M2 Ecologie Evolution Biometrie UE Description Statistique des Structures Biologiques

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

• cours - matière potentielle : cssb8

M2 Ecologie,Evolution,Biometrie UE Description Statistique des Structures Biologiques Co-inertie, co-structures et compromis D. Chessel & A.-B. Dufour Notes de cours cssb8 Table des matieres 1 Introduction 2 2 Elements de base 3 2.1 Inertie et Variance vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Variance et covariance vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Correlation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 L'analyse de co-inertie 5 3.1 Peches et nectarines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 La classe coi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Aides a l'interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Compromis : calcul et analyse par STATIS 12 4.1 Inter-structure . . . . . . . . . . . . . .

• fruit


• analyse de donnees sans triplet statistique


• peches


• variable


• description statistique des structures biologiques


• carre de distance


• analyse de co-inertie

Sujets

• Pêche
• Variable

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Extrait

´ ´ M2Ecologie,Evolution,Biome´trie UE Description Statistique des Structures Biologiques

Co-inertie, co-structures et compromis D. Chessel & A.-B. Dufour Notes de cours cssb8

Tabledesmatie`res 1 Introduction 2 2Ele´mentsdebase3 2.1 Inertie et Variance vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Variance et covariance vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3Corr´elationvectorielle........................5 3 L’analyse de co-inertie 5 3.1Peˆchesetnectarines.........................5 3.2 La classe coi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3Aidesa`l’interpre´tation........................10 4 Compromis : calcul et analyse parSTATIS12 4.1 Inter-structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Compromis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Compromis d’analyse d’inertie 20 5.1 Microsatellites et races bovines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 Sch´ma de principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e Re´fe´rences29

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D. Chessel & A.-B. Dufour 1 Introduction Nousavonsabord´elaquestiondesKableauxp-tyles´sleraelasansdreesme´eaint cubes.Lademandelaplusabondanteprovientdestableauxmultiplesassoci´es par les lignes ou les colonnes. Un cube donne plusieurs objets de ce type. Nous abordonsicilesprobl`emesdeco-structures`adeuxouplusieurstableaux.On supposequechaquetableaudonne,a`luiseul,unetypologiedelignesetde colonnes : on veut discuter de relations entre tableaux au niveau des relations entrestructures.Demeˆmequ’enanalysemultivari´ee,onexamineavecsoinle comportement des variables, de meme en analyse multi-tableaux on examine ˆ avecsoinlecomportementdechacunedesanalysesse´par´ees.Lafonctionsepan lefaitsimplement.L’ensemblededonne´esmicrosatttdes:snrce´adti http://pbil.univ-lyon1.fr/R/pps/pps055.pdf Untableauimportant,propos´eparD.Lalo ¨ e,regroupelesfr´equencesalle´liques pour18racesbovines(taurinesouze´bu),d’originefranc¸aiseouafricaine,type´es sur 9 microsatellites. library(ade4) data(microsatt) fac <- factor(rep(microsatt$loci.names, microsatt$loci.eff)) w <- dudi.coa(data.frame(t(microsatt$tab)), scann = FALSE) wit <- within(w, fac, scann = FALSE) microsatt.ktab <- ktab.within(wit) plot(sepan(microsatt.ktab))

La figure indique clairement le champ dans lequel on se trouve. Un marqueur microsatellitefaitunetypologiedes18races,avecplusoumoinsd’intensite´ (inertie)etdesimplicite´.Commentmesure-t-onetcommentcompare-t-ondes analysesdetableaux?C’estl’objetdececours,qu’onessaieralemoinsmathe´- matise´possible.

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2El´ementsdebase Oncommencepardeuxtableaux,situationd´eja`rencontr´eedansl’ordination directeettr`esr´epandue.Ilconvientmaintenantdebiendistinguerdeuxchoses. 2.1 Inertie et Variance vectorielle L’inertieestunconceptsimplequig´en´eraliselanotiondevariance.Soitun tableauXavecnlignes etpcolonnes. La ligne de rangideXnoee´tX i est un point deR p curardeorudtidsrnce`al’oerliagdiinseptaameomspdeas.L ´ lepoidsdupointestl’inertie.Cecin’adesensquesilespoidssontde´finiset sionsaitcalculeruncarre´dedistance.Iln’yapasd’analysededonne´essans triplet statistique (X,Q,Ds,elleitnoseonneitesssfieli’arl`eccads`.)ruoPpmis ons’entiendraa`uneponde´rationuniformedesindividusetuneponde´ration unitaire des variables, soitQ=I p etD= n 1 I n . C’est le cas de l’ACP. Mesurer lavariabilit´esefaitpar: iner(X) =  1 X n p r n d 2 (X i ) = X v  X j  = X λ k i=1j=1 k=1 L’inertiemesurelagrosseurdunuage,passaforme.L’intensite´d’unestructure int`egrel’inertiequienfaitpartiemaisyajouteautrechosequiexprimelesliens entrelese´le´ments.Noteraussi,danslaformulequipr´ece`delavuedansR p (les carre´sdesdistancesa`l’origine),dansR n variances des variables) et dans les(les deux (les valeurs propres de l’analyse). Deux table nt oir l ˆ aux peuve av a meme inertiesansavoirlameˆmeforme: set.seed(20092006) library(MASS) fun1 <- function(x) { res <- paste("Iner = ", round(sum(diag(t(x) %*% x))/100, dig = 2)) s.label(x, clab = 0, xlim = c(-3, 3), ylim = c(-3, 3), sub = res, csub = 2) } x1 <- mvrnorm(100, c(0, 0), matrix(c(1, 0, 0, 1), 2)) x2 <- mvrnorm(100, c(0, 0), matrix(c(1, 0.9, 0.9, 1), 2)) par(mfrow = c(1, 2)) par(mar = rep(0, 4)) fun1(x1) fun1(x2)

Deuxnuagesmontrentdesvariabilit´oisines.Celuidedroiteposs`edeenplus es v de la covariance. On ne peut cependant pas ajouter directement une covariance `aunevariance,carlasommed’unecovariancepositiveetd’unecovariancene´- gativenefaitpasunestructurenulle.Onpeutajouterdescarre´sdecovariance

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quiserontajout´esa`descarre´sdevariancepourmesurerlastructure: p vav(X) = X p X cov 2 (X j ,X k ) =trace ( 1 n X T X n 1 X T X) =trace(VV) j=1 k=1 Del’autrecˆot´e(dansR p idtsdsserre´seacs`aanceni’litre,)veerrlniaiefntti l’origine(aulieudelavariance).Qu’estcequig´en´eraliseuncarre´dedistance pourdeuxpoints?Leproduitscalairee´videmmentetonalamˆemequantite´ sour la forme : W 1 vav(X) = n 1 2 XnXn  X i |X m  2 =trace( n 1 XX T 1 n XX T ) =trace( n 1 n W) i=1 m=1 Dans un cas, la matriceVest la matrice des covariances. Dans l’autre,West lamatricedesproduitsscalaires.Lapremi`ereestp×p, la seconde estn×n, les deuxsontcarre´esetsym´etriques,lesdeuxsontappel´eesope´rateursd’Escoufier. Quandonnepeutpluscomparerdeuxtableauxsurlesmˆemesvariables,on pourra comparer lesV; quand on ne pourra plus comparer deux tableaux sur lesmˆemesindividusonpourracomparerlesW. Dans tous les cas : r vav(X) = X λ 2 k k=1 Lavariancevectorielled’untableauestdonclasommedescarre´sdecovariance e´tenduea`touslescouplesdedeuxvariables.Cettevariancevectoriellesede´com- poseensommedecarre´sdevaleurspropres.Onpourraittracerlegraphedes carre´sdevaleursproprespourde´ciderdunombred’axes.Ilpeutˆetrebeaucoup plusclairqueceluidesvaleurspropres.Noteraussiqueremplacerlesdonne´es parlescoordonn´ees,c’estconserverlavariancevectorielleennel’exprimantque commeunesommedecarre´sdevariance(touteslescovariancessontnulles), c’est concentrer l’organisation dans de la variance. 2.2 Variance et covariance vectorielles Onpourraitsedemandera`quoic¸asert.Toutsimplement`apasserdel’analyse d’untableaua`celledeplusieurs.Commentcaracte´riserlaco-inertie,c’est-a`-dire la covariance vectorielle ? Introduisons un second tableauYavecnlignes etq colonnes. Ses variables sont toujours dansR n mais ses lignes sont dans un autre espaceR q ectoncevle`arielnerd´rteraailevanciaarovelbatxuedcal(xuaeP.uo d’untableauaveclui-mˆemedoitˆetrelavariancevectorielle)ilsuffitde: cov(X,Y) = p X X q cov 2 (X j ,Y k ) =trace( n 1 X T Y n 1 Y T X) =trace(C XY C YX ) j=1 k=1 On se retrouve dans une situation bien connue : celle de l’analyse d’un nouveau tableau, la matrice des covariances entre les deux paquets de variables. L’analyse de co-inertie va concentrer la co-structure en quelques couples de coordonnees ´ comme l’analyse d’inertie concentre la structure dans la variance de quelques coordonne´es.Lacovariancevectoriellesecomprendaussidanslage´ome´triedes deux nuages denpoints par l’extension : vav(X) = n 1 2 nX Xn  X i |X m  Y i |Y m  =trace ( 1 n XX T n 1 YY T ) =trace( n 1 W X 1 n W Y ) i=1 m=1

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