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Rappels et generalites

3 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Suites numeriques 1. Rappels et generalites Definition 1.1. Une suite reelle (resp. complexe) (u) ou (un)n?N est une application definie sur N a valeurs dans R (resp C) : u : N ? R ou C n 7? u(n) =: un . On note (un) ? RN (resp. CN). Notation : ? On note les elements de la suite un au lieu de u(n). ? (un) represente la suite entiere alors que un represente le ni‘eme -terme de la suite. Definition 1.2. Soit (un) une suite reelle. On dit que i) (un) est croissante si pour tout n ? N, un ≤ un+1. ii) (un) est strictement croissante si pour tout n ? N, un < un+1. iii) (un) est decroissante si pour tout n ? N, un ≥ un+1. iv) (un) est strictement decroissante si pour tout n ? N, un > un+1. v) (un) est majoree s'il existe M ? R tel que pour tout n ? N, un ≤ M . vi) (un) est minoree s'il existe m ? R tel que pour tout n ? N, m ≤ un.

  • eun ?

  • bolzano-weierstrass

  • n? ?

  • constantes ?

  • unicite de la limite

  • signe constant

  • u0 ?


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Pr´eparation`alAgre´gationdeMath´ematiques Anne´e2011-2012 Suites
1.A savoir D´enitiondelalimite,delalimiteinnie – Suitesadjacentes Ope´rationssurlessuites – Suitesde Cauchy Valeursdadhe´rence Suitesmonotones,suitescroissantesetmajore´esetc... Th´eor`emedupointxepouruneapplicationcontractante Etudedessuitesde´niesparr´ecurrence,suiteshomographiques Suitesr´ecurrentesline´aires Limitesinfe´rieureetsupe´rieure Th´eore`medeBolzano-Weierstrass Lienentresuitesetse´ries
2.En lien avec.. – lesexercices de la feuille sur les relations de comparaison lesexercicesdelafeuillesurleslimitesinfe´rieuresetsup´erieures lesexercicesdelafeuillesurlessuitesre´currentesetlarapidite´deconvergence lede´veloppementm´ethodedeNewtonlede´veloppementacc´el´erationdelaconvergencedessuiteslede´veloppementutilisationdesse´riespour´etudierlessuites
3.Exercices Exercice 1 : Etude et calcul [L]   n1n X n 2πj j Etudierlasuited´enieparun= (1) cospourn >0. n n j=0 Exercice 2 : Deux suites divergentes classiques [M] Soitθ/ πZ, montrer que les suites (cos((sin()) et)) divergent. nNnN Exercice3:MoyennedeC´esaro[G,P,H,FGN1] X Soit (αnemenrictlsstr´eeqseutsletifiptsoiuseedet)nuαn´end.OgeerivdenneyomaltinnN α1u1+∙ ∙ ∙+αnun deCe´saro(Sn) parSn= . nN α1+∙ ∙ ∙+αn ¯ 3.1. Montrer que si (unune suite convergeant vers) estlRomalsrolCedenney(rosa´eaSn) nNnN convergee´galementversl. 3.2.Quenest-ildelar´eciproque? 3.3. Trouver une suite de limite +orase´Cedsnesuasr+asveendpinetetqu. 3.4.Application 1ecenıˆaredellr`laleegddeemAlom:ertneuqres(enti`eres)entebtropruelsse´ir un+1 1/n Cauchy, i.e. que silim =l, alorslim|un|=l. n+n+un n n X X 1 3.5.Application 2 :: soit (unteuiesun);evitisopellee´ronposeSn=uketσn=Sk. nN n k=1k=1 Montrer que la suite (Sn) convergessi la suite (σn) converge. nNnN Exercice4:Valeursdadh´erence(1)[M,FGN1] 4.1.Soitunesuiter´eelle(un) tellequeun+1un0. Montrer que l’ensemble des valeurs nN n+¯ dadhe´renceestunintervalledeR. 4.2. Soitf: [0,1][0,1] continue et (unsuite de [0) une,1] telle queun+1=f(un). Montrer nN que (un) convergessiun+1un0. nN n+1
2 Remarque,G.pna[tusvitlta´esualert,onemen´ne´lareP:gsul(itSo]:45E, deuqirte´mecapsne)u compact et (un)nNune suite deEtelle quelimd(un, un+1) = 0. Alors l’ensemble des valeurs n+dadhe´rencede(un)nNest connexe. Applicationsreegnvco:etm´dehoceenladeruopclacaJediboceriquemeulernum´uesrrppotnelvsla d’une matrice [Ci, LT]. Exercice5:Valeursdadh´erence(2)[L]   u2n Soit (un)enutiusrobeeen´eer´etllleeluqlemiun1. Que dire de la suite (+ =un) ? nNnN n+2 Exercice6:Valeursdadhe´rence(3):exemplesetcontre-exemples[H] 6.1.Trouverunesuitenonconvergenteayantuneseulevaleurdadh´erence. 6.2.Trouverunesuiteadmettanttout´ele´mentdeNmmoclaveahduedrcn.ee´er 6.3. Trouver une suite admettantRurlevameerh´addneec.moc Exercice 7 - Examen : Approximations diophantiennes [G, p. 272] +7.1. SoitαR\Q. Pour toutnN, montrer que 2pn1 (pn, qn)N,1qnntels queα< . qnqnn 7.2. Montrer que les suites (pn) et(qnvers +) tendent. nNnN X 1 7.3.Donnerlanaturedelase´rie. 2 2 nsinn Exercice8-Examen:Equire´partition[CL1p.133ouGp.283ouFGN2p.46ouLp.36] Attention :selsrvil..seuoV.ouspzcvesluaoqnueerslttino.8.4sertramenetbientrait´eedan.K[p, 11]. Soit (xn) unesuite de [0,1]. Pour 0ab1, on pose nN N(a, b, n) = card{mn, xm[a, b]}. On dit que (xn´eirrtpastequ´e)isei nN N(a, b, n) bapour tout 0ab1. n n+8.1. Montrer que si (xnt´es)lsar,oeitrape´riuqe{xn, nN}est dense dans [0,1]. nN 8.2. Montrer que (xnest´equir´epar)nioctonopisseitfetuotrufnianemRirgbatne´[r0elus,1], nN nZ 1 X 1 limf(xk) =f. n n+0 k=1 8.3. Montrer que (xntruoetofeisspiuoir´epartest´equ)ontincfcontinue sur [0,1], nN nZ 1 X 1 limf(xk) =f. n n+0 k=1 n X 2iπmxk8.4. Montrer que (xnse)iu´r´tqetieseparsie=o(n) pour toutmZ. nN k=0 8.5. PourθR\Q, on pose (0)luniquer´eelde[,1[ tel que()Z. Montrer que (()) nN est´equire´partie.
4.Indications Exercice 1: Quelques lignes de calcul... Exercice 2: Commencerparmontrer,graˆcea`desformulestrigonome´triques,quelesdeuxsuitesconvergentou divergentsimultan´ement. Exercice 3: 3.1.De´couperendeuxmorceauxetutiliserdesε. 3.4. Poservn= ln|un|. Exercice 4:
3 4.1.Conside´rerdeuxvaleursdadh´erenceα < βme´ent,ueln´l]α, βsuiteentsdelae´xume´led,[un1 etun2iceindespzorhc,sadrseualsvcedeeslsiup,ecnere´hdan= max{p∈ {n1,∙ ∙ ∙, n2}, up< lε}. 4.2.Montrerquunevaleurdadh´erenceestunpointxedef, puis raisonner par l’absurde. Exercice 5: 2 Conside´rerunevaleurdadh´erencedelasuitedie´rentedeetconstruireunesuitedevaleurs 3 dadhe´rencequitendvers+. Exercice 6: 6.2.Penser`alad´ecompositiondesindicesenfacteurspremiers. 6.3.Penser`aunetransformationdelasuite(sinn) nN Exercice 7: 7.1. Utiliser le principe des tiroirs de Dirichlet avec les nombresE()[0,1[,0kN. 7.2. PoserN >lenerersid´tcone0ielnesbm p Γ ={rQ, r=[α1, α+ 1], pZ, qN,1qN}. q Montrerqu`apartirduncertainrangrn/Γ. 2 1q1 n 7.3.De´duiredecequipr´ec`edeque≥ →. 2 22 n+pn nsinpnp π Exercice 8: 8.3.Unefonctioncaract´eristiqueχ[a,b]paeer´adnceetrˆetuepenpsraomcraexurdeuxfonctionsaZ 1 ϕetψtelles queϕχ[a,b]ψetψϕ2ε 0 8.4. Une fonction continueftelle quef(0) =frofinuetylopedem(1milist)enogie´momoˆnrtseiqtrs.ue Encadrerensuiteunefonctioncaract´eristiqueχ[a,b]par deux fonctions continues telles quef(0) =f(1). 5.reenscef´eR´ [CL1] Chambert-Loir, Fermigier et Maillot,Analyse 1, exercices, Dunod. [Ci] Ciarlet,num´lyseuemaeriqeillrtcilaoee`tntIoitcudoranala`noinsitatpmi, Dunod. [C] Combes,Suitseire´stese, PUF. [FGN1] Francinou, Gianella, Nicolas,esdemathExercicysale1ENX-AnS.O.sexuarame´uqit, Cassini. [FGN2] Francinou, Gianella, Nicolas,yles2s.OrauxX-ENS.Ana´htamedseuqitamececierEx, Cassini. [G] Gourdon,tneseteˆanA.esylesLthma, Ellipses. [H] HauchecornetronscLeamhtsenemelp-exeestiqu´ema, Ellipses. [K]Ko¨rner,Fourier Analysis, Cambridge. [LT]Lascaux-The´odor,Anumenysalemquri´eleicirtaqilppael`alu´eeeliartdinuegne´em.2.roT, Dunod. [L] Leichtnam,rexEecicrocsrig´esdemath´emaituqseop´ssea`lalorscdecoonsdurloPecetyqinhteeu des ENS. Tome Analyse, Ellipses. [M] Merlin ,Methodix Analyse, Ellipses. [P] Pommellet,htamame´itagednoqutiesCouranyldsarge´esa,, Ellipses.