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Mathe´matiquespourlaBiologie(semestre2):Feuille-re´ponsesduTD3 Mode`lesdynamiques:autresexemples
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Exercice 1.:ppsoqeeunOusenteunbalonalimaveledegnisse´drupauxnisponssoedattnocsn larves dont ils se nourissent. La dynamique des deux populations de larves et de poissons dans ce bassins ressemble`acelledunmod`eledeLotka-Volterramaiselleendie`reparlefaitqueletauxdecroissance intrins`equedeslarvesnestpasproportionel`alatailledecettepopulationmaisconstantaucoursdu temps.Onadoncdanscecasunmod`eledutype 0 x=α1β1xy (1) 0 y=α2y+β2xy
o`ux(tatelntseeledllaitalupoparalednoives(enmilliers)etpee´r)y(t) celle de la population de poissons. Cetypedemode`lesappelleunmod`eleressource-consommateur. On suppose queα1= 20,β1= 0.04, α2= 0.75 etβ2= 0.03. 1.Quelest,seloncemode`le,letauxdemortalite´parteˆtedespoissons?Querepre´sentelescoecients β1etβ2?
0 2.Ecrirelesyste`medi´erentielpourcemode`lepuiscalculerles´equationsdesdeuxisoclinesx= 0 et y=0etend´eduirelescoordonne´esdel´equilibre.
3. Dans le quadrantx0, yneeldleess4r´aengsicohnsaqcuunisee,dtueixoslceracsdletr0 d´elimitentplacerune`echeindiquantladirectionduchampsdevecteursassocie´.
4.Peut-onende´duirelecomportementdesdeuxpopulationslorsquettend vers +?
1
1 5.Onobservequelesdeuxpopulationstendentversl´equilibrelorsquettend vers +. Sur la figure pre´ce´dente,tracerunetrajectoireayantcecomportementpuistracercidessouslesgraphesdex(t) ety(te.toircejartetteca`tnandpoesrrco)
Exercice 2.:orgusen,iosrteud´esertorpionsdsnoicsedpopxtalutreneuedti´eontiocpmeialteduO´n respectivement,quisenourissentdelamˆemeressourceetquelonmod´eliseparlesyste`mesuivant: 0 x= 0,1x(30,06x0,02y) (2) 0 y= 0,1y(10,01x0,02y)
1.Pr´ecisezquelestletauxdecroissanceintrinse`querteacalicapiotit´ebqueKde la population de scorpions rougesy(t) lorsque l’autre population de scorpions noirsx(t) est absente.
2.Pre´ciserquelleest,danscecas,lecomportementdelapopulationdescorpionsrouges(enesquissant l’allure du graphe dey(t)) lorsque l’on ay(0) = 30.
3.Calculerlesisoclinespuislescoordonn´eesdesquatrespointsd´equilibredusyst`eme.
4.Lequelparmicese´quilibrecorrespond`alacoexistencedesdeuxpopulations?Expliquerpourquoi.
1 Une´quilibreverslequellestrajectoiresvoisinestendentenspiralantestappele´unfoyer stable.
2
5.Voiciledessinduchampsdevecteursassoci´e`a(2).Ajouterlesisoclinesetv´erierquelese`chesy sont bien horizontales et verticales respectivement.
40
35
y 30
25
20 30
Modèle de compØtition
35
40 x
45
50
6.Lepointde´quilibrecorrespondanta`lacoexistencedesdeuxpopulationsestunnoeud stable. Pourquoi,a`votreavis,nest-cepasunfoyerstable?
7.Silapopulationinitialedesscorpionsrougesest20etcelledescorpionsnoirsde30,d´ecrire l´evolutionx(t) ety(tomecnoleˆM.ele`dstueeqemesilnsio)edhccanudesedeuxpopulationss tailles initiales sont de 50 et 40 respectivement.
3
Exercice 3.: 1.Letrac´esuivantrepe´sentelechampsdevecteursassoci´ea`unautresyste`mededeuxesp`ecesen comp´etition 0 x= (1x2y)x (3) 0 y= (12xy)y ou`x(t) ety(t) s’expriment en milliers d’individus. Ajouter sur ce dessin les isoclines et les points d´equilibre.
coexistence improbable: extinction de l'une des deux especes
1
0.8
0.6 y
0.4
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.81 x
2.Parmicese´quilibres,lesquelssontattractifs,re´pulsifs,nilunnilautre?Celuidontlesdeuxcom-posantes sont non nulles s’appelle uncol.
3. Tracerla trajectoire issue de (1,1). Peut-on parler dans ce cas de coexistence des deux populations ? Expliquer pourquoi.
4.Mˆemequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1,1ε), pourε >0 petit.
5.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1ε,1).
6.Expliquerpourquoiladynamiquedecemode`leconduiteng´en´erala`lextinctiondelunedesdeux populations.
4