Pr´eparation`al’Agre´gationdeMath´ematiques Anne´e2011-2012 Suites
1.A savoir –D´efinitiondelalimite,delalimiteinfinie – Suitesadjacentes –Ope´rationssurlessuites – Suitesde Cauchy –Valeursd’adhe´rence –Suitesmonotones,suitescroissantesetmajore´esetc... –Th´eor`emedupointfixepouruneapplicationcontractante –Etudedessuitesde´finiesparr´ecurrence,suiteshomographiques –Suitesr´ecurrentesline´aires –Limitesinfe´rieureetsupe´rieure –Th´eore`medeBolzano-Weierstrass –Lienentresuitesetse´ries
2.En lien avec.. – lesexercices de la feuille sur les relations de comparaison –lesexercicesdelafeuillesurleslimitesinfe´rieuresetsup´erieures –lesexercicesdelafeuillesurlessuitesre´currentesetlarapidite´deconvergence –lede´veloppement”m´ethodedeNewton” –lede´veloppement”acc´el´erationdelaconvergencedessuites” –lede´veloppement”utilisationdesse´riespour´etudierlessuites”
3.Exercices Exercice 1 : Etude et calcul [L] n−1n X n 2πj j Etudierlasuited´efinieparun= (−1) cospourn >0. n n j=0 Exercice 2 : Deux suites divergentes classiques [M] Soitθ∈/ πZ, montrer que les suites (cos(nθ(sin()) etnθ)) divergent. n∈Nn∈N Exercice3:MoyennedeC´esaro[G,P,H,FGN1] X Soit (αnemenrictlsstr´eeqseutsletifiptsoiuseedet)nuαn´end.Ogeerivdenneyomaltinfi n∈N α1u1+∙ ∙ ∙+αnun deCe´saro(Sn) parSn= . n∈N α1+∙ ∙ ∙+αn ¯ 3.1. Montrer que si (unune suite convergeant vers) estl∈RomalsrolCedenney(rosa´eaSn) n∈Nn∈N convergee´galementversl. 3.2.Qu’enest-ildelar´eciproque? 3.3. Trouver une suite de limite +∞orase´Cedsnesuasr+asveendpinetetqu∞. 3.4.Application 1ecenıˆaredellr`laleegd’deemAlom:ertneuqres(enti`eres)entebtropruelsse´ir un+1 1/n Cauchy, i.e. que silim =l, alorslim|un|=l. n→+∞n→+∞ un n n X X 1 3.5.Application 2 :: soit (unteuiesun);evitisopellee´ronposeSn=uketσn=Sk. n∈N n k=1k=1 Montrer que la suite (Sn) convergessi la suite (σn) converge. n∈Nn∈N Exercice4:Valeursd’adh´erence(1)[M,FGN1] 4.1.Soitunesuiter´eelle(un) tellequeun+1−un→0. Montrer que l’ensemble des valeurs n∈N n→+∞ ¯ d’adhe´renceestunintervalledeR. 4.2. Soitf: [0,1]→[0,1] continue et (unsuite de [0) une,1] telle queun+1=f(un). Montrer n∈N que (un) convergessiun+1−un→0. n∈N n→+∞ 1
2 Remarque,G.pna[tusvitlta´esualert,onemen´ne´lareP:gsul(itSo]:45E, deuqirte´mecapsne)u compact et (un)n∈Nune suite deEtelle quelimd(un, un+1) = 0. Alors l’ensemble des valeurs n→+∞ d’adhe´rencede(un)n∈Nest connexe. Applicationsreegnvco:etm´dehoceenladeruopclacaJediboceriquemeulernum´uesrrppotnelvsla d’une matrice [Ci, LT]. Exercice5:Valeursd’adh´erence(2)[L] u2n Soit (un)enutiusrobeeen´eer´etllleeluqlemiun1. Que dire de la suite (+ =un) ? n∈Nn∈N n→+∞ 2 Exercice6:Valeursd’adhe´rence(3):exemplesetcontre-exemples[H] 6.1.Trouverunesuitenonconvergenteayantuneseulevaleurd’adh´erence. 6.2.Trouverunesuiteadmettanttout´ele´mentdeNmmoclavea’hduedrcn.ee´er 6.3. Trouver une suite admettantRurlevameerh´add’neec.moc Exercice 7 - Examen : Approximations diophantiennes [G, p. 272] +∗ 7.1. Soitα∈R\Q. Pour toutn∈N, montrer que ∗ 2pn1 ∃(pn, qn)∈N,1≤qn≤ntels queα−< . qnqnn 7.2. Montrer que les suites (pn) et(qnvers +) tendent∞. n∈Nn∈N X 1 7.3.Donnerlanaturedelase´rie. 2 2 nsinn Exercice8-Examen:Equire´partition[CL1p.133ouGp.283ouFGN2p.46ouLp.36] Attention :selsrvil..seuoV.ouspzcvesluaoqnueerslttino.8.4sertramenetbientrait´eedan.K[p, 11]. Soit (xn) unesuite de [0,1]. Pour 0≤a≤b≤1, on pose n∈N N(a, b, n) = card{m≤n, xm∈[a, b]}. On dit que (xn´eirrtpastequ´e)isei n∈N N(a, b, n) →b−apour tout 0≤a≤b≤1. n n→+∞ 8.1. Montrer que si (xnt´es)lsar,oeitrape´riuqe{xn, n∈N}est dense dans [0,1]. n∈N 8.2. Montrer que (xnest´equir´epar)nioctonopisseitfetuotrufnianemRirgbatne´[r0elus,1], n∈N nZ 1 X 1 limf(xk) =f. n n→+∞ 0 k=1 8.3. Montrer que (xntruoetofeisspiuoir´epartest´equ)ontincfcontinue sur [0,1], n∈N nZ 1 X 1 limf(xk) =f. n n→+∞ 0 k=1 n X 2iπmxk∗ 8.4. Montrer que (xnse)iu´r´tqetieseparsie=o(n) pour toutm∈Z. n∈N k=0 8.5. Pourθ∈R\Q, on pose (nθ0)l’uniquer´eelde[,1[ tel quenθ−(nθ)∈Z. Montrer que ((nθ)) n∈N est´equire´partie.
4.Indications Exercice 1: Quelques lignes de calcul... Exercice 2: Commencerparmontrer,graˆcea`desformulestrigonome´triques,quelesdeuxsuitesconvergentou divergentsimultan´ement. Exercice 3: 3.1.De´couperendeuxmorceauxetutiliserdesε. 3.4. Poservn= ln|un|. Exercice 4:
3 4.1.Conside´rerdeuxvaleursd’adh´erenceα < βme´ent,ueln´l∈]α, βsuiteentsdelae´xume´led,[un1 etun2ice’indespzorhc,sad’rseualsvcedeeslsiup,ecnere´hdan= max{p∈ {n1,∙ ∙ ∙, n2}, up< l−ε}. 4.2.Montrerqu’unevaleurd’adh´erenceestunpointfixedef, puis raisonner par l’absurde. Exercice 5: 2 Conside´rerunevaleurd’adh´erencedelasuitediffe´rentedeetconstruireunesuitedevaleurs 3 d’adhe´rencequitendvers+∞. Exercice 6: 6.2.Penser`alad´ecompositiondesindicesenfacteurspremiers. 6.3.Penser`aunetransformationdelasuite(sinn) n∈N Exercice 7: 7.1. Utiliser le principe des tiroirs de Dirichlet avec les nombreskα−E(kα)∈[0,1[,0≤k≤N. 7.2. PoserN >l’enerersid´tcone0ielnfiesbm p Γ ={r∈Q, r=∈[α−1, α+ 1], p∈Z, q∈N,1≤q≤N}. q Montrerqu’`apartird’uncertainrangrn/∈Γ. 2 1q1 n 7.3.De´duiredecequipr´ec`edeque≥ →. 2 22 n→+∞ pn nsinpnp π Exercice 8: 8.3.Unefonctioncaract´eristiqueχ[a,b]paeer´adnceetrˆetuepenpsraomcraexurdeuxfonctionsaffi Z 1 ϕetψtelles queϕ≤χ[a,b]≤ψetψ−ϕ≤2ε 0 8.4. Une fonction continueftelle quef(0) =frofinuetylopedem(1milist)enogie´momoˆnrtseiqtrs.ue Encadrerensuiteunefonctioncaract´eristiqueχ[a,b]par deux fonctions continues telles quef(0) =f(1). 5.reenscef´eR´ [CL1] Chambert-Loir, Fermigier et Maillot,Analyse 1, exercices, Dunod. [Ci] Ciarlet,num´lyseuemaeriqeillrtcilao’ee`tntIoitcudorana’la`noinsitatpmi, Dunod. [C] Combes,Suitseire´stese, PUF. [FGN1] Francinou, Gianella, Nicolas,esdemathExercicysale1ENX-AnS.O.sexuarame´uqit, Cassini. [FGN2] Francinou, Gianella, Nicolas,yles2s.OrauxX-ENS.Ana´htamedseuqitamececierEx, Cassini. [G] Gourdon,tneseteˆanA.esylesLthma, Ellipses. [H] HauchecornetronscLeamhtsenemelp-exeestiqu´ema, Ellipses. [K]Ko¨rner,Fourier Analysis, Cambridge. [LT]Lascaux-The´odor,Anumenysalemquri´eleicirtaqilppael`al’u´eeel’iartdinuegne´em.2.roT, Dunod. [L] Leichtnam,rexEecicrocsrig´esdemath´emaituqseop´ssea`’lalorscdecoonsdurloPecetyqinhteeu des ENS. Tome Analyse, Ellipses. [M] Merlin ,Methodix Analyse, Ellipses. [P] Pommellet,htamame´itagednoqutiesCouranyldsa’rge´esa,, Ellipses.
