conserve : La charge totale d’un système isolé (absence de contact) reste constante au cours du temps.

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Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EM 1 _____________________________________________________________________________________ I-2- Distribution de charges a)Modélisation d’une répartition de charges La notion de charge électrique ne s’applique qu’à des particules ponctuelles (extension spatiale de l’ordre -15 de 10 m). L’observation de la matière se faisant à plus grande échelle on va donc comme en thermodynamique s’intéresser à des grandeurs moyennes. Il convient donc de choisir une échelle adaptée : -10 -échelle microscopique : Échelle atomique caractérisé par une distance caractéristique d»10 m. La matière est alors discontinue. -échelle macroscopique : La matière est observée à l’échelle humaine caractérisé par une distance -10 D» 10 m. La description de la matière est alors trop imprécise. Par exemple, un millimètre 17 cube de dioxygène dans les conditions normales de température et de pression contient 8,6.10 charges élémentaires. -échelle mésoscopique : L’échelle mésoscopique est intermédiaire (grandeur caractéristiqueℓtelle que d <<ℓ<< D). Un petit volumedtà cette échelle est assez grand pour contenir un très grand nombre de charges et qu’on puisse considérer le milieu comme continu et assez petit pour considérer que la matière est décrite précisément(comportement local). On définira à l’échelle mésoscopique les différentes densité de charges. b)Densité volumique de charges Les charges sont réparties de façon continue dans un volume macroscopique V. On appelle densité volumique de charges en un point P du volume V la grandeur : δq ρ ( P ! = δ t avec : dt: volume mésoscopique (assimilable à l’échelle macroscopique à un point matériel P mais suffisamment grand à l’échelle microscopique pour contenir un grand nombre de particules chargées). dq : charge contenue dansdt On peut donc assimiler à notre échelle le volumedV à un point matériel situé en P et portant la chargedq. La charge totale Q contenue dans le volume V s’obtient en sommant les charges de l’ensemble des volumes élémentaires : Q =δq =ρPδ t . ∫∫∫ ∫∫∫ PÎV PÎV La distribution volumique de charges correspond à la réalité physique. -2/10-

Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EM 1 _____________________________________________________________________________________ Remarque : si le milieu est uniformément chargé :r(P) =r(même valeur en tout point de la distribution) Dans ce cas, la charge totale Q de la distribution de charges s’écrit : Q =δq =ρPδV =ρδV =ρ δV =ρV ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ PÎV PÎV PÎV PÎV Q L’expressionρ= n’est donc valable que si le milieu est uniformément chargé (ra la même valeur en V tout point de la distribution). c)Densité surfacique de charges Macroscopiquement, le milieu chargé peut présenter l’aspect d’une nappe si deux de ses dimensions caractéristiques sont très grandes devant la troisième. On appelle densité surfacique de charges en un point P de la surface S la grandeur : δq σ ( P ! = δS avec : d S : surface mésoscopique (assimilable à l’échelle macroscopique à un point matériel P mais suffisamment grande à l’échelle microscopique pour contenir un grand nombre de particules chargées). etdq : charge contenue surdS On peut donc assimiler à notre échelle la surfacedS à un point matériel situé en P et portant la chargedq. La charge totale Q contenue sur la surface S s’obtient en sommant les charges de l’ensemble des surfaces élémentaires : Q =δq 1 σPδS . ∫∫ ∫∫ PÎS PÎS La distribution surfacique correspond à la modélisation de la distribution de charges des milieux conducteurs : on peut montrer que la charge est nulle à l’intérieur d’un conducteur et qu’elle se répartit en surface. Remarque : si le milieu est uniformément chargé :s(P) =s(même valeur en tout point de la distribution) Dans ce cas, la charge totale Q de la distribution de charges s’écrit : Q =δq1σPδS1σδS1σ δS =σS ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ PÎS PÎS PÎS PÎS Q L’expressionσdonc valable que si le milieu est uniformément chargé (= n’est sa la même valeur en S tout point de la distribution).

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Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EM 1 _____________________________________________________________________________________ d)Densité linéique de charges Macroscopiquement, le milieu chargé peut présenter l’aspect d’un fil si deux de ses dimensions caractéristiques sont très petites devant la troisième. On appelle densité linéique de charges en un point P de la courbe L la grandeur : δq λ ( P ! = δℓ avec : dℓ: élément de longueur mésoscopique (assimilable à l’échelle macroscopique à un point matériel P mais suffisamment grand à l’échelle microscopique pour contenir un grand nombre de particules chargées). etdq : charge contenue surdℓ On peut donc assimiler à notre échelle l’élément de longueurdℓà un point matériel situé en P et portant la chargedq. La charge totale Q contenue sur le fil L s’obtient en sommant les charges de l’ensemble des longueurs élémentaires : Q =δq1λPδℓ. ∫ ∫ PÎL PÎL Cette distribution est une modélisation des conducteurs filiformes. Remarque : si le milieu est uniformément chargé :l(P) =l(même valeur en tout point de la distribution) Dans ce cas, la charge totale Q de la distribution de charges s’écrit : Q =δq1λPδℓ1λδℓ1λ δℓ=λL ∫ ∫ ∫ ∫ PÎL PÎL PÎL PÎL Q L’expressionλdonc valable que si le milieu est uniformément chargé (= n’est la la même valeur en L tout point de la distribution). II-SYMETRIE ET INVARIANCE DE LA DISTRIBUTION DE CHARGES II-1- Symétrie plane Un planp est un plan de symétrie d’une distribution de charges si, quels que soient les points P et P’ symétriques par rapport à ce planp:r(P) =r(P’). II-2- Antisymétrie plane Un planp* est plan d’antisymétrie d’une distribution de charges si, quelque soient les points P et P’ symétriques par rapport à ce planp* :r(P) = -r(P’).

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Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 Chapitre EM 1PCSI B _____________________________________________________________________________________ II-3- Invariance a)Invariance par translation Une distribution de charges est invariante par translation si on retrouve la même distribution après avoir effectué la translation. Ce la suppose une distribution infinie: (fil infini, nappe infinie …). Si la  distribution est invariante par translation suivantualorsr(P) ne dépend pas de z. Z Remarque : En pratique toutes les distributions son finies mais lorsque la distance d’un point considéré à la distribution est faible devant la dimension de la distribution, on considèrera que les dimensions de la distribution tendent vers l’infini. Cela permet de simplifier l’analyse des problèmes. b)Invariance par rotation Soit P appartenant à une distribution de charge et P’ le point obtenu en effectuant une rotation d’angleθ autour d’un axe fixeD. Sir(P’) =r(P) alors la distribution est invariante par rotation d’angleθetr(P) ne dépend pas deθ. Les invariances des distributions de charges impliquent un choix adapté des coordonnées à employer. III-LOI DE COULOMB M 2 (q 2 ) · III-1- Force d’interaction dans le vide La force d’interaction exercée dans le vide par une particule fixe de charge q 1 placée en M 1 sur une particule fixe de charge q 2 placée en M 2 a pour expression :   · q q 1 2 F = u 121/2 2 M 1 (q 1 ) 4πεr 0 -12 -1 oùe 0 la permittivité diélectrique du vide.= 8,85.10 F.m est  La force d’interaction électrostatique obéit à la loi de l’action et de la réaction :-FF = 1/2 2/1 Remarque : A l’échelle atomique, les forces d’interaction gravitationnelles peuvent être négligées devant les forces d’interaction électrostatique.  F électrostatique Exemple de deux électrons :  F gravitationnelle Conséquence : Nous ne prendrons pas en compte à l’échelle atomique les forces de gravitation dans l’étude des mouvements des particules chargées.

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Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 Chapitre EM 1PCSI B _____________________________________________________________________________________ III-2- Influence du milieu La permittivité de l'air est de 0,5 ‰ supérieure à celle du vide. On considèrera donc que la permittivitée air de l’air est égale à celle du vide. Lorsque les charges se trouvent dans un milieu isolant, l’expression de la force d’interaction   q q 1 2 tique devient :oùεest la permitti électrosta F 1/2 = 2 u 12 r vité relative du milieu. 4πε εr 0 r Application : Pour l’air :ε r  = 1,0006 à 20°C et pour l’eau :ε r  = 80 à 20°C. L’eau est donc un solvant dissociant pour les sels ioniques car la force d’interaction entre les ions du sel est 80 fois plus faible dans l’eau que dans l’air. On note égalementε=ε εla permittivité absolue du milieu. 0 r M 2 (q 2 ) III-3- Principe de superposition M 1 (q 1 ) M (q) M n (q n ) La force exercée par les n charges ponctuelles q i  placées en M i  sur la charge q placée en M a pour    n n q i expression : F ( M ! = F ( M ! 1q u . ∑ i ∑ 2 i 4πεr i i = 1 i = 1 0 IV-CHAMP ELECTROSTATIQUE IV-1- Expression du champ électrostatique a)Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle M Dans le vide, une charge ponctuelle q située en un point O créé ´ en tout point M de l’espace un champ électrostatique :    OM = r q -1 O en V.m (unité courante) E q ( M ! = u 2 OM 4πεOM q 0 Conséquence : on peut mettre la force exercée par M 1 de charge q 1 sur M 2 de charge q 2 sous la forme :   q 1  F = q u . 1/2 2 2 12 4πεM M 0 1 2   F = q E M La force exercée par M 1 sur M 2 s’écrit donc sous la forme : q11/2 2 ( 2 !     q 1 amp produit par q 1 en M 2 : E ( M ! 1uavec E 1 ( M 2 ! ch q1 2 2 12 q 4πεM M 0 1 2

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Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EM 1 _____________________________________________________________________________________ b)Application du principe de superposition     n On peut donc écrire :F ( M ! = qE ( M ! avec E ( M ! = E ( M ! ∑ qi i=1 Le champ électrostatique créé par un ensemble de charges en un point donné de l’espace est lasomme vectorielle des champscréés par chacun d’eux en ce point. c)Champ électrique créé par une distribution continue de charges ·Le champ créé par le point matériel situé en P et portant la chargedq en un point M de l’espace   δq onc s’écrit d :δE P ( M ! = u 2 PM 4πεPM 0 ·Le champ crée par toute la distribution volumique de charges D un en point M de l’espace s’écrit alors, d’après le principe d’additivité vectorielle des champs électriques :     δq ρPδV E ( M ! =δE ( M ! = u= u ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ D P 2 PM 2 PM 4πεPM 4πεPM PÎD PÎ D 0 PÎ D 0 ·Le champ crée par toute la distribution surfacique de charges D un en point M de l’espace s’écrit alors, d’après le principe d’additivité vectorielle des champs électriques :     δq σPδS E M =δE M1u1u D ( ! P ( ! 2 PM2 PM ∫∫ ∫∫ ∫∫ 4πεPM 4πεPM PÎD PÎ D 0 PÎ D 0 ·Le champ crée par toute la distribution linéique de charges D un en point M de l’espace s’écrit alors, d’après le principe d’additivité vectorielle des champs électriques :     δq λPδℓ 1 1 E D ( M ! =δE P ( M ! 2 u PM 2 u PM ∫ ∫ ∫ 4πεPM 4πεPM PÎD PÎ D 0 PÎ D 0 Rappel : Seule la distribution volumique est réelle. Les distributions surfacique et linéique ne sont que des modèles.

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Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EM 1 _____________________________________________________________________________________ V-TOPOGRAPHIE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE V-1-Lignes et tubes de champ électrique  Une ligne de champ est une courbe tangente en tout point M au vecteur champ électriqueE ( M !  et  orientée dans le même sens que E ( M ! . Un tube de champ est un ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé. V-2- Equation d’une ligne de champ VI-PROPRIETES DE SYMETRIE ET D’INVARIANCE VI-1- Principe de Curie Un champ électrostatique possède les propriétés d’invariance et de symétrie de la distribution de charges qui le créé. VI-2- Conséquences sur les symétries. Etude de la carte +q/-2q : ·Les lignes de champ divergent à partir des charges positives et convergent vers les charges négatives. ·Les lignes de champ ne sont pas fermées. ·Si plusieurs lignes de champ se croisent en un point M alors le champ électrique en ce point est nul. Propriétés de symétrie du champ électrique : ·Si M est un point contenu dans un plan de  symétrie des charges alors E ( M ! à ce appartient plan. ·Si M est un point contenu dans un plan  d’antisymétrie des charges alors E ( M !  est perpendiculaire à ce plan. -8/10-

Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EM 1 _____________________________________________________________________________________ ·Le plan de symétriepde la distribution de charges est aussi un plan de symétrie du vecteur champ   élsym E ME M' = ectrique : ( ! π ( !

·Le plan de d’antisymétriep* de la distribution de charges est aussi un plan d’antisymétrie du   ctrique E vecteur champ éle : ( M' ! sym= - π E ( M !

On constate que ces résultats sont bien en accord avec le principe de Curie énoncé en VI-1. VI-3- Méthode de calcul direct du champ électrostatique a)Méthode 1)Analyser les éléments de symétrie de la distribution de charges de manière à déterminer la  direction deEen un point M de l’espace et le système de coordonnées le plus adapté. 2)Choisir un élément de la distribution de charges assimilable à une charge ponctuelle P et exprimer  le champ élémentaireδE ( M ! qu’il créé au point M de l’espace considéré. P 3)Exprimer la (ou les) composante(s) de ce champ élémentaire dans la (ou les) direction(s) du champ résultant. 4)Sommer l’expression (ou les expressions) obtenue(s) sur toute la distribution de charges (intégration). b)Systèmes de coordonnées et découpages usuels (voir annexe)

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Lycée Brizeux ELECTROMAGNETISME Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EM 1 _____________________________________________________________________________________ c- Exemples de calculs directs de champs électrostatiques ·Champ créé par deux charges ponctuelles ·Champ par un segment uniformément chargé dans son plan médiateur ·Cas particulier du fil infini ·Champ créé par un disque uniformément chargé sur son axe

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