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Lyc´eeBrizeux
Mathe´matiques
DevoirdeMathe´matiques3 samedi 20 novembre 2010
PCSI 2010-2011
Remarquesge´ne´rales: dter´duLae´ledeeseevuerpquatre heures. a`.4zquelesuV´erie4etregapctejopmoeet´e1sdumsnro´e ade´oitcel;npocsntseioatt`nearaliespeulisiblesseniˆsteVuoteruppore`aavit´itrapnoitnettaen´eprla`are`elicu oumalpr´esent´eesserontsanctionn´ees. ou,vesslno´e´encerredrurteˆenueecopieszruovrtgianeleruaiSledsruocczqee´erbmeliuesreuv´epsrepevou etpoursuivrezvotrecompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquevousavez´et´eamene´`aprendre.
Lutilisationdunecalculatriceoudunte´l´ephoneportableestinterdite.
Exercice 1 1.D´eterminerlensembledessolutionsy:RRedl:elleitn´erendiatio´equ 00 0t y(t)y(t)2y(t) =e+ 1(E1) 2.Ende´duirelensembledessolutionsz:RRledindre´equ´eioatellient + 200 x z(x)2z(x) =x+ 1(E2) On pourra poser pour toutxR,z(x) =y(lnx). + 1 3.Parmilessolutionsdel´equation(E2)lresnmelbdeseospr´ecisesnoitulztelles quelimz(x) =. + x02
Exercice 2
Soitγram´anpaduplarcl:´rterape 1 x(t) = cos(t) y(t) = sin(2t) On noteΓle support deγ. π 1. Montrerqueγd´eniporuesttR\ {+kπ, kZ}ude`´etineddomauanrmteerinuip´esditciudnorenurtse 2 intervalleI´eactrlenttaetrmepedtelpmocΓpsuoV.´rcesirezeosgienusementleschangetnempedsmararte`etes sym´etriesdeΓvous permettant cette restriction. 2.De´terminerletableaudesvariationssimultan´eesdexetysurI. 3.Pre´ciserles´eventuelspointssinguliers,tangentesverticalesouhorizontalesdeΓpourtI. 4.Etudierlanaturedes´eventuellesbranchesinniesdeΓpourtI. 5.Repre´senterΓneonnd.(Onprentinu1ardo;mc4=e´21,41). 6.De´terminerunee´quationcart´esiennepourlarcγde la formeP(x, y) = 0o`uPomnˆlypounsteneexety.
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Probl`emeI.Etudedunetrajectoire
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~ ~ Leplanestrapport´ea`unrepe`reorthonorm´edirect(O, i, j).Orapengise´dnCle cercle de centreOet de rayon1. On noteAecoordonlepointdee´ns(1,0). Pour tout pointMidguesadn´polnrpaneMx(resp.Mythog´eoronal)tejorpel deMsxaderulcssisebas(sesprerd.on´on)see.
PartieI.Positionduprobl`emeetmiseene´quation
SoitθRetM(cos(θ),sin(θ))un point deC \ {A,(1,0)}. 1.D´eterminerune´equationcarte´siennepourlesdroites(AMy)et(MxM). On noteNle point d’intersection de(AMy)et(MxM). 2. Faireune figure de la situation. 3.Exprimerlescoordonn´eesdeNen fonction deθ
PartieII.Unecourbeparame´tre´e
Onconside`relacourbeparam´etr´eefdu plan x(θ) = cos(θ) y(θ) = sin(θ)(cos(θ) + 1)
On noteNle support def. 4. Montrersoigneusement que pour tracerNinreeldrountpestreete´dedufa`[0, π]. 5.Donnerletableaudesvariationssimultan´eesdexetysur[0, π]. 0 Indication : montrer quey(θcos() = (2θ)1)(cos(θ) + 1). 6.Pr´eciserles´eventuelspointssinguliers,tangentesverticalesouhorizontalesdeNpourθ[0, π]. 7. Lapentemde la tangente en un pointN(θ0)∈ N)teisexleelsiti(elamiaplrnne´stdoe 0 y(θ) m= lim0 θθ0x(θ) D´eterminerunee´quationcarte´siennepourlatangenteenAa`N. 3 3 8. TracerN=4cmit´e;nOrp(.1anunerd1,3). 4
Partie III. Etude d’un triangle 9. Exprimerl’aire du triangleAM Nen fonction deθ. π 10. Onsuppose ici queθ[0,]. Pour quel(s) valeur(s) deθl’aire deAM Nest-elle maximale? 2 Pourcettedernie`requestionvouspouvezvousaiderdelas´eriedecommandesMaplesuivantes: >g :=t->cos(t)*sin(t)*(1+cos(t)) : >simplify(diff(g(t),t)) ; 2 3 2 (cos(t(3 (cos)) +t))12 cos(t) >P :=3*X**3+2*X**2-2*X-1 : >factor(P) ;   2 (X3+ 1)XX1 >evalf(1/6+sqrt(13)/6) ;evalf(1/6-sqrt(13)/6) ; 0.7675918793 0.4342585459
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Proble`meII.Uninge´nieursedoitdeconnaıˆtrelinversion
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Lesyst`emedePeaucellierestundispositifpermettantdetransformerunmouvementcirculaireenunmouvement rectiligne.Lobjectifduproble`meestdede´crireuneconstructiong´eome´triquesimplepermettantdobtenirlinverse d’un pointM,culeilremedePeae.oitcurtsnoct`ysusedasabaln` Leprobl`emesed´ecomposeen3parties.Lesparties1et2concernentlesyst`emedePeaucellierproprementdit.Quant a`lapartie3,elleestadtneind´ependseaptrei1s2eetett´ieudecunbruorapee´mae´rts.reaiolpsee´nnodroocnee ~ ~ Danstoutleproble`me,leplaneuclidienPestrdiN.ctrenua`.O.Roppae´trR= (O, i, j).Un pointMdu plan est rep´er´e`alaidedesescoordonne´escarte´siennes(x, y)e`preleredansRlopseriassedeoosconrdeen´uoiaeda`l[r, θ] danslerep`erepolaireassocie´.LaxedupointMest le nombre complexez=x+i y.
Pre´liminaires
LinversiondepˆoleOet de rapportk >0– que l’on noteraIO,kraattlesatrmfonssnadetiusalnqui`aiondupla −−→−→ 0 00 M6=Oassocie le pointMtel que :O;MetMse´n;tnosgilaOMOM=k. 0 SoitM6=Oun point du plan d’affixez.On pose iciM=IO,k(M). 0k 1. MontrerqueOM=−−→OM . 2 kOMk 0 0 2. Exprimerl’affixezdeMen fonction dez. 0 3. MontrerqueIO,k(M) =M.eruqdeiud´EneIO,kest injective. 4. Montrer que l’ensemble des pointsM´vireantIO,k(M) =Mest un cercle de centreOraseci´epronntdoel rayon.
Lecercleobtenu`alaquestion4estlecercle d’inversiont´etsoneetΩkdans la suite.
Partie 1. Image d’une droite par une inversion
Soitk >0nrsioinvex´e.Onseproposedundroedepitlarte´eiduilregamI=IO,k.e`ererimuepxuAdx,nsiostuesq ond´eterminele´quationpolairedunedroitenepassantparO; d’un cercle passant parO. Ce qui permet ensuite de re´pondrea`laquestiondecettepartie.
5. SoitDqe´itauacnoe´trensineunitededroa x+b y+c= 0. (a)Aquelleconditionn´ecessaireetsusanteOtiarppaa`li-tneD? 1 (b)End´eduirequesiO6∈D,alorsDlapoediruaeqontifaleemronu´emdtear=avec(α, β)6= αcosθ+βsinθ (0,0),que l’on exprimera en fonction de(a, b, c). 1 (c).eR´piceuqorrbouarepurqecunoMertnemroelafiredpolationqeaude´rte´mae´r=avec αcosθ+βsinθ (α, β)6= (0,0),est une droite qui ne passe pas parO. 2 2 6. SoitCe´dtauqcnoi´tranneesieceunlercx+y+a x+b y+c= 0. (a)Aquelleconditionne´cessaireetsusanteOi-tna`lappaeitrC? (b)Ende´duirequesiOC,alorsCamduationpoetune´eqemrofalederialr=αcosθ+βsinθavec 2 (α, β)R. (c)e´icRue.proqerquontrMnpolairedelaformeneuurcopabem´ra´rtedeeuqe´oitar=αcosθ+βsinθavec 2 (α, β)Rest un cercle passant parO.On exprimera le centre et le rayon du cercle en fonction de(α, β). 7. Onsuppose queDest une droite ne passant pas parO. (a) SoitMD.scoordonprimerlexEeriaedsee´nlopsI(M)edidelec`aalelesdM.Eqeeuduirnd´eI(D)est inclus dans un cercleCpassant parO. (b) SoitM6=Oappartenant au cercleCotbnee`uuede´.etntnoMqreraqalstuenpioecr´I(M)D.
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