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LycÉe Brizeux PCSI A & B
o Devoir surveill n2
Samedi 5 novembre 2011
ElectrocinÈtique & Optique La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. L’usage de la calculatrice est autorisÉ. Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants Les rÉsultats devront tre encadrÉs. Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. Si au cours de l’Épreuve vous repÉrez ce qui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, vous le signale-rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez ÉtÉ amenÉ À prendre. Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraneront la perte de tous les points de la question.
ProblÈme IEtude d’un dfibrillateur En 1947, le Dr Claude Beck invente dans l’HÔpital Universitaire de Cleveland le dfibrillateur fonctionnant avec le courant alternatif du secteur, avec une tension utile de l’ordre de 1500 volts. Dans les annes 1960, une amlioration notable est de permettre l’utilisation ambulatoire d’un dfibrillateur À alimentation autonome À courant continu. On stocke de l’nergie dans des conden-sateurs, puis cette nergie est libre pendant un intervalle de temps trs court. On considre le circuit suivant. Le dfibrillateur est modlis par un circuit compos d’une rsistanceret d’un 0 condensateurCen parallle.
A Charged’une batterie de condensateurs Dans cette partie l’interrupteurK2reste ouvert. On considre la batterie de condensateur constitu d’un condensateur idal de capacitCinitialement dcharg en srie avec une rsistance Raliment par une source de tension de force lectromotriceE. On ferme l’interrupteurK1À t= 0. + A.1Dterminer en vous appuyant sur des arguments physiques les grandeurs suivantesi(0 ), + u(0 ),i()etu(). A.2Etablir l’quation diffrentielle vrifie par la chargeqdu condensateur. A.3Rsoudre cette quation diffrentielle puis tracer l’volution de la chargeqen fonction du temps.
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A.4Quelle est l’nergie emmagasine dans le condensateur lorsquet→ ∞? A.5Comment doit-on choisir l’ordre de grandeur deRetCafin d’obtenir une charge rapide?
B DÉchargede la batterie dans le dÉfibrillateur 0 A l’instantt= 0, on ouvre l’interrupteurK1et on ferme l’interrupteurK2. Le condensateur 0 Cporte alors la chargeq=CEet le condensateurCest dcharg. 0 B.1Dterminer en vous appuyant sur des arguments physiques les grandeurs suivantesu(t= +0 0+0+0 0+0+ 0 ),u(t)= 0,i(t)= 0,i(t= 0)etir(t= 0). 0 B.2Montrer que l’quation diffrentielle vrifie parupeut se mettre sous la forme : 20 0 d uω0du 20 + +ω u= 0 0 2 dt Qdt 0 On exprimeraω0etQen fonction der,R,CetC. B.3On veut raliser une dcharge la plus rapide possible et sans oscillations « parasites ». Quel est le rgime le plus adapt. En dduire une condition sur les valeurs des composants. B.4En supposant que la condition de la question prcdente est vrifie, rsoudre l’quation 0 diffrentielle vrifie paru. 0 0 B.5Reprsenter l’allure deu(t).
ProblÈme IIOptique gomtrique A GÉnÉralitÉs A.1Rappeler la dfinition de l’indice absolu d’un milieu transparent. Donner un ordre de grandeur de l’indice optique du verre ordinaire. A.2?Dans quelle(s) condition(s) l’approximation de l’optique gomtrique est-elle valable A.3Comment appelle-t-on un systme optique qui prsente la symtrie de rvolution par rap-port À un axe? Comment appelle-t-on cet axe? A.4Expliciter l’approximation de Gauss. Quelles sont les proprits d’un systme optique centr utilis dans ces conditions?
Dans la suite du problÈme, tous les systÈmes optiques seront considÉrÉs centrÉs et utilisÉs dans les conditions de Gauss.
Considrons un miroir sphrique concave de centreC, de sommetSet de rayonR. Un petit objetABest plac perpendiculairement À l’axe optique. A.5Dfinir et exprimer les distances focales 0 objetfet imagefdu miroir en fonction deR. A.6A partir des lois de Descartes et de considrations gomtriques, tablir la relation de conjugaison de Descartes avec origine au sommet, pour ce miroir sphrique ainsi que l’expression de son grandissement. A.7A partir de considrations gomtriques, tablir la relation de conjugaison de Newton : 02 F A.F A=f(avec origine au foyer), pour ce miroir sphrique ainsi que l’expression de son grandissement. A.8?Ces expressions restent-elles valables pour un miroir sphrique convexe
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B Lunetteastronomique Toutes les lentilles utilises seront assimiles À des lentilles minces. B.1?Quelle est la dfinition d’une lentille mince
Un oeil accommodant À l’infini observe des objets À l’infini À travers une lunette astronomique. Celle-ci est constitue de deux lentilles minces convergentes. B.2Quand dit-on qu’un systme est afocal? B.3Dcrire brivement le montage correspondant À ce dispositif. L’une des deux lentilles tant appele objectif, justifier l’origine de ce terme et la position de cette lentille. L’autre est appele oculaire. Justifier l’origine de ce terme et la position de cette deuxime lentille. B.4Tracer la marche d’un rayon lumineux issu d’un point À l’infini sur l’axe optique et celui d’un rayon lumineux issu d’un point situ À l’infini mais faisant avec l’axe optique un angleα.
0 Le grossissement est dfini comme le rapport entreα, angle sous lequel est vu l’objet À travers 0 α l’instrument etα, celui sous lequel il est vu sans l’instrument :G=. α B.5Exprimer ce grossissement en fonction des distances focales image des deux lentilles no-0 0 tesfetf? L’image est-elle droite ou. Quelle est la nature (relle ou virtuelle) de l’image obj oc renverse ? B.6Si de la poussire se dpose sur l’objectif, quelle est la consquence sur l’image observe À travers la lunette? B.7OÙ faut-il positionner l’oeil pour se placer dans des conditions optimales d’observation? Dfinir cette position en fonction des caractristiques de l’appareil. B.8Les systmes catadioptriques (c’est-À-dire forms de lentilles et de miroirs) sont aujourd’hui plus utiliss que les lunettes. Citer au moins deux avantages de ces systmes par rapport aux lunettes astronomiques.
C TÉlescopespatial de Hubble (H.S.T.) Ce tlescope est certainement le dispositif civil le plus complexe jamais envoy dans l’espace. Le bloc optique est constitu de deux miroirs : un miroir primaire parabolique concave qui renvoie la lumire incidente sur un miroir secondaire hyperbolique convexe. La configuration de ces deux miroirs est de type Cassegrain. Afin de mener une tude quantitative, le miroir primaireMPsera suppos sphrique concave avec un rayon de courbureR1= 11,000met un diamtre extrieurD01= 2,4m. Le miroir secondaireMSsera suppos sphrique convexe avec un rayon de courbureR2= 1,350met un diamtre extrieurD02= 0,3m. La distance entre les sommets des miroirs vautS2S1=d= 4,900m. On appelleIl’intersection du rayon incident avec le miroir primaire, etJl’intersection du premier rayon rflchi avec le miroir secondaire.
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C.1Dterminer les positions des foyers objet et image du miroir primaire, dfinies parS1F1et 0 0 S F 1 1. Quelle est la position du foyer image de l’ensemble du tlescope, dfini parS2F?
Un rayon issu d’un objet situ À l’infini sur l’axe optique et qui vient frapper le miroir le miroir primaire en un point de son bord extrieur, merge du tlescope avec un angleα1. C.2Exprimer cet angleα1en fonction des donnes du problme. Calculer numriquementα1
Lors des premires prises de vue, les scientifiques se sont rendus compte que le miroir primaire prsentait un dfaut de sphricit prs du bord extrieur. Ce dfaut sera modlis par une varia-tion du rayon de courbure du miroir principal, ce qui signifie que dans la zone concerne, le miroir principal est remplac (la position du sommetS1ne change pas) par un autre miroir sphrique 0 de rayonR=R1+= 2m. 1 0 C.3Èvaluer l’cartδ(S2F)conscutif À la nouvelle position du foyer du tlescope. C.4L’cart angulaireδα1li au dfaut peut tre valu À l’aide de la relation :δα1=. dR1 Calculer cet cart.
ProblÈme IIIUtilisation d’un viseur Les lentilles sphriques minces, considres dans cette partie et notes(Li), sont utilises dans le cadre de l’approximation de Gauss. Chaque lentille(Li)est caractrise par son centre optique 0 Oet ipar sa distance focale imagefi. Les foyers objet et image sont nots respectivementFiet 0 Fi. Un viseur " À frontale fixe ", not(V), est un systme centr comprenant trois lments de mme axe optique : – unobjectif constitu d’une lentille mince(L1)convergente ; – un rticule de centreR(lame À faces parallles d’paisseur ngligeable sur laquelle sont gravs deux traits orthogonaux formant une croix); – unoculaire constitu d’une lentille mince(L2)convergente. Le rticule est situ entre ces deux lentilles, À la distanced1de(L1)et À la distanced2de (L2)(figure1).
Figure1 – Principe d’un viseur
0 −20 −22 DonnÉe= +8,0.10m;f= +3, s :f1 20.10m;d1= +15.10m.
A PrÉliminaires A.1Rappeler la formule de conjugaison de Descartes pour une lentille mince donnant la posi-0 tion de l’imageOiAen fonction de celle de l’objetOiA. 4
0 00 ment en fonction de. E A.2Etablir les expressions du grandisseFiA,FiAetfin dduire la relation de conjugaison de Newton pour une lentille mince.
B CaractÉristiquesdu viseur B.1Dterminer la distanced2=RO2pour qu’un oeil emmtrope, c’est-À-dire " normal ", puisse observer l’image du rticule, À travers(L2), sans accommoder (dans ce cas, l’image, ren-voye À l’infini, peut tre observe avec nettet et sans fatigue oculaire). B.2Soit un ensemble de rayons lumineux incidents passant tous par le pointF, foyer principal objet du viseur(V). Donner la principale caractristique gomtrique du trajet de ces rayons lorsqu’ils mergent de(V). B.3Proposer le trac d’un pinceau lumineux issu deFet qui merge du viseur(V). B.4Dterminer la position du foyer principal objetFde(V), en calculant la grandeur alg-briqueF1F.
C Utilisationdu viseur C.1" Viser " un objet avec le viseur, c’est positionner correctement viseur et objet l’un par rapport À l’autre, afin de pouvoir observer simultanment, sans accommoder (conditions dfinies dans la partie prcdente), l’image de l’objet vis et celle du rticule. a) Pourtre " vis ", un objet doit se situer dans le plan de front du viseur. Quelle est la position de ce plan de front? b) Proposerla construction de l’image, par(V), d’un pointB, situ dans le plan de front et hors de l’axe optique. C.2Un oprateur, dont la vue est " normale ", utilise ce viseur pour mesurer la distance focale 0 imagefd’une lentille inconnue(L3)(convergente ou divergente). Cette mesure, connue sous le 3 nom de mthode de Cornu, se droule en trois tapes dtailles ci-dessous et schmatises sur la figure2.
Figure2 – Principe de dtermination de la distance focale d’une lentille avec un viseur
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1Ère Étape Il s’agit de viser, À l’aide de(V), un petit objet relABfixe, de faible tendue, orthogonal À l’axe optique, avecAappartenant À l’axe optique : une premire position de(V)est repre. 2Ème Étape Aprs avoir dpos une marque (petite croix trace au feutre, par exemple) sur une des faces de la lentille mince inconnue au niveau du sommet (pratiquement confondu avecO3), l’oprateur place(L3)entre l’objetABet le viseur, les axes optiques demeurant confondus. Le centreO3peut tre vis À l’aide de(V)À la condition de reculer ce dernier de la distance x1= 0,15m. 0 0 3Ème ÉtapeSans dplacer la lentille(L3), l’imageA BdeABÀ travers(L3)est vise À l’aide de(V)À la condition d’avancer ce dernier, depuis la position prcdente, d’une distance x2= 0,10m. 0 a) Enexaminant les dessins ci-dessus, prciser les valeurs algbriquesO3AetO3A. 0 b) Endduire la distance focalefde la lentille. 3 0 0 c) Proposerun trac de l’imageA BdeABÀ travers(L3).
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