Probabilites Master Enseignement T Champion S Junca

Description

Niveau: Supérieur, Master
Probabilites Master 2 Enseignement T. Champion & S. Junca Lois discretes et series generatrices 1 Proprietes de GX(t) = E ( tX ) ou X : Ω? ?. 1. Verifier que GX(.) est bien definie et continue pour tout t ? [?1, 1]. 2. Montrer que GX ? C∞(]? 1,+1[). 3. Verifier que GX(.) est croissante et convexe sur [0, 1[. 4. Montrer que E(X) = G?X(1) ? [0,+∞]. On montrera que X admet une esperance si et seulement si GX(.) est derivable (au moins a gauche) en x = 1. Si X n'admet pas d'esperance on justifiera la convention E(X) = +∞ = G?X(1). 5. Si X admet une variance, montrer que E(X2) = G??X(1) + E(X). Dans cas exprimer la variance en fonction de G?X(1), G ?? X(1) 6. Exemples : Calculer GX(.), E(X) et V ar(X) pour (a) la loi binomiale : X ? ?(n, p), (b) la loi de Poisson : X ? P(), (c) la loi geometrique : X ? G(p), X ≥ 1.

• somme aleatoire de variables aleatoires


• g?? ≥


• loi geometrique


• ti ?


• exercices de probabilites


• proprietes de gx


• probabilites master


• individu numero

Sujets

• Duhamel
• Cottrell
• Loi géométrique

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

Probabilites Master 2 Enseignement T. Champion & S. Junca Loisdiscretesetseriesgeneratrices   X 1ProprietesdeG X (t) =E tuoX: !N. 1.VerierqueG X (:e)tsnieetconbiendeuotrtunituopet2[1;1]. 1 2. MontrerqueG X 2C(]1;+1[). 3.VerierqueG X (:) est croissante et convexe sur [0;1[. 0 4. MontrerqueE(X) =G(1)2[0;+1]. X On montrera queXeutsieessintmelemdtenueepsearcnaG X (:tse)baviredule(a moinsagauche)enx= 1. SiXeriacaloncestjupsenareptem'dsa'ndannoevtnoi 0 E(X) = +1=G(1). X 200 5. SiXadmet une variance,montrer queE(X) =G(1) +E(X): X 0 00 Dans cas exprimer la variance en fonction deG(1); G(1) X X 6. Exemples: CalculerG X (:),E(X) etV ar(X) pour (a)laloibino^miale:X B(n; p), (b) laloi de Poisson :X P(), (c)laloigeometrique:X G(p),X1.

2X; Y: !N 1. MontrerqueG X (:eesaloldiriectraca)X, i.e. :XYsi et seulement siG X G Y . 2. SiXetYenepenttedsantsodinS:=X+Y, montrer queG S =G X G Y . EndeduirelaloidelasommeSdans les cas suivants : (a)X B(n; p),Y B(m; p) (b)X P(),Y P().

3 Enleverles boules rouges Unsaccontientunebouleblancheetdeuxrouges.Onrepeteuneinnitedefois l'operationquiconsisteatireruneboule,laremettredanslesacsielleestblanche, l'eliminersielleestrouge.OnappelleX n epretoirleableao01uelrualavantnvalaira eme suivant qu'aunenoblureuoeguolbancheetl'onpose:ueritanoegarit R n =fX n = 0getB n =fX n = 1g. 1. SoitT 1 tnosnatanitluo'aprerelrebomieeguorelu('ilT 1 est ainsi le plus petit entierm1 tel queX n = 0). CalculerP(T 1 =m) (m1) etG T 1 eu.Endeudriqe T 1 p,1aelageetilbibaroepunecavnisetleralcuuiscE(T 1 ) etV ar(T 1 ). 2. SoitT 2 atoneirdelaiux'ltsniotna'lumebeuoelorgu.e CalculerP(T 1 =m; T 2 =n) pour 1m < n: 3.EndeduireP(T 2 =n). CalculerG T 2 . Montrerquepresques^urementT 2 est ni, puis calculerE(T 2 ) etV ar(T 2 ). 4.EndeduireP(R n ) et la loi deX n .

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