Noyau de Szego et calcul numerique de l'application conforme de Riemann

Norberto Kerzman

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Noyau de Szego et calcul numerique de l'application conforme de Riemann d'apres Norberto Kerzman et Manfred Trummer Notations. – Soit P une partie de Rn et I un intervalle ferme borne de R. A toute fonction continue K(t, s) sur P ? I, on associe un operateur K de L1(I) a valeurs dans l'espace C(P ) des fonctions continues sur P , defini par Ku(t) = ∫ I K(t, s) u(s) ds, t ? P. La fonction K sera appelee noyau de l'operateur K. Pour P = I et u, v ? L2(I), le theoreme de Fubini donne ?Ku, v? = ∫ I?I K(t, s)u(s)v(t) ds dt et l'inegalite de Cauchy-Schwarz implique |?Ku, v?| ≤ ?K?L2(I?I) ?u?2 ?v?2. Par consequent ?K? ≤ ?K?2, et un argument de densite montre que K definit un operateur continu L2(I) ? L2(I) pour tout noyau K ? L2(I ? I). Soit ? un ouvert connexe borne du plan complexe C dont la frontiere ∂? est une reunion de courbes fermees de classe Ck, k ≥ 2. ?1 ?2 ?3 ? On designe par O(?) l'espace des fonctions holomorphes sur ?, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.

• calcul numerique de l'application conforme de riemann


• parametrisation de ∂d par l'abscisse curviligne


• courbe de classe ck?1


• formule


• ∂?


• eis ?

Sujets

• Formule

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français

Extrait

NoyaudeSzeg¨oetcalculnum´erique de l’application conforme de Riemann d’ap ` Norberto Kerzman et Manfred Trummer res

Notations.– SoitPune partie deR n etIintnreavueborn´edlleferm´eR. A toute fonction continueK(t s) surP×Iicuesaos,noeureratnop´KdeL 1 (Isnadsruelava`) l’espaceC(P) des fonctions continues surP´d,infierap Ku(t) = Z I K(t s)u(s)ds t∈P La fonctionKaaerse´eelpp’leduayoetare´pournK. PourP=Ietu v∈L 2 (I), le the´oremedeFubinidonne ` hKu vi= Z K(t s)u(s)v(t)ds dt I×I etl’in´egalit´edeCauchy-Schwarzimplique |hKu vi| ≤ kKk L 2 (I×I) kuk 2 kvk 2  Parconse´quentkKk ≤ kKk 2 ueeqtr,ergumtunadenenedtmenois´tKdunitfin´e ope´rateurcontinuL 2 (I)→L 2 (I) pour tout noyauK∈L 2 (I×I). SoitΩunouvertconnexeborn´eduplancomplexeCodtn`ereontilafr∂Ω est une re´uniondecourbesferme´esdeclasseC k ,k≥2.

γ 1 γ 3 γ 2

Ω

Ond´esigneparO(Ω) l’espace des fonctions holomorphes sur Ω, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts. Par ailleurs, on notedsla mesure de longueur d’arc sur∂Ω etseeuc´lc,laxeneonecntsapoomceuqahcrusengili’lbacssiesucvr a`partird’uneoriginequelconque.EnfinL p (∂cnitnoscadeseofelgnsp’e)dΩsi´eL p `a valeurs complexes sur∂Ω muni de la mesureds.

1

1. Transformation de Hilbert. Sifet holomorphe dans Ω, la formule de Cauchyest une fonction continue sur Ω donne f(w  2 ) = i 1 π Z ∂Ω f z ( − z) wz w d∈Ω Notonsz=γ(ste´marapal)detionrisa∂Ω par l’abscisse curviligne. On adz=τ(z)ds ou`τ(z) =γ ′ (s) est le vecteur unitaire tangent `∂Ω au pointz. Par suite a f(w) = Z ∂ H(w z)f(z)dsavec Ω τ(z) ( z) =  2i 1 π z−w H w  w∈Ω z∈∂Ω

De´finition1.1.–La fonctionH(w z)deCauchydeseatpplee´neyouaΩ. Siuest une fonction sur∂Ωl,taarsnofmre´eHedbeildertufie´dpeinraste Hu(w) = Z ∂Ω H(w z)u(z)ds w∈Ω Comme le noyauHest continu sur Ω×∂Ω,Hutsefie´dneibeuindee`qsu∈L 1 (∂Ω), et donc aussi siu∈L p (∂Ω)⊂L 1 (∂Ω),p≥1. Proposition 1.2.–Pour toutu∈L 1 (∂Ω),Huest holomorphe surΩreuater´po’lte, H:L p (∂Ω)→O(Ω)est continu. De´monstration.– Le noyauH(w zt`orppraa)estdffie´ertnailbperawet on a ∂ ∂w H (w z  2 ) = i 1 π(z τ − ( w z ) ) 2  ∂H ∂w (w z) = 0 Lesde´riv´eespartielles∂H∂wet∂H∂wsont donc continues sur Ω×∂le.ΩD’apr`es th´eore`medede´rivationsouslesignesomme,onende´duitqueHutntiab´leereetdiffes que ∂ ∂ w Hu(w) = Z ∂Ω 2i 1 π(z τ − ( w z ) ) 2 u(z)ds ∂w  ∂ Hu(w) = 0 doncHuest holomorphe sur Ω. a par ailleurs On |H(w z)|=  2π|z−w|  −1 ≤  2πd(w ∂Ω)  −1  SiKest une partie compacte de Ω, on obtient − sup  Hu(w)  ≤  2πd(K ∂Ω)  1 kuk 1  w∈K doncH:L 1 (∂Ω)→Ourusiaposisetaarvte´retlusontinu.L(Ω)estcL p (∂Ω) puisque l’inclusionL p (∂Ω)→L 1 (∂Ω) est continue. 2

Formule 1.3.–Siu∈C 1 (∂Ω)tiale´nfivie´´dreedend,oule long de∂Ωpar u ′  γ(s)  = γ ′ 1 (s)s d d  u  γ(s)   Alors(Hu) ′ =H(u ′ )surΩ. En effet, commedzds=γ ′ (s) =τ(z) le long de∂Ω, le calcul ci-dessus suivi d’une int´egrationparpartiesmontreque τ(z) (Hu) ′ (w) = Z ∂Ω 2i 1 π(z−w) 2 u(z)ds= Z ∂Ω 2i 1 dsπ d (z) h z − − 1 w i u  γ(s)  ds  ds=H = Z ∂Ω 2i 1 π z− 1d wsd  u  γ(s)  Z ∂Ω (w z)u ′ (z)ds=H(u ′ )(w)

Exemple 1.4.tie´eunuidqs–=ΩD={w∈C;|w|<1}. Laparame´trisationde∂Dirturecliviesgnec’´lrapsba’ssic z=γ(s) =e is  s∈[02π] On aγ ′ (s) =ie is =iz, donc le noyau de Cauchy deD´npedtnoesra H D (w z)= 1 2e is e i − s w = 1 2π1−w 1 e −is 1 2 = π1− 1  zw π Puisque|w|<1,H D (w zsneireepoaplbeestd´evel)erusetnegrevnoctnmelemaoreneri`nt ´ tout compact deD×∂D: H D ( z 1 +∞ w n e −ins  w  2 ) = π X n=0 Onpeutdonc´ecrire +∞ π H D u(w) = X ub(n)w n ou`ub(n) 2 = 1 π Z 2 u(e is )e −ins ds n∈Z n =0 0 est len-i`emecoeeicffiedtnruoFdreieu. Siu∈L 2 (∂D), la fonctionuecris’´mee-eˆmetll commesommed’unese´riedeFourierL 2 -convergente u(e is ) = X ub(n)e ins n∈Z etd’apr`eslaformuledeParseval,latransformationdeFourierestuneisom´etried’espaces de Hilbert:

L 2 (∂D)−→l 2 (Z) u7→−2π  ub(n)  n∈Z  Revenonsaucasge´n´eral.Onconsid`erepourtoutε >0 assez petit la courbe de classeC k−1 γ ε (s) =γ(s) +εiγ ′ (s) =z+εiτ(z) z=γ(s)∈∂Ω ou`iγ ′ (snrueamroeltstcev)et`alrentran∂Ω.

3

ε τ(z)

Ω

γ ε

iτ(z)

γ

Notreobjectifestd’e´tudierlecomportementdeHusur la courbeγ ε lorsqueεtend vers 0. Pourcela,onde´finitunop´erateurH ε surL 2 (∂nslauesradΩ`)vaC k−1 (∂Ω)⊂L 2 (∂Ω) par H ε u(w) =Hu  w+εiτ(w)  ieH ε u  γ(s)  =Hu  γ ε (s)   L’ope´rateurH ε ci´eassoyauaunoets H ε (w z) =H(w+εiτ(w) z) =  1 wzπ τ − ( ε z) iτ(w)  2i−

The´ore`me1.5.– (a)Siu∈L 2 (∂Ω), alorsH ε uconverge dansL 2 (∂Ω)vers une limite note´eH 0 uu,`oH 0 tsnuerusuinntcourtera´eopL 2 (∂Ω). De plus, il existe une constante C >0idne´epannddeteε,utelle que kH ε uk 2 ≤Ckuk 2  (b)Siu∈C q (∂Ω),1≤q≤k, alorsHuse prolonge en une fonction de classeC q−1 surΩ. De´monstration.–Oonnmedtrbo’adrelhte´roe`emolrsqueΩ=D. (a)Onaparde´finitionγ ε (s) = (1−ε)e is u`o’d, +∞ H ε D u(e is ) =H D u  (1−ε)e is  = X (1−ε) n bu(n)e ins  n=0 SiH 0 D e´poetare’ltsenfaisanurobtenutεalit´edeaslulof,´m’rgleuce0-=iaeddssns Parseval montre quekH ε D uk 2 ≤ kuk 2 pour toutεet +∞ kH 0 D u−H ε D uk 2 2 = 2π  X 1−(1−ε) n  2 |ub(n)| 2 n=0 converge vers 0 quandεtend vers 0. (b) La formule (Hu) ′ =H(u ′ disnere´celrsaeqtrilu’ffitsucodem)noq Alors,= 1. commeu ′ est continue, la suite des coefficients de Fourierin ub(n) deu ′ est dansl 2 (Z). 4

Par suite  bu(n)  ∈l 1 (Zaec)rgnie´a`’l;zrawhcSse´rneliedt´ligay-chaueCsae´ireluetuqle ˆ P b(n)w n c ormalement surDd,`u’oH D u∈C 0 (D). uonverge n On se place maintenant dans le cas d’un ouvert quelconque Ω. Si le bord∂Ω est une re´uniondecourbesγ j , alors Hu(w) = j X Z γ j z)u(z)ds H(w et le terme d’indicejest holomorphe (doncC ∞ ) surC\ {γ j } peut donc supposer. On que∂Ωsectmoopeino´htemotoe`hsaseaucm`enserauoceluesenu’de´sprta,eeem´erefrb o`u∂Ω est de longueur 2π. On a alors 1 u  γ(s)  Hu(w) 2iπ Z 0 2π γ(s)− γ ′ w (s) ds = (a) Posonsw=γ(t)∈∂Ω. Il vient H ε u(w  2 ) = i 1 π Z 0 2π γ(s) u −  γ γ( (t s) )  γ − ′ (s iε ) γ ′ (t) ds Commeγest de classeC k ,k≥cevatsertnierge´oraflemuTadeoryl2l,nnelaod γ(s)−γ(t) = (s−t)γ ′ (t) + (s−t) 2 ϕ 1 (t s) ou`ϕ 1  ϕ 2    sont des fonctions dansC k−2 (∂Ω×∂nd´eduitΩ).One γ(s)−γ(t)−εiγ ′ (t) =  s−t−εi+ (s−t) 2 ϕ 2 (t s)  γ ′ (t) =−i  e i(s−t) −1 +ε+ (s−t) 2 ϕ 3 (t s)  γ ′ (t) =−i  e is −(1−ε)e it + (s−t) 2 ϕ 4 (t s)  e −it γ ′ (t) ′ H ε u(w) = Z 2 0 π  e is u  − γ 1( (s) −  ε γ( )e s i ) t e  i γ t ′ (t) h 1− e is −(1− (s ε) − e i t t ) 2 + ϕ ( 4 s (t − s t) ) 2 ϕ 4 (t s) i 2 ds π  Commee i(t−s) γ ′ (s)γ ′ (t) = 1 + (s−t)ϕ 5 (t sceirue´ternp,o) H ε u(w= 1 2 ) π Z 2 0 π e is e i − s u (1  γ − ( ε s ) )  e it ds+ Z ∂Ω R ε (t s)u  γ(s)  ds ou`R ε (t s) est de la forme R ε (t s) = e is − s (1− − ε t )e it h ϕ 5 (t s) + γ(s) s− − t γ ε (t) ϕ 6 (t s) i  Nouspouvonsinterpre´tercetted´ecompositionsouslaforme (H ε u)◦γ=H ε D (u◦γ) +R ε (u◦γ) 5