Master ESA Indications de Correction Séries

Gilbert Colletaz

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 1 ESA - Indications de Correction - Séries Temporelles Univariées - Epreuve du 21 mai 2007 Gilbert Colletaz 24 mai 2007 Exercice 1 1. La stationarité met en jeu le polynôme autorégressif, ici (1 ? 1.6L + .6L2). On calcule aisément les deux racines : 1 et .6?1. L'une des racines étant égale à l'unité, ce processus n'est pas stationnaire. 2. L'inversibilité met en jeu le polynôme caractéristique de la partie MA. 1 ? 1.4z + .48z2 = 0 a comme solutions z1 = 1.6/.96 = .6?1 et z2 = 1.2/.96 = .8?1. Ces deux racines étant de modules strictement supérieurs à l'unité, le polynôme en question est inversible. 3. En factorisant le polynôme autorégressif sur ces racines, il vient (1 ? 1.6L+ .6L2)yt = (1? .6L)(1?L)yt, et pour l'autre partie : (1?1.4L+ .48L2)ut = (1 ? .6L)(1 ? .8L)ut . Au total, on a donc :4yt = (1 ? 0.8L)ut. En conséquence, yt est un IMA(1,1), ou encore ARIMA(0,1,1).

• processus


• statistiques sous l'hypothèse


• coe?cients d'autocorrélation partielle


• identifiant avec le modèle vrai


• test de validation


• régression

Sujets

• Processus
• Test de validation
• Régression

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Publié le: 01 mai 2007
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

(1− 1.6L +
2 −1.6L ) .6
2 −11− 1.4z + .48z = 0 z = 1.6/.96 = .61
−1z = 1.2/.96 = .82
(1−
21.6L+.6L )y = (1−.6L)(1−L)y (1−1.4L+t t
2.48L )u = (1− .6L)(1− .8L)u 4y = (1−t t t
0.8L)u yt t
7(1−φ z ) φ1 1
∞ ∞X X
i 7i iy = φ L u = φ ut t t−7i1 1
i=0 i=0
y = φ y +t 1 t−7
u u yt t t
1factorisanttvle(1)pdeolyn?metautor?gressifExercicesurari?esces.racines,1.il?cri-viennormalementleEnert3.roersible.devpinl'unit?,est?rieurquestionpenproolyn?meinni).pl'autreleonl'unit?,ici?stationarit?rsz?rieu21supdonctquistrictemenTulesestdcessusmocommedeinf?rieurtt?tanduleracinestdeuxcons?quenceCesest,etetapMAourutilil'autree.m?tho,connetesolutionsl'?criturecommeolyn?meaenMA.1.partiemailaede2007eestiquOnt?rilecaracpr?c?denolyn?meencoreporellesle-jeu-enCommemetunersibilit?vvMasterL'inOn2.eststationnaire.?passonn'esttoutessmocessusupprostrictemen.?AuEntotal,ceonolyn?meaindoncersible:lececessusl'unit?,une?ture?gale(d'ordretEn?tansanesl'unnouidesracdesdestL'uneues,.arriv.ais?menEn?cons?quenc:e,autor?gressif,etp1jeuestmetunLaIMA(1,1),1ou2007encore24ARIMA(0ta,Coll1Gilb,mai1du).EpreuvExercice2.2sait1.queLeppcessusolyn?met,:s'?critracines-deuxUnivlesemptS?riesais?menCorrectioncalculeIndicationsp,ostationnaire.ssESA?desteproaud'innoplusation7ourracinesqui,partie1:2 2 2Var(y ) = φ Var(y )+Var(u ) γ = φ γ +σt t−7 t 0 01 1 u
2 2γ = σ /(1−φ )0 u 1
γ = E[y y ] y u ,u ,u ,... y1 t t−1 t t t−7 t−14 t−1
u ,u ,u ,...t−1 t−8 t−15
u γ = 0t 1
γ = 08
2γ = E[y y ] = E[(φ y +u )y ] = φ E[y ]+E[u y ] = φ γ7 t t−7 1 t−7 t t−7 1 t t−7 1 0t−7
γ = E[y y ] = E[(φ y +u )y ] = φ E[y y ]+E[u y ] =14 t t−14 1 t−7 t t−14 1 t−7 t−14 t t−14
2φ γ = φ γ1 7 01
φ = ρ = γ /γ = 01,1 1 1 0
φ y y7,7 t−7 t
y ,y ,...,yt−1 t−2 t−7
φ = φ = ... = φ = 0 φ = φ7,1 7,2 7,6 7,7 1
φ = φ = 08,8 14,14
2ρ = γ /γ ρ = ρ = 0 ρ = φ ρ = φj j 0 1 8 7 1 14 1
i iγ = φ γ ρ = φ7i 0 7i1 1
φ = 077
ρ i = 1,2,...7i
2−1.9393−.398/62 =−1.95 τ −2.8621−2.738/62−8.36/62 =−2.91
2τ −3.4126−4.039/62−17.83/62 =−3.48 τμ t
enonquecessus,pro.leL'id?ecommeiciouestquequeunitaireonmoestarenetplersoutenable?tsErice-FnceIld'unnA.Rd(7tersection)ettrou?ouetL'id?equeq'unesiestonetd?passesl'Dansodesrdreedehacunel'ARenses,alors62leslacotecienesttsidend'autorcorr?tlcomationoupartielle.sonestt.necienuls.Exercice5.tralePouarolitiqued?nitionnproasvraid?plerecettesecairvmaisaletpremier,pr?senetdedonct:ktiansuridentroisen:deetyposepasations.neen,destatistiques,onaleur?laaleurv4.ornese,etraisonnemencespcomparan,.onabrusetesttulle.t6.sonIldeuxestd?niais?surde3.monencoretreraqueonmenco?videm-.a3oncenvrai,est?lepdrmoplesoit.ilEn'cons?quence,pecn?cessairevlesaensestlestiansoienidenstationnEne.,Onqueretrouvsoldeesoit.leslecaract?ristiquestableauhabituellesJondeaudesteprotestscessusracineAR(1)de:ypuneDicseuleeyautoullercorr?lationcpartielledesnons?riesnjeuulled?perecettestsolde.d?croissancedispexpdeonenobservtielAuleydesdeautotablecorr?lations.MacKiLanonseuleobtiendi?rencedoncest5%qu'icivcescritiqueca.ract?risti.q.uestiqusonttunnaturellemenPtouadapt?es.?oncunaspanblanc,dei7en:cessu.unparme6etexpliquenond'inetpd?croissancerexpblesonenensemtielleLesdessuro?este,?ld?nip.ou.r,dSoitmo:unpdansrdet.EnEntreprenanbtaleecraisonnemenvtdesponr?c?denrejettetl'hetoth?seen2toujours(1,−1) gg taxet t
2−3.3377−5.967/62−8.98/62 =−3.44
8−k 24−k k
k = 1 k = 2
ouronetconsid?repremi?redonc6le?soldecalcul?esbR(1)udg?taire,l'absenlavp4olitiqueullesbudg?taireypnebreseraitetpascesoutenable.proLed'unesoldeconestopardesd?nition?obtenOnuautopardedi?rencededesesrecettessonetlibdesLed?pancenses.nSiQlesl'AR(2)deuxautresdernoiest?lrpecsARMA(1,1)s?riesdesond'autotr?siduellesindonct?gr?esoud'ordres1,sonalorsecti-laSelonsoutenabilit?sonimpliqueetqueoulelessoldeemensoitetI(0)12.59etdedoncnequ'existealidationunermetvrr?lecteurrdancointt?granARMA(1,1).taudeunitaire.lam?mefcetteohermete,d'admettreujoursraisonnableclured?-nonpasdepbudg?taire.odemandeurenletationscoupleAR(2).n'esthoseil'incons?quence,petnonEnlespremi?res.troisdi?rencesi.statistiquesLalesr?gressi24oCesnusautorisenladesre-?cemenherccehetd'uneert?,coinlet?grationparam?tresenestim?s.netroisconl'tracesialeursgrespnandet?pasdegr?sleetv33.92ecteur22coinibt?grancessustdoncquideestendoncnemaindetenand'autottiestim?.pLadeuxquestionCep?tanlestttoujoursfaiblesl'existenceprod'unearcomtrairemenbinaisonpr?sencelin?aireracinedeEndeuxtermes,I(1)aquiecsoitappI(0).cPmoinsourtraignancelaonErictoJondeauamen?uti-conlise?laaprosc?dureutenabilit?enladeuxolitique?tapExerciceesOndde'hoisirEngtrelrepr?sene-GraAR(1),nger.etLaLar?gressionccoreespestondsdonct?resser?lal'estimationr?senced'unecorr?lationsr?gressionndedanscoins?riest?grationdesfournissanltres.tmobleliser?sidulessurQlequelsuron8vlesapremi?restestercorr?lations.lastatistiquespr?senceod'unl'htrendoth?sestoullecthastique.r?alisationsLaChi2r?gressionresp?tanvtteectu?er?sultatsansetpr?senceI(1).ddegr?s'libuo?nesttrendnomd?terminsite,deonARpMAeutDoncsis?ripprrdeuxAproetAquedetrouvouerleslaautresvcessus.a-5%leurrisque,critiquevdanscritiqueslattableectivdetMacKinnon14.07(N=2,35.17notrend).7On23obtiendetert?alorsde:etleurs?suretrejettedegr?slalonert?.maisproeaux,AR(1)nivpasseenpasstestevprisquitrevsonhelorsqu'ellesphastiquepascrejeterstocetrendcod'unapr?senceolar?siduelleauoudeleslaautresaleurcessus.esten10.64tourstistiquesdegr?sondenettemenert?plusquipsou-lel'existencecessuscorr?lationPnexemple,pseuil.10%Lavstatistiquecritiquededetestpv6alanstlib-1.79,ceonalorsnelignerejettedepasnonl'hullesypouroth?seconntulle3deφ = 0 −0.679/0.076 =−8.931
θ = 0 0.476/0.081 = 5.881
±1.96
ci?studendelecots,lesestLe?galemen?faitecienasymptotiqucorejettedesasignicativit?ignlaulstr?siduelleandetenomain),regarderisque,onnSicessuspr?f?rable.doncettsceluicorrespnonondanptd'autoauquitestpropara?thoixtestltrescessuspropri?t?sproesausoittasso5%v?autdedernieroncelaue,ullit?.vprodeARMA(1,1)turaitoindespeciencesDeiARMA(1,1).cativs?s.tCompar?sn?etlaasvsignealeurcorr?lationcritiqueced'uneengaus-lesiennecessus(rappcelez-vparmioustroisqu'onproputilisedes4.