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Notes sur les ensembles et applications
6septembre2009
I Ensembles
1. Qu’est-cequ’un ensemble? Exemples «rvdeleHseltoueomme.Deileear´ucrsientseslerutanetserel,» Leopold Kronecker Nousnede´nironspascequestunensemble:cestunebriquedebase.Ilestplusimportantdeconnaˆıtreles «rgl`ees»eyoluoprnamrlupi`mpaelarge´ecttmesi-eerdesensembles.Menu,epdear-genciinprde«dnoitine´ intuitive»d’un ensemble est la suivante. De´nition1Un ensembleEeunsts.euqitame´htam)ec´ef´erenets(deproidnojbceloeltc Un objetxest untmenee´´ld’un ensembleEsixaartienatp`pE.Autrement dit :xfigure dans la collectionE. Sixle´nutseedtneme´E,on note xE. Ce qui se lit«x`antpaaptreiE». Sixnsteusaple´neme´edtnE, on note x6∈E. Ce qui se lit«xa`saptneitpparnaE».
Principe d’extension
Ce principe est fondamental. Le principe d’extension est le suivant :
Un ensembleEl´emes´e.entse´dtnemesraptirceseri`ntte
Defa¸conimag´ee,onpourraitparaphraserceprincipeendisant:
Dites-moi ce qu’est le contenu, je vous dirai ce qu’est le contenant.
Remarque :´ereenumeut´onpuqleoLsrleenunmbsenemedstselr´le´E,ion.d´onenextensneesbmelceirarl Par exemple, 1.E={1,2,3}ersenlnees´dsegis´le´eellembntdoseltitnetnemnoss1,2et3. 2. L’ensembleAti´unotscaelsdrettleesed:tirce´stebahpl
A={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}.
Remarque :uaatIflneˆtovriueleteqedanordrlleuqelsme´le´seldetsenlembseenropmeterm´si´entsonu´e peu;quun´el´ementr´ep´ete´plusieursfoisnecomptequunefois!Ainsi: 1.{1,2,3}et{2,1,3};elesbmemnemeeˆneltcrivd´e 2.{1,1,2}et{1,2}dcr´eenivemtleˆemneesbmel.
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Egalit´edensemblesons´ourconapensietxpideircnLpes.lembseend´etilage´lecneuqe SoientEetFdes ensembles. On dit que les ensemblesEetFsont´geuaxlentde`es´meˆesmtneme´le.ssislopss On noteE=Fsi les ensemblesEetFsnoua;x´tgeE6=Fsensptnolis.´easuxga Remarque :niarelumrofestue:siil´teetnLe´agsemblespredeuxen
E=Fsi et seulement si(xExF).
Poursefamiliariseraveclanotionde´galite´densembles,voicideuxexemples. Exemple : 1.{1,2,3}={2,1,3}; 2. SoientE={1,2,3}etF={0,1,3}.Les ensemblesEetFseetnE.enagxusae´nopt2E,mais 26∈E; 3. SoientE={nN|(mN) (n= 15m)}etF={nN|(kN, n= 5k)et(`N, n= 3`)}. Lesensemblesconsid´ere´ssontde´critsenconoisenehr´mp(voir plus loin). On aE=F: ceci est admis pourlemoment(ilfautavoirdessouvenirsdarithm´etique).
Exemplesdensembledusagefre´quent • ∅melbesnedl(eliv´el´ucunnaaequi:neme;)tmbseenlneigesd´ Nutersl;tneisran´d:giselembsedelneseen Zalitsf;nnteileresnrseem:bdl´eedseisge Q:´dsegi;noitslenrbmoarselembsndelneseen Rrbsensmoeledesbmlenigned´es:;lseer´ Cmorbseocpmelex.snsedelbmesnelenigesd´: Bienentendu,dautresensemblesinterviendronttoutaulongdelanne´eetlesnotationscorrespondantes pourlesd´esignerapparaitrontlecase´che´ant.
Descriptionencompr´ehensionanutraouspanssle´rptseuqeceridtttentce´emeecisueexexpmnOvadu description. Un ensembleFneme´le´nudstsee´dttirccoenr´mpenehonsislisedte´rctiocmmelensembledes ensembleEnipereat´iteorrpa´eecunntyaP(x).O:ritanl´oersc
F={xE|P(x)}.
Par exemple, l’ensemble 2Nrteˆtuepsriapsretienesdiasniheneisnoencompr´ed´ecrit
2N={nN|(kN, n= 2k)},
laproprie´te´P(ntena´)(itickN, n= 2k). Remarque : 1.Onnoublierapasd´ecrirexE(olensemblechoisirpn´rcesidenaqseux). Mettre simplementxn’a pas desens,etpire,peutconduirea`dese´rieuxparadoxes. 2.Onparlee´galementdedescriptionense´lection:onse´lectionneles´el´ementsquiontla«bonne»´irporp.e´te
InclusionSoientEetFdes ensembles. On dit queEestinclusdansFotiselsule´sme´esdnteEsont des ´ele´mentsdeF. On noteEFsiEest inclus dansF;E6⊂FsiEn’est pas inclus dansF. Remarque :L’inclusion d’un ensembleEdans un ensembleFpeut se formuler ainsi :
ou ainsi :
Remarque :
EFsi et seulement si(xExF).
EFsi et seulement si(xE, xF).
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1.Poure´tablirEF,on se fixexE´noteeriartibraceuetqliabetxppraitnetiarriaerbat`aF; 2.Pour´etabliraucontrairequeE6⊂F,on exhibe unxEtel quex6∈F. Lespropri´ete´ssuivantessontfr´equemmentutilise´es:
Propri´et´e1SoientE, FetHdes ensembles. 1.∅ ⊂E; 2.EE; 3. SiEFetFG,alorsEG; 4.E=F(EFetFE).
Remarque :liabneruou.Petr´diveetneeˆd´ertlen-tervient´toeu`nirppoire´loinsestessuci-d´t1eire´rppoaL semblevide,ilestfre´quentdefaireunraisonnement par l’absurde.Nous renvoyons aux notes sur les die´rentsraisonnementsetleurbonusagepourlad´emonstrationdecettepropri´et´e1. ` A retenir : • ∅;est inclus dans n’importe quel ensemble ´etaPourquedblirmesnexueselbEetFga´entsoronp,ouxarc´ederapdouble-inclusion: On´etablitqueEF; puis queFE.
Exemple : 1.NZQRC; 2. SoientF={nN|(kN, n= 5k)et(`N, n= 3`)}etE={nN|(mN) (n= 15m)}. On aFE. En effet : soitnF.Darpe`lsdae´nition,nnamxuede:sere`is´ecritd – ilexistekNtel quen= 3k; – ilexiste`Ntel quen= 5`. Cesdeux´ecrituresdenpermettent de dire que3et5gurentdocpmsotinalsdae´respurteacnfneiosreim den.snocraPent´equnest un multiple de15 = 3×5.Il existe doncmNtel quen= 15m:nappartient donca`E.itblta´eiceCequFE. ´ Exercices.Etablir queEF.erEnd´eduiE=F.
2.Partiesdunensemble.Op´erationssurlesparties Un ensembleFcontenu dansEapsteenue´leppartiedeE(synonyme : sous-ensemble). L’ensemble des parties d’un ensembleEeoen´ttsP(E). Remarque :On aFEF∈ P(E). Exemple : 1.etEsont des parties deE.uepnnodtce´cerir:O∅ ∈ P(E);E∈ P(E). 2.{1,2}est une partie de{1,2,3}. 3. SoitE={1,2}.On aP(E) ={∅,{1},{2},{1,2}}. Exercices. 1. SoitE={1,2,3}.´DriecreP(E). ` 2.Aquoieste´galP()?
R´eunion.IntersectionSoientEun ensemble;FetGdes parties deE. On noteFG(qui se lit«FunionG»seenlembl)dseemtnlee´ed´sEnenttienpparquiaa`Fa`uoG, cest-`a-dire FG={xE|(xF) ou (xG)}. L’ensembleFGest laun´eniordes ensemblesFetG.
On noteFG(qui se lit«FinterG»l)elbdesnmeeml´´eesdetsenEtrappaiu`tnaenneiqFtea`G, cest-a`-dire FG={xE|(xF) et (xG)}. L’ensembleFGest l’intersectiondes ensemblesFetG.
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