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Universit´eClaudeBernard Master1Alg`ebre
FICHE N 7 :
Exercice 1.eleterqur`emh´eoliosdeWeiluqinpmraneueddeneciMrtno1 modpsipeau`rg1nocts p1 2 mod 4.Indication: PosonsX=12et montrerX1[p]. 2 Exercice 2.Combien y a-t-il de cubes dans(Z~pZ)? Exercice 3.erpsreimnocssurgnin´eitnoderemb`a3modulo4.rtnoMneeustxileiquer Exercice 4.Ici, on travaille surF3. 1.De´composerΦ7. 2.De´terminerlecorpsF3(α)ou`αe.ude´tinremenicae7e`itsnu
2 Exercice 5.ntMoeopylˆnmoerqreuelX+X+stirr´ed1esnadelbitcuF8. Exercice 6. 3 1.MontrerquelepolynoˆmeX+X+eesduurctiirbrl´1estF16. Soitxe.omnˆaricuenopylenud 2.Enconside´rantF2F2(x)F16(x), montrer que 3 divise[F16(x)F2]. 3.Enconside´rantF2F16F16(x), montrer que 4 divise[F16(x)F2]et que[F16(x)F2]12. 4.End´eduireque[F16(x)F2]=12.
Exercice 7.SoientKun corps commutatif,Pˆoynirmeuolnpe´rtiucedr´egededbln>1 etLle corps de de´compositiondeP. Montrerque[LK]n!. Exercice 8.Montrer queGLn(Fp)uasnuo-srguoepedestisomorphe`GL2n(Fp). 2 n Exercice 9.SoitfFontrer que sinest au moins 3, qÐ→FqMune forme quadratique non triviale. n alorslecoˆneisotropeN(f)={xFSf(x)=0}a au moins un point non trivial, i.e.,N(f){0}g. q Exercice 10.Soitpun nombre premier.Montrer que, parmi 2p1 entiers, on peut toujours en trouver pdont la somme est divisible parp.appelleIndication: Ona1,, a2p1les entiers modulopr`eresndi.oC p1p1p1p1 2 2 lepolynˆome(X+  +X)ω(a1X+  +a2p1X),u`oωFptseusapnncarr´e. 1 2p21 1p1 Exercice 11.Soitp, qdeux nombres premiers distincts>but de cet exercice est de montrer2. Le laiqatdeueusGaspiceicorqe´trdaued´rlio: q p p1q1 2 2   =(1). p q Soitζune racine primitiveqniuedemsuanedt´`i-ederiquoˆutenlc´gbeerlaFp. Posons x x τ=Q ζ . q xF q Cettesommeestappel´eelasomme de Gauss.
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1. Montronsque t(ut)  2u τ=QζQ . quFqtFq 2. Montrerque, sit0, on a 1 t(ut)1ut q1 2  =(1) . q q 1 1ut 3. PosonsC . u=tFq q (a) MontrerqueC0=q1 et queCu=1 pouru0. q1 2 (b)Ende´duirequeτ=(1)q. 2 (c) Montrerque q p1p1q1 p1 22 22 τ=(τ)= (1). p p p p1 4.Parlade´nitiondeτ, calculerτiueruqe.nE´ddeτ= . q 5. Conclure. On remarque que la somme de Gauss est un analogue de la fonction gamma: dx x s Γ(s)=e xRes>0. S 0x Ilyaaussiunanaloguedelafonctionbeˆtaappele´lasomme de Jacobi. Exercice 12.Soitpun nombre premier>2 etζune racine primitivepdnue`em-nsda´eitC. PouraFp, posons x ax τa=Q ζ . p xF p Cettesommeestaussiappel´eelasomme de Gaussparticulier, on pose. Enτ=τ1. a 1. Montrerqueτa= τpouraFp. p 2. Posτ onsS=aFpaτa. p1p1 22 (a) Montrerqueτaτa=(1)τpouraFqure.e´dnEiudeS=(1) (p1)τ. 2 2 p a(xy) (b)Aveclaidedecaracte`reduFe, v´ζ=perifier quaFpx,y. 2 x Ende´duirequeS=p =p(p1). xFp p p1 2 22 (c)End´eduirequeτ=τ=(1)psiaF. a p 3.Ende´duirequetouteextensionquadratiquedeQ(i.e., de la formeQ(d)avecdQ) est contenue dans une extension cyclotomique (i.e., de la formeQ(ζ)avecζ.)e´eC(nutssacracinedunit tre`sparticulierduoe`rt´hKeormedeeretneckrWebeoteuqtidnetxeetu´eabonsineenliqui deQse plonge dans une extension cyclotomique deQag.Ln´´ednoitecelaretasinueconr`emh´eo commeKronecker’s Jugendtraumeunstenqiodruaiqatneildsenuotexeetelitrate´basnoisnetxese imaginaire deQ.)
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2 Exercice 13.l´equatnsid`erennOioocx59[103]dansZ. 1.Alaidedelaloider´eciprocite´quadratique,montrerquel´equationadmetunesolution. 2.Trouvertouslessolutionsdel´equation. 51 3. Montrerque 591 est divisible par 103.
n 2 Exercice 14.SoitFn=2+1 lenredenombat.Ferme`emi n+1 1. Montrerque sipest un nombre premier qui diviseFn, alorsprg`u1aomsectno.lodu2 22. Enutilisant le fait que si 16 divisepe´edacrrtsnusre21aloF, montrer quepe1a`urgnocts p n+2 modulo2de`squen2.
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