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Relaxation cinetique vers les lois de conservation scalaire

De
35 pages
Niveau: Supérieur, Master
Relaxation cinetique vers les lois de conservation scalaire Thomas Migliore 24 octobre 2006 Memoire de Master II de Mathematiques Directeur de stage : F. Berthelin 1 Annee 2005-2006 1Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonne, UMR 6621 CNRS, Universite de Nice Sophia-Antipolis, Parc valrose, 06108 Nice Cedex 02 - 1

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Relaxation cin´etique vers les lois de conservation
scalaire
Thomas Migliore
24 octobre 2006
M´emoire de Master II de Math´ematiques
1Directeur de stage : F. Berthelin Ann´ee 2005-2006
1Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonn´e, UMR 6621 CNRS, Universit´e de Nice Sophia-Antipolis, Parc
valrose, 06108 Nice Cedex 02 - bertheli@math.unice.fr
1Remerciements
Je remercie F. Berthelin de m’avoir dirig´e au cours de ce premier travail de recherches.
D’un caract`ere toujours agr´eable, il a manifest´e a` mon ´egard une grande disponibilit´e du-
rant ce stage, t´emoignant beaucoup de patience et faisant preuve de p´edagogie. Sa culture
etsonreculsurlesmath´ematiquesm’ont´et´etr`espr´ecieuxpourlar´edactiondecem´emoire.
Je remercie ´egalement J. Blum et P.E. Jabin d’assister `a mon oral de soutenance.
Je tiens ´egalement a` t´emoigner ma reconnaissance `a mon ami Michel Raibaut pour ses
remarques qui ont ´et´e tr`es constructives et ont contribu´e sans nul doute `a l’am´elioration
de ce papier.
2Table des mati`eres
1 Introduction 4
2 Existence de la solution cin´etique 5
3 Relaxation formelle et Maxwellienne modifi´ee 9
3.1 Limite formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Maxwellienne modifi´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Equations de transport et entropies de Kruˇzkov 12
5 Preuve du Th´eor`eme 20
0 15.1 Compacit´e de (ρ ) dans C ([0,T];L (K)) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20ε ε>0
5.2 Convergence de f vers M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24ε ρ
5.3 Loi de conservation scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4 In´egalit´es d’entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Annexe 32
6.1 R´esultats d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2 A propos des entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Bibliographie 34
31 Introduction
Dans ce m´emoire, on ´etudie la relaxation du mod`ele cin´etique BGK impliquant un terme
en champ fort dans l’op´erateur de transport. Ceci nous menera aux lois de conservation
scalaire avec un flux perturb´e par rapport aux relaxations classiques. On verra alors ap-
paraˆıtre une Maxwellienne modifi´ee. Ce travail suit l’article [1] en rajoutant un terme
source dans l’´equation cin´etique ce qui rajoute un terme source modifi´e dans la loi scalaire
obtenue.
L’int´erˆet d’utiliser une m´ethode de relaxation est de faire disparaˆıtre le terme non lin´eaire
dans la partie d´eriv´ee du mod`ele. On peut le voir sur le cas ”acad´emique” de relaxation
ou` le syst`eme
∂u+∂ v = 0t x
F(u)−v∂v+λ∂ u =t x ε
va approcher ∂u+∂ F(u) = 0 car a` la limite (ε → 0) F(u) = v. Le terme non lin´eairet x
F(u)−v
∂ F(u) devient dans le syst`eme . Pour des g´en´eralit´es sur l’´etude math´ematique desx ε
probl`emes de relaxation hyperbolique, on peut citer par exemple [9], [10] et [16].
Hilbert,danssonsixi`emeprobl`emeintitul´e”Traitementmath´ematiquedesaxiomesdephy-
sique” (voir en annexe), sugg´erait d´ej`a, en citant notamment les travaux de Boltzmann, le
besoin de d´evelopper math´ematiquement de tels processus limites. L’effet de la relaxation
est en effet important dans de nombreuses situations physiques comme la th´eorie cin´etique
des gaz, la visco´elasticit´e avec perte de m´emoire, l’´etude des flux de gaz pr`es de l’´equilibre
thermodynamique, ...
Ondoit´egalementciterPerthame etTadmor [12]quionttrait´elecasou` laforceF (d´efinie
ci-dessous) est nulle.
Le mod`ele BGK ´etudi´e est le suivant
F χ −fρ ε D∂f +div(a(x,v)f )+ ∂ f = +R(t,x,v)f , (t,x,v)∈R×R ×R, (1.1)t ε ε v ε ε
ε ε
ou` χ est la Maxwellienne classique pour les lois de conservation scalaire

sgn(ρ) si (ρ−v)v≥ 0,
χ (v) =ρ 0 sinon
et la densit´e Z
ρ(t,x) = f(t,x,v)dv.
R
La fonction sgn est d´efini comme d’habitude sgn(u) = 1 pour u > 0, sgn(u) = −1 pour
D Du< 0 et sgn(u) = 0 pour u = 0. Le champ de vitesse a :R ×R→R et la force F ∈R
sont donn´es, ε∈]0,+∞[. On notera f pour f (t,x,v)∈R.ε ε
Le point important est que le terme F/ε dans (1.1) modifie la limite hydrodynamique
obtenue. En effet, dans le cas avec une force F = 0, la limite obtenue est
Z ρ
∂ρ+div A(x,ρ) = 0, A(x,ρ) = a(x,u)du (1.2)t x
0
ou`
DX
div A(x,ρ) = ∂ A (x,ρ),x x ii
i=1
4alors que dans le cas ou` F = 0, nous obtenons
∂ρ+div B(x,ρ) =T(t,x,ρ), (1.3)t x
avec
Z Zρ ∞
−uB(x,ρ) = a(x,v+Fu)e dvdu, (1.4)
0 0Z Zρ ∞
−uT(t,x,ρ) = R(t,x,v+Fu)e dvdu. (1.5)
0 0
1Dans la suite, on notera C (Ω) l’ensemble des fonctions r´eelles continues et born´ees uneb
fois diff´erentiable sur Ω ainsi que leurs d´eriv´ees premi`eres. Cet espace sera munit de la
2,1 D Dnorme kfk 1 = sup|f(x)|+sup|∂f(x)|. On d´efinit C (R ×R ) comme l’espace desC (Ω) bb
Ω Ω
fonctions continues born´ees qui sont deux fois continument diff´erentiable par rapport a` x
et une fois par rapport a`v avec d´eriv´ees born´ees. L’espace des mesures born´ees sur Ω sera
not´eM (Ω). L’ensemble BV(Ω) est l’ensemble des fonctions int´egrables dont les d´eriv´ees1
1,pdistributionappartiennenta`M (Ω).L’ensembleW (Ω)d´esignel’espacedeSobolevusuel.1
Le principal r´esultat de ce m´emoire est le suivant
2,11 D D ∞ DTh´eor`eme 1.1 Soientf ∈L (R×R ),F ∈R,a∈C (R ×R) etR(t,x,.)∈L (R ×I bR
1R;C (R)) v´erifiantR(t,x,0) = 0. Alorsρ = f dv, ou`f est la solution du mod`ele BGKε ε εb R
1(1.1) avec la donn´ee initialef (0,x,v) =f , converge versρ dansL ([0,T]×K) pourT > 0ε I
Det tout ensemble compact K ⊂R . La limite ρ est une solution faible de
Z
∂ρ(t,x)+div B(x,ρ) =T(t,x,ρ), ρ(0) =ρ = f dv, (1.6)t x I I
R
1avec B donn´ee par (1.4) et T par (1.5). La fonction distributionf →M dansL ([0,T]×ε ρ
K×R).
De plus, on a les relations entropiques de Kruˇzkov :
∀k∈R, ∂|ρ−k| + div ((B(x,ρ)−B(x,k)) sgn(ρ−k))+(div B)(x,k) sgn(ρ−k))t x x
≤ (T(t,x,ρ)−T(t,x,k)) sgn(ρ−k). (1.7)
2 Existence de la solution cin´etique
Dans cette section, on montre qu’il existe des solutions `a l’´equation cin´etique (1.1) avec la
possibilit´e que F(x) =F. Tout d’abord, on remarque que la Maxwellienne v´erifie
Z
0∀k,k ∈R, χ (v)dv = k, (2.1)k
RZ
0
0|χ (v)−χ (v)|dv = |k−k|, (2.2)k k
R Z
1 0∀B∈C (R), χ (v)B (v)dv = B(k)−B(0). (2.3)k
R
5
61 D 1 D ∞ D 1Th´eor`eme 2.1 Pour a ∈ C (R ×R), F ∈ C (R ) et R(t,x,.) ∈ L (R ×R;C (R))b b b
v´erifiant R(t,x,0) = 0, l’´equation cin´etique (1.1) avec la condition initiale
1 D ∞ 1 Df(0) =f ∈L (R ×R) est bien pos´e dans L ([0,T];L (R ×R)).I
Preuve
On va ramener le probl`eme d’existence de la solution cin´etique a` un probl`eme de point
fixe. Pour cela, on r´e´ecrit (1.1) sous la forme

F(x) χ −fρ
∂f +div a(x,v), .f = +R(t,x,v).f. (2.4)t x,v
ε ε
Ainsi, on est en mesure d’introduire les caract´eristiques associ´ees a` (2.4) (cf. [2])

dX (s,x,v) = a(X(s,x,v),V(s,x,v)), ds
dV F(X(s,x,v))
(s,x,v) = , ds ε
X(t,x,v) =x , V(t,x,v) =v,
ainsi que le jacobien du changement de variables (x,v) 7−→ (X(s,x,v),V(s,x,v)) donn´e
par J(s,x,v)> 0 et v´erifiant
(
dJ
(s,x,v) = J(s,x,v) div a(X(s,x,v),V(s,x,v)),x
ds
J(t,x,v) = 1.
On voit que :
Z t
J(0,x,v) = exp − div a(X(s,x,v),V(s,x,v))ds . (2.5)x
0
L’´equation (1.1) multipli´ee par J(s,X(s),V(s)) se r´e´ecrit donc sous la forme
d 1
[f(s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s))] + ( −R(s,X(s),V(s)))f(s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s))
ds ε
χρ
= (s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s)).
ε
On cherche alors une fonction G(s) tq
d χρG(s) G(s)f(s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s))e = (s,X(s),V(s))J(s,X(s),V(s))e
ds ε
avec G(0) = 0, i.e.
10G(s) = −R(s,X(s),V(s))
ε
Z t 1
G(t) = G(0)+ −R(s,X(s),V(s))ds
ε0Z
tt
= − R(s,X(s),V(s))ds.
ε 0
6D’ou`
Z
t1G(t) G(τ)f(t,X(t),V(t))e = f(0,X(0),V(0))J(0,X(0),V(0))+ χ (τ,X(τ),V(τ))J(τ,X(τ),V(τ))e dτρ
ε 0
Z t1−G(t) G(τ)−G(t)f(t,x,v) = f(0,X(0),V(0))J(0,X(0),V(0))e + χ (τ,X(τ),V(τ))J(τ,X(τ),V(τ))e dτ.ρ
ε 0
On va montrer que la solution f de (1.1) peut ˆetre obtenu comme limite de la suite
f (t) = f(0)0 Z
ρ (t) = f (t)dvn n
R
−G(t)f (t) = f(0,X(0),V(0))J(0,X(0),V(0))en+1
Z t1 (G(τ)−G(t))+ χ (τ,X(τ),V(τ))J(τ,X(τ),V(τ))e dτ.ρnε 0
Pour cela, on va prouver que l’application
−G(t)Φ(f) = f(0,X(0),V(0))J(0,X(0),V(0))e
Z t1
(G(τ)−G(t))+ χ (τ,X(τ),V(τ))J(τ,X(τ),V(τ))e dτ (2.6)ρ
ε 0
est lipschitzienne. En fait, nous allons voir que c’est insuffisant `a cause du terme source.
On aura donc besoin de montrer qu’une it´er´ee de Φ est contractante.
Prenons deux solutions de (1.1), not´ees f et g avec f(0) = g(0) = f , de densit´esIR R
ρ(t,x) = f(t,x,v)dv et φ(t,x) = g(t,x,v)dv respectivement, on va estimer
R R
kΦ(f(t,x,v))−Φ(g(t,x,v))k 1 D .L (R ×R)
∞ D 1OnposekRk =supkR(t,x,.)k 1 (cequiestl´egitimecarR(t,x,.)∈L (R ×R;C (R))).∞ C (R) bb
(t,x)
Cette notation sera ensuite utilis´ee dans tout le m´emoire. On a alors
Z t1
kΦ(f(t,x,v))−Φ(g(t,x,v))k 1 D ≤ kχ (τ,X(τ),V(τ))−χ (τ,X(τ),V(τ))k 1 DL (R ×R) ρ φ L (R ×R)
ε 0
(G(τ)−G(t))J(τ,X(τ),V(τ))e dτ.
Aτ fix´e,onfaitlechangementdevariable(X(τ,x,v),V(τ,x,v))7−→(x,v)dansl’int´egrale
τ−tD −1surR ×R. Le jacobien de cette transformation vaut J(τ,x,v) et G(τ)−G(t) = −
εR Rτ ττ−tR(s,X(s),V(s))ds devient G(τ)−G(t) = − R(s,x,v)ds.
t R ε t
D’apr`es (2.2) |χ (v)−χ (v)|dv =|ρ−φ|. On en d´eduit quekχ (v)−χ (v)k 1 D =ρ φ ρ φ L (R ×R)R
1 Dkf(τ,x,v)−g(τ,x,v)k . L’in´egalit´e pr´ec´edente s’´ecrit alors :L (R ×R)
kΦ(f(t,x,v))−Φ(g(t,x,v))k 1 DL (R ×R)
Z t
t −t t1 11 − R(s,x,v)ds
ε t≤ kχ (t ,x,v)−χ (t ,x,v)k 1 D e dt .ρ 1 φ 1 L (R ×R) 1
ε 0
7
R1 1On pose α = −kRk et on choisit 0<ε< de telle sorte que α> 0.∞ε kRk∞
kΦ(f(t,x,v))−Φ(g(t,x,v))k 1 DL (R ×R)
Z t
tt −t1 1 1− R(s,x,v)dstε≤ kf(t ,x,v)−g(t ,x,v)k 1 D e dt . (2.7)1 1 L (R ×R) 1
ε 0
D’ou`
kΦ(f(t,x,v))−Φ(g(t,x,v))k ∞ 1 DL ([0,T];L (R ×R))
Z T
t −t1 1 +tkRk∞ε≤ kf−gk ∞ 1 D e dtL ([0,T];L (R ×R)) 1
ε 0
Z T
t −t1 1TkRk∞ ε≤ e kf−gk ∞ 1 D e dtL ([0,T];L (R ×R)) 1
ε 0
TkRk∞≤ e kf−gk ∞ 1 D (2.8)L ([0,T];L (R ×R))
Pour avoir une application contractante, on calcule la p-i`eme it´er´ee de Φ, i.e.
pΦ = Φ◦Φ◦···◦Φ, ce qui donnera l’existence d’un point fixe (`a savoir f avec la donn´ee
∞ 1 Dinitiale f(0) = f ) dans L ([0,T];L (R ×R)) et la convergence de (f ) vers f surI n n≥0
tous les intervalles [0,T] avec T > 0 par le th´eor`eme du point fixe de Picard.
On a
2 2kΦ (f(t,x,v))−Φ (g(t,x,v))k 1 DL (R ×R)
Z
t
t −t t1 1 1− R(s,x,v)dstε≤ kχ (t ,x,v)−χ (t ,x,v)k 1 D e dtρ 1 φ 1 L (R ×R) 1Φ(f) Φ(g)ε 0Z t
t −t t1 1 + kRk ds∞tε 11 D≤ kχ (t ,x,v)−χ (t ,x,v)k e dtρ 1 φ 1 1L (R ×R)Φ(f) Φ(g)ε 0
Z t
t −t t1 1 + kRk ds∞ε t1≤ kΦ(f(t,x,v))−Φ(g(t,x,v))k 1 D e dt .1L (R ×R)
ε 0
D’ou` par (2.7) :
2 2kΦ (f(t,x,v))−Φ (g(t,x,v))k 1 DL (R ×R)
Z Zt t1 t −t t21 + kRk ds∞ε t2≤ kf−gk 1 D (t ,x,v)e dt dtL (R ×R) 2 2 12ε 0 0
Par r´ecurrence, on arrive a` :
p p
1 DkΦ (f)−Φ (g)kL (R ×R)
Z Z Z
t t t1 p−1 t −t tp1 + kRk ds∞ε tp≤ ... kf−gk 1 D (t ,x,v)e dt ...dtL (R ×R) p p 1pε 0 0 0
et donc `a
p pkΦ (f)−Φ (g)k ∞ 1 DL ([0,T];L (R ×R))
Z Z Z t t t1 p−1 t −t tp1 + kRk ds∞ε tp ∞≤ ... e dt ...dt kf−gk .p 1 L ([0,T])pε 0 0 0
8
RRRRRRRR R R 1t t t1 p−1 (t −t)(kRk − )p ∞ εIl reste `a calculer C (t) = ... e dt ...dt .p p 10 0 0
Rtp−1 −α(t−t ) 1 −α(t−t ) −αtp p−1On commence par calculer e dt = (e −e ).p0 αR −αttp−2 1 e 1 1−αt αt αtp−1 p−2Ensuite e (e −1)dt = ( e − −t )p−1 p−20 α α α α
2R −αt tt tp−3 p−3 p−31 −αt 1 αt 1 e 1 αtp−2 p−3e ( e − −t )dt = ( (e −1)− − ),···p−2 p−2 2α 0 α α α α α 2
Ainsi par r´ecurrence, on arrive `a
−αt 2 3 p−1e 1 αt t t t tC (t) = [ (e −1)− − − −···− ].p p−1 p−2 p−3 p−3α α α 2α 3!α (p−1)!
p pD’ou`kΦ (f(t,x,v))−Φ (g(t,x,v))k ∞ 1 D ≤ sup C (t)kf−gk ∞ 1 D .L ([0,T];L (R ×R)) p L ([0,T];L (R ×R))
t∈[0,T]
αtOn applique la formule de Taylor avec reste int´egral `a la fonction e :
p−1 RP k k tαt t α 1 p−1 p αue = + (t−u) α e du,
k! (p−1)! 0
k=0
p−1P Rk t1 αt t α p−1 αu(e −1) = + (t−u) e du.p−1 p−1−kα α k! (p−1)! 0
k=1Rtα p−1 αuAinsi C (t) = (t−u) e du etp (p−1)! 0
Z Tα p−1 αTsup C (t) ≤ T e dup
(p−1)!t∈[0,T] 0
α
p αT≤ T e .
(p−1)!
Finalement,
αp p p αTkΦ (f)−Φ (g)k ∞ 1 D ≤ T e kf−gk ∞ 1 D (2.9)L ([0,T];L (R ×R)) L ([0,T];L (R ×R))
(p−1)!
1pour ε assez petit (0<ε< ).
kRk∞
α p αT pComme T e → 0, pour p assez grand, Φ est contractante. Elle admet donc
(p−1)! p→+∞
p pun unique point fixe f mais comme Φ (Φ(f)) = Φ(Φ (f)) = Φ(f) et Φ(f) est aussi un
ppoint fixe de Φ . D’ou` Φ(f) = f par unicit´e et f est point fixe de Φ. Inversement, tout
ppoint fixe de Φ l’est aussi de Φ . Le f obtenu est donc bien l’unique point fixe de Φ.
p+1
On vient de montrer que la suite (f ) , qui est la (p+1)-i`eme it´er´ee de (f ) , estn n+1 nn+1
p+1α p αTcontractante de rapport T e et que les suites (f ) et (f ) ont mˆeme pointn+1 n nn+1(p−1)!
1 Dfixe, a` savoir f. Elles convergent donc vers ce point fixe dans L (R ×R). De plus, grˆace
`a (2.9), on a unicit´e de la solution cin´etique.

3 Relaxation formelle et Maxwellienne modifi´ee
Dans cette section, on calcule formellement la limite de (1.1) quand ε → 0 et on traite
´egalement le cas ou` F(x) = F. On va voir que la force F, quand celle-ci est non nulle,
9modifie l’´equilibre cin´etique c’est-`a-dire la Maxwellienne. En cons´equence, la limite de la
loi de conservation est elle aussi modifi´ee.
La preuve rigoureuse de cette d´erivation formelle sera faite dans la section 5.
3.1 Limite formelle
Tout d’abord, on fait tendre ε→ 0 dans l’´equation (1.1), ce qui donne formellement
F(x)∂ f =χ −f. (3.1)v ρ
Ensuite, une int´egration par rapport `a v dans (1.1) donne
Z Z Z
∂ f dv+div a(x,v)f dv = R(t,x,v)f dv. (3.2)t x
R R R
R R
Il reste maintenant a` calculer le flux a(x,v)f dv et le terme source R(t,x,v)f dv en
R RR
terme de densit´e ρ = f dv.
R
∞ DOn mutiplie (3.1) par une fonctionb(x,v)∈C (R ×R) et on int`egre env, ce qui donnec
Z Z
b(x,v)F(x)∂ f dv = (χ −f)b(x,v)dvv ρ
R R Z
= B(x,ρ)− fb(x,v)dv (3.3)
R
ou` on a pos´e Z v
B(x,v) = b(x,u)du. (3.4)
0
Il est `a noter que la derni`ere ´egalit´e provient de (2.3). Apr`es une int´egration par parties,
nous avons
Z
(b(x,v)−F∂ b(x,v))f dv =B(x,ρ). (3.5)v
R
Il reste `a calculer la solution de l’´equation
b(x,v)−F(x)∂ b(x,v) =a(x,v).v
Comme b est born´ee, il vient
 Z +∞
v−ua(x,u) F(x) e du si F(x)> 0 F(x)v
b(x,v) = a(x,v) si F(x) = 0
 Z v v−ua(x,u) F(x)− e du si F(x)< 0
F(x)−∞
10