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Master MASS

4 pages
Niveau: Supérieur, Master
Master MASS 2 ??????? Derives financiers Feuille de T.D. no 3 1.— Pour calculer le prix d'une option un operateur a estime que le prix de l'actif sous-jacent S suivait le modele du brownien geometrique avec une volatilite de valeur ?. Pour simplifier, le taux sans risque r est suppose nul. On note f(t, St) le prix de l'option a la date t ? [0, T ] ou T designe la date de maturite. A la date t = 0 l'operateur vend une unite de cette option et commence ses operations de couverture en delta. On suppose que le modele estime pour S etait le bon, en particulier que la volatilite (implicite) valait bien ?, sauf dans une courte periode [t0, t0 + ∆t] ? [0, T ] ou la volatilite est passee brusquement de la valeur ? a la valeur 2?. a. Cette augmentation de la volatilite est-elle favorable a l'operateur ? (discuter selon le signe de ∂2f ∂s2 (t0, St0)) b. En considerant l'EDP de Black-Scholes, exprimer en fonction de St0 , ?, ∂2f ∂s2 (t0, St0) et ∆t le montant des pertes ou des gains enregistres par l'operateur en raison de ce brusque saut de volatilite. Solution.

  • delta neutre

  • call

  • actif

  • formules de black-scholes

  • volatilite

  • gamma

  • prix de l'option

  • option


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Master MASS 2 -
De´riv´esnanciers
o Feuille de T.D. n3
1.—ajectnruoPclaclepruleruneoixdunontpoitaue´prem´tiesraprleueeqcaledxi-suosfitSsuivait le mod`eledubrownienge´ome´triqueavecunevolatilit´edevaleurσ. Pour simplifier, le taux sans risquerest suppos´enul.Onnotef(t, Stoitpla`ntadaeep)lxdrioelt[0, T]o`uTaladetedamutir´taAle.d´esigne datetltdea.tuerenreedsnvuocre´poitaruetare´uenudnevopl=0ocmmnoteesosneecedecnit´optiette Onsupposequelemode`leestim´epourS´olavelquerlicutirapne,nobeltiatentbiealaite)vilici(pmtie´tali σ,saufansudurtenecooied´pre[t0, t0+ Δt][0, T]olavulo`e´tilita´ssaptseeebrusquementdelvalauerσ a`lavaleur2σ. 2 ∂ f a.retucsid(?ruetardeneigesnllosellfetse-´teeitilop´e`alableavorCteetgmauatnenoitaledalov(t0, St0)) 2 ∂s 2 ∂ f b.deonticS-kelohedPDcalBenerncfoexs,imprEerantlEnconsid´St0,σ, (t0, St0) et Δtle montant des 2 ∂s pertesoudesgainsenregistr´esparlope´rateurenraisondecebrusquesautdevolatilit´e. Solution. 2 ∂ f a.On suppose le gamma2(t, St) positif, autrement dit le prixftde l’option est une fonction convexe ∂s du prix du sous-jacentSt. En raison de la couverture en delta, la position du trader se situe sur la droite tangente au pointPd’abscisseStal´dceorsiascnepsirebedocrua`aleimmcon:ioptoxd,noitpoludneval de la valeur temporelle lui est favorable tant que le sous-jacent ne varie pas trop fortement. Sur le graphique ci-dessous, l’axe vertical est celui des valeurs de l’option et de la couverture, l’axe horizontal porte les prix du sous-jacent aux datestpuist+ Δt.
` 0 A l’instantt=t+ Δt > t,aensbpag´oulae,isteovalital´tilestprochedeopisitnoudrtdareAouB, cest-a`-direquellecouvreencoreleprixBlack-Scholesfte,t´ensildaeche,teivoann.lEonpruamg´taeitiloval 0 ilfautsattendrea`desaccroissementssup´erieursdusous-jacentS: la position du trader est susceptible de se trouver enA1ouB1,cer`adiesten-dessousrpudopldeixin.Aontiisnurtdarehsroetngammaatout`a redouterduneaugmentationdelavolatilite´.Cestlecassiletraderestshortsuruneoptionconvexe.Pour unepositioninverseengamma,uneaugmentationdelavolatilite´auraite´t´efavorableautrader. b.Δeri´eetodpoemllrerevuerutsnadpenustemsajudecoentsnerdesgnraele´psingaesLteertpsetsont donn´es(ouestim´es)parleterme 2 1 1∂ f 2 22 ΓfS) =σ S(t, Stt. × 2 2 2∂s 2 3 2 2∂ f Silavolatilite´glissedelavaleurσ`a2σle trader enregistrera une perte deσ S2Δt. 2∂s
2.—eledeBlansdumod`ocdntioidenalssesnleatotepnrndred,seotnoS-kclohcel.sutleahiboisncalpesnO ˜ On noteSt=St/Btobprlilab´eitsqrieneuertulaussocelaepns.Oe´silautcasruoceQ, autrement dit on suppose que la dynamique stochastique deSapee´nnotdesr
avecS0=s0>odnn0e´.
dSt=rStdt+σStdWt