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M1Alg`ebre2011-2012
FICHE N 3 :
Exercice 1.Trouver tous les sous-groupes deA5d’ordre 15,20 ou 30. Exercice 2. a) Trouvertous les produits semi-directs deZ/3ZparZ/4ZouZ/2Z×Z/2Z. b) Trouvertous les produits semi-directs deZ/4ZouZ/2Z×Z/2ZparZ/3Z. c) Soitdna´leddriopredoueg2rdlren. A-t-onDn'Z/2Z o Z/nZ. d)Legroupedesquaternionsdordre8peut-ils´ecrirecommeunproduitsemidirect?
Exercice 3. a) Existet-il une injection deS3dansA4? b) Existet-il une surjection deSnsurSn1?
Universite´LyonI
Exercice 4.SoitGun groupe,Hun sous-groupe deG, etNgu´esdetinpedigrouuo-susnG. Lebut de cet exercice est de montrer l’isomorphisme suivant: HN/N=H/HN. 0 Soitfla projection canoninique deGdansG/NetHl’image deHparf. 10 0 a) Encalculantf(H), montrer queHesa`ehpromositHN/N. 0 b) Encalculant Kerf|H, montrer queHorphe`aestisomH/HN. c) Conclure.
Exercice 5.SoitGi, Hi(1iSupposons que les morphismes5) groupes.fi:Gi−→Hiet le diagramme commutatifsuivantaveclesdeuxsuiteshorisontalesexactessontdonne´es: //////// G1G2G3G4G5 . //////// H1H2H3H4H5 a) Montrerque sif1est surjective etf2, f4sont injectives, alorsf3est injective. b) Montrerque sif5est injective etf2, f4sont surjectives, alorsf3est surjective. Cer´esultatestconnuetappele´5-lemme. Exercice 6.SoitXun ensemble sur lequel le groupeS5nagitdunemani`eonerrt-naiviM.eltronqueraelioct nestpasde`lesietseulementsiS5agit par involution. Exercice 7.Soitnun entier tel quen >1 etKun corps commutatif.SoitB, TetUles sous-groupes de GLn(Kserialugnairtsecriatsmde)nolaidgaciseamrt,desureseriesup´ipunenotsste´eupe,sesedtrtamseciirueer.s Montrer queBest isomorphe au produit semi-directTnU.
Exercice 8.trucelasAduutg(rotuupreeo,dnIicmrnie´etZ/2Z×Z/2Z). a)Enconsid´erantlimagedun´ele´mentdordre2deZ/2Z×Z/2Zpar un automorphisme, montrer que Aut(Z/2Z×Z/2Zmosihprotse)snuo`euauoep-srgdeS3.
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b) Soitf, gAut(Z/2Z×Z/2Z) tels que ¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ f(i, j) = (j, i), g(i, j) = (i+j, j)i, jZ/2Z. 2 23 Montrer quefetgsatisfontf=g= id et (fg) =id. c) Conclure.
Exercice 9.Ici, on va montrer queG=P GL2(F2simoe)tsae`phorS3re´eid.tnemm 1 a) Enfaisant agirGsurP(F2), montrer-le. 3 onside`relactioF. b) Onc ndeS3sur2 (a) Montrerque cette action stabilise l’hyperplan{(x, y, z)|x+y+z= 0}. (b) Conclure. [a) ] c) MontrerqueGL2(F2e`aAut(isomorphtse)Z/2Z×Z/2Z.)nE´ddeequreuiP GL2(F2) =GL2(F2) est isomorphea`S3.
Exercice 10.gselpuorsereismrnie´etDZ/36Z×Z/45Z×Z/60ZetZ/25Z×Z/48Z×Z/81Zsont isomorphes.
Exercice 11.imrete´Donacrlnesuontidineitlrsesotirepsifsa, bpour laquelle on a Z/abZ=Z/aZ×Z/bZ.
Exercice 12.Soitmetndeux entiers strictement positifs etH(m, n) l’ensemble des morphismes deZ/mZ dansZ/nZ.H(m, ne)nutsemsihpro(saddiurldesmtionepbarguoneope´ilϕ+ψ)(i) :=ϕ(i) +ψ(i). a)Montrerquun´ele´mentϕdeH(m, nn´miarep)estqinuemeu´dtnreteϕ(1). b) Soitdle PGCD demetn. Montrerque l’ordre deϕ(1) divised. c)Montrerquelese´l´ementsdeZ/mZdont l’ordre divisedsont les classes de multiples dea,`uom=adet de´duirequeϕretae´´neuedrd´1)(ngtunieH(m, n). d)End´eduirequeH(m, n) =Z/dZ.
Exercice 13.Soitnun entier tel quen >1 etG= Aut(Z/nZ,+). ¯ ¯ a) Montrerquekengendre (Z/nZ,+) si et seulement sikest inversible dansZ/nZ. b)Ende´duirequeGest isomorphe au groupe multiplicatif (Z/nZ) .
Exercice 14.Soientnun entier strictement positif etpun nombre premier. a) Supposonsquepest impair. ∗ ∗ i) Montrerque pour toutkN, il existeaNtel que k p k+1 (a, k) = 1et (1+p1 +) =ap . nn1 ii)End´eduireque(Z/pZ) =Z/p(p1)Z. b) Supposonsquep= 2. ∗ ∗ i) Montrerque pour toutkN, il existe un entier impaireaNtel que k 2k+2 5 =1 +a2.
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nn2 ii)End´eduireque(Z/2Z) =Z/2Z×Z/2Zpourn2. c) Donnerla structure de (Z/NZ) pourN >1.
Exercice 15.Le groupe PSL(2,Z) est-il simple ? 2 3 Exercice 16.SoitGoupelegrnipad´erhx, y|x=y=eibut de cet exercice est de montrer que. LeGest    1 01 1 isomorphe`aP SL(2,Zle fait que). AdmettonsSL(2,Z.teeparndr´enge)est 1 10 1     10 11 11 a)Calculer.Ende´duirequeSL(2,Zres)ngtedrenpa´e 0 11 10 1    01 11 et . 1 00 1     01 01 11 b) Notonsl’image deet parla projection canoniqueSL(2,Z)P SL(2,Z) par 1 01 00 1 AetB, respectivement. 2 3 i) MontrerqueA=B=12. ii)Ende´duirequilexisteunmorphismesurjectifϕdeGdansP SL(2,Z). 1 c) Posonsξ=xyetη=xytdeemen.qroeMutnere´´lottuGs´epeutuoserircemrofals 0 ε m1n1mrnrε0 x ξη∙ ∙ ∙xξ η´ouε, ε∈ {0,1}etmi, niN. 0 00m10n10mr0nr d) Expliciterξ:=ϕ(ξ) etη:=ϕ(ηmoopedcsmoemlesauledemodqueluireEn).edd´deesntsaξ η∙ ∙ ∙ξ η est au moins 3 sauf sim1=n1=∙ ∙ ∙=mr=nr= 0. e) Conclure.
2 Exercice 17.SoitG=ha, b|aba=babiPosonsle groupe de tresse de trois cordes.x=abety=ab. a) MontrerqueGrpaetsenegne´rdxety. 2 3 b) Montrerquex=yZ(G). 2 23 c) Calculerles commutateurs [x, y] et [x, yeriude´dnE.]queZ(Ggendstenra)e´rpex=y. d)Ende´duirequeG/Z(Ghproa`etse)mosiP SL(2,Z).
Exercice 18.SoitGntnnu.rigouSoeeipbae´ilned1, ..., drles entiers2 tels que : d1|d2|...|dr etG'Z/d1Z×...×Z/drZ. a) Exprimerle produitd1...drdiala`eedG. n b) MontrerquedrZ={nZ:gG, g= 1}. c) SoitEun espace vectoriel de dimension finie surC. Soituun endomorphisme deE. SiPC[X] etvE, on poseP.v:=P(u)(v). On suppose qu’il existeP1, ..., PrC[Xusinatrilonyoˆemstantsteesnoncon:euqsl]spde P1|...|Pr dansC[X] et E'C[X]/(P1)...C[X]/(Pr) commeC[X]modules.
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d) MontrerquePropylˆnmomenimiladeelestuetP1...Premoˆnyloe´tcaracueiqstrieruvro.Ttsealilsonp P1, ..., Prlecadansso`uEuion3eto`deesdtimensua pour matrice   1 1 0   0 1 0 0 0 1 dans une base.
∨ × Exercice 19.SoitGun groupe.On poseG:= Hom(G,Cir´veerala`noitacilpiltmuladenimu)(i.e.: φ1φ2:g7→φ1(g)φ2(g)). a) MontrerqueGgrunpeou´eabenli.tse b)De´terminerGpourG=Sn, An,Z/nZ. c) Montrerque siGelb´taes,anirnslioeG'G.
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