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PCSI A2011-2012
Mathématiques
Feuille d’exercices 6 :Géométrie analytique de l’espace.
Lycée Brizeux
~ ~~ ~~ ~ Sauf mention contraire, l’espace affineEest rapporté à un repère orthonormé directR= (O,(i, j, k)). La base(i, j, k) −→ est alors une base orthonormée directe deE.
Outils de la géométrie dans l’espace : produit scalaire, produit vectoriel et déterminant. −→ Exercice 1.SoitPun plan passant parOet dontn(0,1,1)est un vecteur normal. 1. Donnerun vecteur directeur directeur de la droiteDnormal àPet passant parO. −→ 2. Lesvecteursu(1,0,0)etv(0,1,1)sont-ils dansP? Est-ce que(vu ,)est une base deP? Si oui, est-elle orthonormée ? 0 3. Déterminerles coordonnées deH(resp.H) projeté orthogonal deM(a, b, c)surP(resp.D). Ecrire si possible OHcomme combinaison linéaire deuetv. 0b+c b+c bc cb−→cb−→ Solutions:H(0, ,);H(a, ,);OH=a u+v . 2 22 22 −→ Exercice 2.Mme exercice que le précédent avecPpassant parA(0,0,1)et dontn(1,1,0)est un vecteur normal puis avecu(1,1,0)etv(0,0,1). 0ab ba a+b a+b a+bSolutions:H(, ,1);H(, ,c+ 1);AH=u+c v . 2 22 22 Exercice 3.SoitPle plan passant parA(1,0,1)et engendré par les vecteursu~(1,0,1)et~v(0,0,2). 1. Déterminerun vecteur normal au planP. 2. Endéduire les coordonnées du projeté orthogonal d’un pointM(a, b, c)sur le planP. Exercice 4.Pour les trois couples de vecteursuetvci-dessous, calculer le produit vectorieluv: 1.u(1,1,1)etv(1,3,0)2.u(12,6,24)etv(5,0,15)3.u(1,2,6)etv(5,10,30) −→ Solutions: 1.(3,1,4); 2.(90,300,30); 3.0 Exercice 5.Considérons les trois pointsA(1,0,0),B(0,1,0)etM(1,1, x). 1. LorsquexparcourtR, montrer queMparcourt une droite dont on précisera un point et un vecteur directeur. Montrer que les pointsA,BetMne sont pas alignés. 2. Donnerl’aire du triangleABM. 3. Endéduire la longueur de la hauteur issue deMdans le triangleABM. q 2 2x+1 1 2 Solutions: 2.; 3.x+. 2 2
Exercice 6.ABCDEF GHest un cube. 2 Soit(α, β)RetIetJtels que −→EI=αEHetGJ=βGH
Déterminer une CNS surαetβpour la droite(AI)soit parallèle au plan(DBJ). Indication : décomposer les vecteurs dans une BON adap-tée.
−→Exercice 7.SoitOABCun tétraèdre rectangle (i.e. un polyèdre à4faces tel queOA, OB, OCsont orthogonaux) enO. Établir le résultat suivant attribué à Descartes : «Le carré de l’aire du triangleABCest égale à la somme des carrés des aires des trianglesOAC,OABetOBC.»
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−→ −→−→ Exercice 8.Double produit vectorielEtant donné trois vecteurs de l’espacevu ,etw, montrer que : −→ −→−→ −→−→ −→−→ −→−→ (uv)w= (u . w)v(v .w)u −→ −→−→ −→−→ −→−→ −→−→ et queu(vw) = (u . w)v(u . v)w
A quelle condition a-t-on(uv)w=u(vw)? Indication : se placer dans une bonne base.
Exercice 9.Division vectorielle 1. Peut-ontrouver un vecteurede l’espace tel que pour tout vecteuruon a −→ −→−→ −→−→ eu=ue=u? −→ −→−→ Soituetvdeux vecteurs de l’espace. On se propose de déterminer l’ensembleSdes vecteursxde l’espace tels que : −→ −→−→ ux=v . −→ −→ 2. DéterminerSlorsqueu= 0. −→ −→−→ 3. Onsuppose désormais queu6= 0. DéterminerSlorsqueu . v6= 0. −→ −→ 4. DéterminerSlorsquev= 0. −→ −→−→ 5. Onsuppose désormais queu . v= 0etv6= 0. On noteS0l’ensemble des solutions de l’équation homogène −→ ux= 0. −→ (a) Supposonsqu’il existesS. Montrer qu’on a l’égalité : S={xvecteur de l’espace, x=s+x0, x0S0}. (b) Endéduire que :   vu −→ S= +λλ u ,R. −→2 ||u|| (c) Déterminerl’ensemble des solutions de l’équation : −→ −→−→ xu=v . Exercice 10.Pour les trois triplets de vecteursu,vetwci-dessous, calculer le déterminantdet(u ,v , w): −→ −→−→ 1.u(0,0,1), v(1,1,0), w(2,2,1). −→ −→−→ 2.u(30,10,0), v(4,2,2), w(5,5,15). −→ −→−→ 3.u(37,7,1), v(3,3,9), w(40,10,10) Réponses : 1.4; 2.500; 3.0.
Exercice 11.Calculer le volume du parallélipipède construit sur les vecteurs u(1,1,1), v(1,2,1), w(0,1,1). En déduire la distance du pointA(0,1,1)au plan(O, u, v). 1 Réponses: Volume =3.. Distance = 3 2 −→2 21−→21 2−→2 1 2Exercice 12.Soientu(,,),v(, ,)etw= (, ,). Montrer que(v , wu ,)définit une B.ON. Calculer 3 33 33 33 3 3 det(u ,v , w)?. La base est-elle directe −→ Déterminer les coordonnées du vecteurt(1,1,1)dans la base(u ,v , w).
Exercice 13.SoientA(0,1,0),B(1,1, x),C(y,3,3)etD(0,2,1). oùxetysont deux paramètres réels. Déterminer une condition nécessaire et suffisante surxetypour queA,B,CetDsoient coplanaires. Réponse :xy= 1. −→ Exercice 14.Soienty ,zx ,ettquatre vecteurs de l’espace. Montrer qu’on a l’égalité : −→ −→ −→−→ −→−→ det(xy ,xz , xt) = 0.
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Droites, plans et sphères de l’espace.
Lycée Brizeux
Exercice 15.Le plan médiateur. SoientAetBdeux points de l’espace. 1. Montrerque l’ensemble des points équidistants deAetBest un plan (appelé plan médiateur). On en donnera un point et un vecteur normal. 2. SoitA(α, β, γ)etOl’origine du repère. Donner une équation cartésienne du plan médiateur deOA. Exercice 16.Dans chacun des cas ci-dessous, former une équation cartésienne du plan : 1. passantparA, dirigé paru(1,1,2)etv(2,1,3). 2. passantparA(1,0,0),B(1,1,0)etC(2,1,2). −→ 3. passantparA(1,1,1)de vecteur normalv(0,1,1). Solutions : 1.x+ 7y+ 3z28 = 0. 2.2x+z+ 2 = 0.3.y+z1 = 0. −→ Exercice 17.On considère deux pointsAetBdistincts et un vecteurnnon nul. −→ 1. Donnerune condition nécéssaire et suffisante pour qu’il existe un plan passant parAetBde vecteur normaln. 2. Onse donne un réeltetA(t,1,2)etB(3, t, t). Former, lorsque c’est possible, une équation cartésienne du −→ plan normal àn(1,2,2)et passant parAetB. Exercice 18.SoientA, B, CetDquatres points non coplanaires. Déterminer l’ensemble des pointsMtels que : det(AB, AC, AD) = det(AB, AC, AM)
0 Exercice 19.Etant donné deux plansPetP, d’équations normalisées respectivesax+by+cz+d= 0et 0 0 0 00 a x+b y+c z+d= 0. Déterminer l’ensemble des points équidistant dePetPlorsque : 0 1.PetPsont parallèles. 0 2.PetPsont sécants. L’ensemble trouvé dans le second cas est la réunion des deuxplans bissecteurs. Que peut-on dire de ces deux plans?
Exercice 20.SoientPle plan d’équation cartésiennex3y+z4 = 0etA(1,2,1),B(1,6,1)etC(2,2,2) des points de l’espace. Déterminer une équation du planHcontenant les pointsA,BetC. Les plansPetHsont-ils sécants ? Solutions :x+y3z+ 2 = 0 −→ Exercice 21.SoientDla droite passant parA(0,1,0)dirigée paru(1,2,1)et le pointB(2,1,1). 1. Donnerun système d’équation pourD. 2. Déterminerla distance deBàD 3. Donnerune équation du plan passant parBetD. q x=z5 solutions :1. 2.; 3.y2z+ 1 = 0. 6 2xy1 = 0 Exercice 22.Déterminer tous les réelsk, tels que les deux droites suivantes aient au moins un point d’intersection :   x+kz1 = 0y+ 2z= 0 et yz01 =x+z3 = 0 Solution : Déterminer un point et un vecteur directeur de chaque droite puis exprimer que les droites ont un point d’intersection ssi leur distance est nulle.
Exercice 23.On considère les plansP1etP2d’équation2x4y+ 3z+ 5 = 0etx2y+ 3z2 = 0. −→ 1. Sont-ilssécants ?Si, oui donner un vecteur directeuruet un pointIde la droite formée par l’intersection. 2. Donnerune équation cartésienne du plan passant parA(2,2,0)et perpendiculaire àP1etP2
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−→ Solutions :1. Oui;I(7,0,3)etu(2,1,0); 2.2x+y2 = 0.
Exercice 24.Dans les deux cas ci-dessous, donner une perpendiculaire commune aux deux droites. 1.D1passant parOde directionu(1,0,0)etD2passant parA(0,0,1)de directionv(0,1,1). 2.   2x+ 5y+z29 = 0x+ 3y+3z7 = 0 D1etD2 x+ 3y+ 2z5 = 0x+ 2yz05 =   x= 0x+ 8y+ 17z010 = Solutions2.: 1. y=zx+ 4y+ 7z13 = 0
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Exercice 25.SoitMle point de coordonnées sphériques :(R= 1, φ, θ)(cf. fiche pour les notations). Donner l’équation 2 2 2 du plan tangent à la sphère d’équationx+y+z= 1passant parM.
Exercice 26.Soient quatre points de l’espaceA(1,2,3),B(2,3,1),C(3,1,2)etD(1,0,1). 1. MontrerqueA,B,CetDne sont pas coplanaires. 2. Déterminerle centreΩet le rayon de la sphère circonscrite àABCD. Solutions :2.Ω(1,1,1)etR= 5.
2 2 2 Exercice 27.Considèrons la sphèreSd’équationx+y+z2x+ 4y+ 4z= 0+ 5et le planPd’équation x2y+ 2z+ 1 = 0. 1. Déterminerle centreΩet le rayonRdeS. 2. Montrerque l’intersection dePet deSest un cercleCdont on précisera le centreret le rayonω. 3. SoitM(a, b, c)C. Former une équation du plan tangentTàSenM. Donner une paramétrisation de la droiteω), puis en déduire l’intersection de cette droite avec le planT.  7 14 224 Solutions : 1.Ω(1,2,2);R= 2. 2.ω ,,;r= 2. 3.(1,2,6). 9 99 3
Exercice 28.SoitA, B, CetDquatre points non-coplanaires de l’espace etGl’isobarycentre de ces quatre points. Montrer queGpartage le tétraèdreABCDen quatre tétraèdresABCG,ABDG,ACDGetBCDGde mme aire.
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