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Probabilites Master Enseignement T Champion S Junca

4 pages
Niveau: Supérieur, Master
Probabilites Master 2 Enseignement T. Champion & S. Junca Lois discretes et series generatrices 1 Proprietes de GX(t) = E ( tX ) ou X : Ω? ?. 1. Verifier que GX(.) est bien definie et continue pour tout t ? [?1, 1]. 2. Montrer que GX ? C∞(]? 1,+1[). 3. Verifier que GX(.) est croissante et convexe sur [0, 1[. 4. Montrer que E(X) = G?X(1) ? [0,+∞]. On montrera que X admet une esperance si et seulement si GX(.) est derivable (au moins a gauche) en x = 1. Si X n'admet pas d'esperance on justifiera la convention E(X) = +∞ = G?X(1). 5. Si X admet une variance, montrer que E(X2) = G??X(1) + E(X). Dans cas exprimer la variance en fonction de G?X(1), G ?? X(1) 6. Exemples : Calculer GX(.), E(X) et V ar(X) pour (a) la loi binomiale : X ? ?(n, p), (b) la loi de Poisson : X ? P(), (c) la loi geometrique : X ? G(p), X ≥ 1.

  • somme aleatoire de variables aleatoires

  • g?? ≥

  • loi geometrique

  • ti ?

  • exercices de probabilites

  • proprietes de gx

  • probabilites master

  • individu numero


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ProbabilitesMaster 2 Enseignement T. Champion & S. Junca Loisdiscretesetseriesgeneratrices   X 1ProprietesdeGX(t) =E tuoX: !N. 1.VerierqueGX(:e)tsnieetconbiendeuotrtunituopet2[1;1]. 1 2. MontrerqueGX2C(]1;+1[). 3.VerierqueGX(:) est croissante et convexe sur [0;1[. 0 4. MontrerqueE(X) =G(1)2[0;+1]. X On montrera queXeutsieessintmelemdtenueepsearcnaGX(:tse)baviredule(a moinsagauche)enx= 1. SiXeriacaloncestjupsenareptem'dsa'ndannoevtnoi 0 E(X) = +1=G(1). X 200 5. SiXadmet une variance,montrer queE(X) =G(1) +E(X): X 0 00 Dans cas exprimer la variance en fonction deG(1); G(1) X X 6. Exemples: CalculerGX(:),E(X) etV ar(X) pour (a)laloibino^miale:X B(n; p), (b) laloi de Poisson :X P(), (c)laloigeometrique:X G(p),X1.
2X; Y: !N 1. MontrerqueGX(:eesaloldiriectraca)X, i.e. :XYsi et seulement siGXGY. 2. SiXetYenepenttedsantsodinS:=X+Y, montrer queGS=GXGY. EndeduirelaloidelasommeSdans les cas suivants : (a)X B(n; p),Y B(m; p) (b)X P(),Y P().
3 Enleverles boules rouges Unsaccontientunebouleblancheetdeuxrouges.Onrepeteuneinnitedefois l'operationquiconsisteatireruneboule,laremettredanslesacsielleestblanche, l'eliminersielleestrouge.OnappelleXnepretoirleableao01uelrualavantnvalaira eme suivant qu'aunenoblureuoeguolbancheetl'onpose:ueritanoegarit Rn=fXn= 0getBn=fXn= 1g. 1. SoitT1tnosnatanitluo'aprerelrebomieeguorelu('ilT1est ainsi le plus petit entierm1 tel queXn= 0). CalculerP(T1=m) (m1) etGT1eu.Endeudriqe T1p,1aelageetilbibaroepunecavnisetleralcuuiscE(T1) etV ar(T1). 2. SoitT2atoneirdelaiux'ltsniotna'lumebeuoelorgu.e CalculerP(T1=m; T2=n) pour 1m < n: 3.EndeduireP(T2=n). CalculerGT2. Montrerquepresques^urementT2est ni, puis calculerE(T2) etV ar(T2). 4.EndeduireP(Rn) et la loi deXn.
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