PCSI Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 I n t e r r o g a t i o n É c r i t e 4 Version 1 1. Rappeler la formule de Moivre 2. Lineariser cos(x) sin2(x). 3. Determiner les solutions complexes de z2 = 1 + i √ 3 sous formes trigonometrique puis algebrique. 4. Rappeler la formule de duplication pour cos(2x). Indiquer une maniere de l'obtenir a l'aide des nombres complexes. 5. Determiner les entiers n ? Z tels que ( 1+i 1?i )n soit reel. 1. C'est du cours ! 2. On applique les formules d'Euler a cosx et sin2(x). On trouve cos(x) sin2(x) = ( eix + e?ix 2 ) ( eix ? e?ix 2i )2 = ? 1 8 ( eix + e?ix ) ( e2ix ? 2 + e?2ix ) = ? 1 8 ( (e3ix + e?3ix)? (eix + e?ix) ) = ? cos(3x) 4 + cosx 4 La commande Maple pour lineariser : > combine(cos(x)*sin^2(x),trig); 3.

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Sujets

• Formule d'Euler

Informations

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• Langue: Français

Extrait

PCSI Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
Version 1
1. Rappeler la formule de Moivre
22. Lin´eariser cos(x) sin (x).
√
23. D´eterminer les solutions complexes de z = 1+i 3 sous formes trigonom´etrique puis alg´ebrique.
4. Rappeler la formule de duplication pour cos(2x). Indiquer une mani`ere de l’obtenir a` l’aide des nombres
complexes.
n
1+i5. D´eterminer les entiers n∈Z tels que soit r´eel.1−i
1. C’est du cours!
22. On applique les formules d’Euler a` cosx et sin (x). On trouve
2ix −ix ix −ixe +e e −e2cos(x) sin (x) =
2 2i
1 ix −ix 2ix −2ix= − e +e e −2+e
8
1 3ix −3ix ix −ix
= − (e +e )−(e +e )
8
cos(3x) cosx
= − +
4 4
La commande Maple pour lin´eariser :

> combine(cos(x)*sin^2(x),trig);

√
3. • Sous forme trigonom´etrique. Le nombre complexe 1+i 3 s’´ecrit :
√ iπ
31+i 3 = 2e .
iθPar cons´equent en ´ecrivant z sous la forme z = re , on obtient :
iπ
2 2iθ 3r e = 2e .
Ceci se traduit par :
√ π
r = 2 et θ = +kπ avec k∈Z.
6
√
Les racines carr´ees de 1+i 3 sont donc
√ √ √iπ iπ 7iπ
6 6 62e et − 2e = 2e
√
• Sous forme alg´ebrique. Ecrivons z sous la forme z = x + iy. Le fait que z soit racine carr´ee de 1 + i 3
entraˆıne que (x,y) est solution du syst`eme suivant :

2 2x +y = 2
2 2x −y = 1
2 2On obtient x = 3 et y = 1.√ √ √
Si x = 3, alors y = 1 puisque x et y sont du mˆeme signe (car Im(1+i 3) > 0). On obtient alors z = 3+i.1√
L’autre racine est alors z =−z = 3+i.2 1√
Les racines carr´ees de 1+i 3 sont donc
√ √
z = 3+i et z =− 3−i.1 1
1
ro4aettI?itoerincrgn4. Rappelons que les formules de duplication sont
2 2cos(2θ) = cos (θ)−sin (θ) et sin(2θ) = 2 sinθ cosθ.
Ces formules peuvent s’obtenir a` l’aide de la formule de Moivre :
2cos(2θ)+i sin(2θ) = (cosθ +i sinθ) .
5. En multipliant le num´erateur et le d´enominateur par le conjugu´e, on a
n n21+i (1+i)
=
1−i 2
n= i

n
2k k 2k+1 k 1+iOn a alors : si n = 2k, i = (−1) ; si n = 2k + 1, i = (−1) i. Par cons´equent est r´eel si et
1−i
seulement si n est pair.
Version 2
1. Rappeler la formule d’Euler.
2. D´evelopper cos(x) sin(3x).
√
23. D´eterminer les solutions complexes de z = 3+i sous formes trigonom´etrique puis alg´ebrique.
04. Rappeler la formule d’addition de sin(θ + θ ). Indiquer une mani`ere de l’obtenir a` l’aide des nombres
complexes.
n
1−i5. D´eterminer les entiers n∈Z tels que soit imaginaire.
1+i
1. C’est du cours!
3ix2. On applique cette fois-ci la formule de Moivre et le binˆ ome de Newton : en effet, sin(3x) = Im(e ). On trouve
2sin(3x) = 4 sin(x)(cos(x)) −sin(x)
D’ou`
3
cos(x) sin(3x) = 4 sin(x)(cos(x)) −cos(x) sin(x)
La commande Maple d´edi´ee `a ce calcul est la suivante :

> expand(cos(x)*sin(3*x),trig);

3. Les racines carr´ees sous forme trigonom´etrique sont :
√ √iπ 13iπ
12 12z = 2e et z =−z = 2e1 2 1
Et sous forme alg´ebrique.
s s s s
√ √ √ √
3 3 3 3
z = 1+ +i 1− et z =− 1+ −i 1− .1 2
2 2 2 2
Au passage la commande Maple suivante retourne l’une des racines carr´ees.

> evalc(sqrt(sqrt(3)+I));

2La r´eponse est : √ √
1/2+1/2 3+i 1/2 3−1/2
R´esultat qui peut surprendre. Maple retourne en fait la solution avec le moins de racines carr´ees imbriqu´ees
possibles.
Expliquons en quoi les deux solutions, la nˆ otre et celle retourn´ee par Maple, sont les mˆemes. Il s’agit de voir, par
exemple, que s √
√3
1+ = 1/2+1/2 3. (1)
2
√ 2
21 3Or en ´ecrivant 1 = + on trouve :
2 2
√ √ 2
3 1 3
1+ = + .
2 2 2
En passant aux racines carr´ees (ici on a des nombres positifs), on obtient l’´egalit´e (1).
4. C’est du cours! Voir la question 4 de la version 1.
5. Analogue a` la question 5 de la version 1. On trouve ici que c’est un imaginaire si et seulement si n est impair.
3