PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Devoir Maison 5 : corrigé Exercice 1. Une courbe en polaire. Etudions dans un repère orthonormé la courbe A définie par l'équation polaire : ? = 1 √ 2 cos(2?). Posons N(?) le point repéré par N(?) = ?(?)~u?. Déterminons le domaine d'étude : Le domaine de définition est R. Nous avons ?(? + pi) = ?(?) donc il suffit d'étudier la courbe sur un intervalle de longueur pi et de compléter par symétrie de centre O. De plus ?(??) = ?(?) ; il suffit donc d'étudier la courbe sur [0, pi2 ] puis de compléter par stmétrie d'axe (0x). Enfin, on remarque que ?(pi2 ? ?) = ??(?) ; il suffit donc d'étudier la courbe sur [0, pi 4 ] puis de compléter par symétrie d'axe (y = ?x). Etudions les variations : Nous avons ??(?) = ? √ 2 sin(2?). On obtient donc le tableau de variations : ? 0 pi4 ??(?) 0 ? ? √ 2 ? 1√ 2 @ @ @R 0 La courbe n'admet aucun point singulier.

• courbe


• intersection de la sphère


• tracé de la courbe c1


• centre de l'hyperbole


• s1 ?s2


• repère initial

Sujets

• Courbe

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Devoir Maison 5 : corrigé

Exercice 1. Une courbe en polaire.

Lycée Brizeux

Etudions dans un repère orthonormé la courbeAdéfinie par l’équation polaire : 1 ρ= √ cos(2θ). 2 PosonsN(θ)le point repéré parN(θ) =ρ(θ)u~ θ . Déterminons le domaine d’étude : Le domaine de définition estR. Nous avonsρ(θ+π) =ρ(θ)donc il suffit d’étudier la courbe sur un intervalle de longueurπet de compléter par symétrie de centreO. π De plusρ(−θ) =ρ(θ); il suffit donc d’étudier la courbe sur[0,]puis de compléter par stmétrie d’axe(0x). 2 π π Enfin, on remarque queρ(−θ) =−ρ(θ); il suffit donc d’étudier la courbe sur[0,]puis de compléter par symétrie 2 4 d’axe(y=−x). Etudions les variations : √ 0 Nous avonsρ(θ) =−2 sin(2θ). On obtient donc le tableau de variations :

π θ0 4 √ 0 ρ(θ) 0− −2 1 √ 2 ❅ ρ ❅ ❅❘ 0

1π La courbe n’admet aucun point singulier. Il y a une tangente verticale à la courbe au point(,0). Enθ=, la √ 4 2 courbe passe à l’origine; la tangente est la droite d’équationy=x. Le tracé est alors le suivant :

cos(2θ) Figure0.1 – Tracé de la courbe polaireρ=. √ 2

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