PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 F e u i l l e d e T D 1 9 C a l c u l m a t r i c i e l I Applications lineaires et matrices associees 1. Soient B1 la base canonique de R3 et B2 et B3 les familles de vecteurs de R3 suivantes : B2 = ? ? ? ? 1 0 0 ? ? , ? ? 1 1 0 ? ? , ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ; B3 = ? ? ? ? 1 0 0 ? ? , ? ? 1 2 3 ? ? , ? ? 2 1 2 ? ? ? ? ; Soit f : R3 ? R3 definie par : f( ? ? x y z ? ?) = ? ? y ? z z ? x x? y ? ? . (a) Montrer que B2 et B3 sont des bases de R3. (b) Montrer que f est lineaire. (c) Determiner alors les matrices suivantes : MatB1(f), MatB2(f), MatB3(f), MatB2,B1(f), MatB1,B2(f), MatB3,B1(f), MatB1,B3(f), MatB2,B3(f), MatB3,B2(f).

• symetrie axiale d'axe


• application lineaire de matrice associee


• matrice nulle d'ordre


• base canonique de r2


• gauss en application


• matrice ?

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Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
C a l c u l m a t r i c i e l
´ ´I Applications lineaires et matrices associees
3 31. Soient B la base canonique deR et B et B les familles de vecteurs deR suivantes :1 2 3
     
1 1 1
     B = 0 , 1 , 1 ;2
0 0 1
     
1 1 2
     B = 0 , 2 , 1 ;3
0 3 2
3 3Soit f :R →R d´efinie par :    
x y−z
   f( y ) = z−x .
z x−y
3(a) Montrer que B et B sont des bases deR .2 3
(b) Montrer que f est lin´eaire.
(c) D´etermineralorslesmatricessuivantes:Mat (f), Mat (f), Mat (f), Mat (f), Mat (f),B B B B ,B B ,B1 2 3 2 1 1 2
Mat (f), Mat (f), Mat (f), Mat (f).B ,B B ,B B ,B B ,B3 1 1 3 2 3 3 2
2(d) Calculer de trois fa¸cons Mat (f ).B1
32. Soient f ,f et f les vecteurs deR suivants.1 2 3
     
1 1 2
     1 2 3f = , f = , f = .1 2 3
1 1 4
3(a) Etablir que (f ,f ,f ) est une base deR .1 2 3
3 2Soitφ∈L(R ,R ) donn´ee par sa matriceM dans les bases de d´epart (f ,f ,f ) et d’arriv´ee la base1 2 3
2canonique deR :
1 2 2
M = .
1 0 4
3(b) Soite le premier vecteur de la base canonique deR . Donner les coordonn´ees deφ(e ) dans la base1 1
2canonique deR .
(c) D´eterminer le noyau de φ.
3. Ecrire les matrices des applications lin´eaires suivantes dans les bases canoniques associ´ees.
u : R [x] → R [x]3 3
(a) .0P 7→ P +P
u : R [x] → R [x]n n(b) .2 0P 7→ (x −1)P −nxP
4 4 4(c) p : C → C la projection sur G = {(x,y,z,t) ∈ C : x + y = z + t = 0} parall`element
4F ={(x,y,z,t)∈C : x =t = 0}.
x(x−1)···(x−(i−1))
4. Pour 0≤i≤n, on note N = . Par convention N = 1.i 0i!
1
dFTeeD1l9leiu(a) Montrer que B = (N ,N ,··· ,N ) est une base deK [x].0 1 n n
On d´efinit Δ :K[x]→K[x] par Δ(P(x)) =P(x+1)−P(x).
(b) Montrer que Δ estK-lin´eaire. Etablir que Δ(K [x])⊂K [x].n n
On note Δ la restriction de Δ a`K [x].n n
(c) Donner la matrice de Δ dans la base B.n
(d) En d´eduire le noyau et l’image de Δ .n
n+1(e) Calculer Δ .n
3 35. Soit φ :R →R l’application lin´eaire de matrice associ´ee A dans la base canonique B donn´ee par
 
−3 0 −2
 A = −4 1 −2 .
4 0 3
(a) Montrer que φ est une sym´etrie axiale d’axe une droite vectorielle.
0(b) D´eterminer alors une base B = (f ,f ,f ) dans laquelle1 2 3
 
1 0 0
 Mat 0(φ) = 0 1 0B
0 0 −1
0 −1(c) Donner P, la matrice de passage de B vers B , puis calculer P .
−1(d) Calculer alors P AP. Que retrouve-t-on?
(e) Donner la matrice du projecteur associ´e a` φ dans la base canonique.
4 46. Soient f et g des endomorphismes deR de matrices associ´ees dans la base canonique (deR ) M et N,
respectivement, donn´ees par :
   
−1 1 0 0 0 0 0 0
   1 −1 0 0 0 −1 1 0   M = , N =   0 0 −1 1 0 1 −1 0
0 0 1 −1 0 0 0 0
Etant donn´es des r´eels non nuls a et b, on note f =af +bg.a,b
(a) D´eterminer les noyaux de f et g. On en donnera une base.
(b) Montrer que le noyau de f ne d´epend ni de a ni de b et en donner une base.a,b
(c) Caract´eriser simplement Im(f ). L’image d´epend-elle de a et b? En donner une base.a,b
(d) Etablir que ker(f ) et Im(f ) sont suppl´ementaires.a,b a,b
(e) Donner les matrices associ´ees de f ◦g et g◦f dans la base canonique.
7. Pour 1≤i,j ≤ 2, on noteE la matrice carr´ee d’ordre 2 dont le coefficient (k,‘) vaut 0 si (k,‘) = (i,j)i,j
et 1 si (k,‘) = (i,j).

−1 0 0 0
Soient A = , B = . On d´efinit
0 1 0 2
ψ : M (K) → M (K)2 2
M 7→ AM −BM
(a) Montrer que ψ est une application lin´eaire.
(b) Montrer que B = (E ,E ,E ,E ) est une base de M (K).1,1 1,2 2,1 2,2 2
(c) Donner la matrice M de ψ dans la base B.ψ
On se propose de d´eterminer le noyau de ψ sans passer par M .ψ
(d) Montrer que si M ∈ ker(ψ), alors pour tout entier n≥ 0 :
n n
A M =MB .
2
6(e) Calculer (A−I)(A+I) et (B−I)(B +I).
(f) Conclure.
(g) Retrouver ker(ψ) a` l’aide de M .ψ
(h) En d´eduire le rang de ψ. Que dire de ψ?
(i) D´eterminer M ∈M (K) telle que2
AM −MB =I.
´II Operations sur les matrices
   
−1 2 4 0 1 −1
   1. Soient A = 2 −9 5 et B = 2 −5 4 . Calculer
−8 7 −3 2 −3 7
t t t t 2 2 2A+B, A−B, 5A−7B, AB, BA, (A+B), A+ B, (AB), A , B , (A+B) .
2. Calculer les puissance successives de
 
0 1 0 0
 0 0 1 0 (a) A = ; 0 0 0 1
0 0 0 0
 
1 −1 1 −1
 −1 1 −1 1 (b) A = ; 1 −1 1 −1
−1 1 −1 1

2 1
(c) A = ;
0 2
 
0 1 0 0
 1 0 0 0 4 n −1 2 −1 3. Soit C = . Calculer C . En d´eduire C pour tout entier n≥ 0, C et (C ) . 0 0 0 −1
0 0 1 0
4. Calculer les produits A A et A A des matrices suivantes.1 2 2 1
   
1 2 −1 1 1 2
   (a) A = −1 2 1 A = 1 2 11 2
1 1 1 1 −1 1
 
1 1
1 2 −1  (b) A = A = 1 21 2−1 2 1
1 −1
 
1 2
1 1 2 (c) A = −1 2 A =1 2
1 2 1
1 1
5. V´erifier que (AB)C =A(BC) pour les matrices suivantes :
   
2 0 1 1 0 3 2
1 −2 3    A = B = 1 1 −2 C = 3 −1 2 −1
3 1 2
−1 3 1 2 0 1 −1

0 1 0 1 1 0 4 36. Soient A = , B = et I = . Montrer que A = I, B = I mais que
−1 0 −1 −1 0 1
12(AB) =I. Que peut-on en d´eduire?

i 0 0 i
7. Soient J = et K = . Calculer les puissances successives de J et de K ainsi que JK et
0 −i i 0
KJ. En d´eduire que J et K sont inversibles et donner leur inverse.
3
6 
0 0 0 1
 0 0 0 1 4 3 8. Soit A = . V´erifier que A =A mais que A =I . La matrice A est-elle inversible?1 1 4 0 02 2
0 0 1 0
 
1 0 −10
3 2 9. Soit A = 1 1 −5 . Etablir que A −A +4A+6I = 0, 0 d´esignant la matrice nulle d’ordre 3 et
0 1 −1
I la matrice identit´e d’ordre 3. En d´eduire que A est inversible et donner son inverse.
 
21 j j
2 10. Soit J = j 1 j . Calculer les puissances successives de J. La matrice J est-elle inversible?
2j j 1
 
2 0 4
 11. Soit A = 3 −4 12 . Etablir que A(A−I)(A−2I) = 0. La matrice A est-elle inversible?
1 −2 5
 
0 7 −6
 12. SoitB = −1 4 0 .Calculer(B−I)(B+I)(B−2I) = 0.LamatriceC =B−2I est-elleinversible?
0 2 −2
III Rang, Noyau, Image, Inverse : Gauss en application
1. D´eterminer le rang des matrices suivantes :
 
1 2 3 4 5
 2 3 4 5 6 (a)  3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
 
1 1 0 1
 3 2 −1 3 (b)  a 3 −2 0
−1 0 −4 3
 
5 2 20 −2 8
 8 2 10 0 −6 (c)  2 2 2 −1 −3
3 −1 5 1 0
 
1 1 −1 2
 a 1 1 1 (d)  1 −1 3 −3
4 2 0 a
2. D´eterminer le rang des matrices suivantes :
 
1 1 0 0 ··· 0
   0 1 1 0 ··· 0   1 1 0 0  .1 1 0 .   .0 1 1 0 0 0 1 1 0     A = 0 1 1 A = A =3 4 n   . . .0 0 1 1 . .. . . . . 1 0 1 . .. . ··· . 1 0 0 1  0 0 ··· 0 1 1
1 0 ··· ··· 0 1
 
1 1 2
−1 1 2 33. Soit P = . Montrer que P est inversible et calculer P .
1 1 4
4. Montrer qu’une matriceM ∈M (K) est de rang 1 si et seulement s’il existeA∈M (K) etB∈Mm,n m,1 1,n
non nulles telles que
M =AB.
4
65. Soient a,b,c des ´el´ements distincts deK. Montrer que la matrice
 
21 a a
2 1 b b
21 c c
est inversible et calculer son inverse.
5