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Universite Claude Bernard Lyon Semestre de printemps UE de Geometrie

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Niveau: Supérieur
Universite Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2011-2012 UE de Geometrie Feuille d'exercices no 1 Exercice 1 (Exemples d'espaces affines). 1. Soient deux espaces vectoriels V et W , l : V ??W une applica- tion lineaire et ~b ?W . Montrer que l'ensemble des solutions lineaires de l'equation l(~x) = ~b , s'il n'est pas vide, est un espace affine. Determiner sa direction. 2. Soient (a0, a1, . . . , an) ? Rn+1 et ? : R ?? R une application continue. L'ensemble des applications ? : R ?? R de classe Cn qui sont solutions de l'equation an dn dxn? + an?1 dn?1 dxn?1? + . . . a0? = ? est-il un espace affine ? Dans l'affirmative, quelle est sa dimension ? 3. Soient (a0, a1, . . . , ak?1) ? Rk et b ? R. L'ensemble des suites (un)n?N de nombres reels verifiant un+k + ak?1un+k?1 + · · · + a1un+1 + a0un = b est-il un espace affine ? 4. L'ensemble des applications f : R ?? R verifiant f(x + 1) = f(x) + 1 pour tout x ? R est-il un espace affine ? 5.

  • reunion finie d'espaces

  • repere canonique

  • droites paralleles

  • droite determinee par ???pq

  • parallelogramme

  • parallelogramme delimite par les droites


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Universit´eClaudeBernardLyon1 UEdeG´eom´etrie
o Feuille d’exercices n1
Semestre de printemps 20112012
Exercice 1(Exemples d’espaces affines).1. Soientdeux espaces vectorielsVetW,l:V−→Wune applica ~ tionlin´eaireetbWerqroMtn.dessmbleenseuelriae´nilsnoitulonioatqu´eldees ~ l(x~) =b ,
silnestpasvide,estunespaceane.D´eterminersadirection. n+1 2. Soient (a0, a1, . . . , an)Retψ:R−→Rune application continue. L’ensemble des applicationsφ: n R−→Rde classeCequationonsdel´tnosulitqiuos n n1 d d anφ+an1φ+. . . a0φ=ψ n n1 dx dx estil un espace affine? Dans l’affirmative, quelle est sa dimension? k 3. Soient(a0, a1, . . . , ak1)RetbR. L’ensemble des suites (un)nNv´lsiertandnemorbse´ree
un+k+ak1un+k1+∙ ∙ ∙+a1un+1+a0un=b
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Exercice 3.Soit (X, V) un espace affine. On noteKle corps de base deV. SoitYune partie non vide deX. 1.Onsupposequelacaract´eristiquedeKn’est pas 2. Montrer queYest un sousespace affine deXsi et 2 seulement si : pour tout (A, B)Y, avecA6=B, la droite (AB) est incluse dansY. 2.Cettee´quivalenceestellevraieencaracte´ristique2.
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