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MathIV-AnalyseKhˆollesde27/05/2008=semaines9,10,11,12 Semaine 1.
*Exercice 1 DansRpdlrdanoentioie´nboneunderuveoultnecedeteraet de rayonrmenortre.´Dquune boule ouverte est un ouvert. Exercice 2 Montrerendonnantunexemplequeluniondunefamilleinniedepartiesferme´esdeRpn’est pasn´ecessairementferme´e. Exercice 3 Onconsid`erelapplicationsuivante: N:R2−→R (x, y)7|x+y|+|2xy| V´erierqueNrdouoelt´niuteaobaluelurT.erecaorme.`acettenrrpaoptririgenapein´donmruten Exercice 4 Trouver la meilleure constanteCtelle quekxk2Ckxkpour toutxRn. Exercice 5 Onconside`relapplicationsuivante: N:R2−→R (x, y)|7x+y|+|x| V´erierqueNtra`paopaprrigenme.enorcettacTrlaerulbonieuae´tuotuledriro´deinutenonmr.e *Exercice 6 DansRpennodundioitn´eadrlre´meeedenoblufecentreaet de rayonrrertuuq´D.nomeboneeul fermeeestunferm´e. ´ Exercice 7 Montrer en donnant un exemple que l’intersection d’une famille infinie de parties ouvertes deRp nestpasn´ecessairementouverte. *Exercice 8 Donnerlad´enitiondunepartieouvertedeRp . Donnerlad´enitiondunepartieborne´edeRp. Exercice 9 Onconsid`erelapplicationsuivante: N:R2−→R (x, y)7max(|x+ 3y|,|xy|) V´erierqueNlaboacere.Trnormuodraetuin´tluueaprrpanegirioelemronetteca`trop.ineenut´d *Exercice 10 Donnerlad´enitiondunespacenorme´enexplicitantlestroisconditionsquid´enissentunenorme. *Exercice 11 Montrer que l’intersection de deux parties ouvertes deRpest un ouvert.
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xEercice
12
´´
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