Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Théorie de la dimension L'objectif de ces notes est de démontrer les principaux résultats du cours concernant la notion de dimension d'un espace vectoriel. Les résultats encadrés sont à connaître ; les exemples sont à comprendre. On considère ici des espaces vectoriels sur un corps K. 1 Définition de la dimension Définition 1. Un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie. Autrement dit E est de dimension finie s'il existe une famille finie de vecteurs u1, u2,... um ? E telle que : E = Vect(u1, u2, ...um). En particulier, puisque toute famille génératrice contient une base (résultat vu en cours) alors E admet une base ayant un nombre fini de vecteurs. Le théorème suivant affirme que ce nombre ne dépend pas de la base. Théorème 1.1. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de l'espace vectoriel E. On le note dimKE (ou plus simplement dimE) Démonstration. Pour démontrer ce théorème nous utiliserons le lemme fondamental suivant. Ce lemme affirme que si n+ 1 vecteurs sont combinaisons linéaires de n vecteurs alors les n+ 1 vecteurs sont liés. Lemme 1.2. Soient (e1, · · · , en) une famille de vecteurs de E et (f1, · · · , fn+1) une autre famille de vecteurs de E.
- dimension finie
- relation de dépendance linéaire
- caractérisation de base
- famille
- ?3 ?