Université d'Orléans Année

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université d'Orléans Année 2009-2010 Polynômes et fractions rationnelles 2MA01-Licence de Mathématiques Polynômes Exercice 1 Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B dans les cas suivants : 1. A = X2 ? 4X + 3 et B = X3 +X2 ? 2. 2. A = X5 + 1 et B = X + 1. 3. A = 3X7 ? 2X5 +X3 ? 4 et B = 2X2 ?X + 3. Exercice 2 Soit P ? C[X] et a, b ? C distincts. On pose ? = P (a) et ? = P (b). 1. Calculer en fonction de a, b, ? et ? le reste de la division euclidienne de P par (X ? a)(X ? b). 2. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2 +X ? 2. 3. Déterminer le reste de la division euclidienne de (cos(?) +X sin(?))n par X2 + 1. 4. Trouver le reste de la division euclidienne de Xn par (X ? 1)2 (on pourra penser à dériver et évaluer en 1). Exercice 3 Pour quels entiers n ? N le polynôme (1 +X4)n ?Xn est-il divisible par X2 +X + 1 ? Exercice 4 Trouver ?, µ ? C tels que X2 +X + 1 divise X5 + ?X3 + µX2 + 1.

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• Polynôme

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Extrait

UniversitÉ d’OrlÉans AnnÉe 2009-2010

PolynÔmes et fractions rationnelles

PolynÔmes

2MA01-Licence de MathÉmatiques

Exercice 1DÉterminer le quotient et le reste de la division euclidienne deAparBdans les cas suivants : 2 32 1.A=X−4X+ 3etB=X+X−2. 5 2.A=X+ 1etB=X+ 1. 7 53 2 3.A= 3X−2X+X−4etB= 2X−X+ 3.

Exercice 2SoitP∈C[X]eta, b∈Cdistincts. On poseα=P(a)etβ=P(b). 1. Calculeren fonction dea, b, αetβle reste de la division euclidienne dePpar(X−a)(X−b). n2 2. DÉterminerle reste de la division euclidienne deXparX+X−2. n2 3. DÉterminerle reste de la division euclidienne de(cos(θ) +Xsin(θ))parX+ 1. n2 4. Trouverle reste de la division euclidienne deXpar(X−1)(on pourra penser À dÉriver et Évaluer en1).

4n n2 Exercice 3Pour quels entiersn∈Nle polynÔme(1 +X)−Xest-il divisible parX+X+ 1?

2 53 2 Exercice 4Trouverλ, µ∈Ctels queX+X+ 1diviseX+λX+µX+ 1.

Exercice 5Trouver le pgcd dePetQdans les cas suivants : 4 32 32 1.P=X+X−3X−4X−1etQ=X+X−X−1. 4 24 3 2 2.P=X−10X+ 1etQ=X−4X+ 6X−4X+ 1.

4 32 2 Exercice 6Calculer le pgcd deA=X+X−2X+ 1etB=X+X+ 1dansR[X]et trouver(U, V)∈R[X]tels que AU+BV=D.

2 Exercice 7SoientA, B∈R[X]premiers entre eux et(U 0 , V 0 )∈R[X]tel queAU 0 +BV 0 = 1. 2 1. Soit(U, V)∈R[X]tel queAU+BV= 1. Montrer qu’il existeQ∈R[X]tel queU=U 0 +QBetV=V 0 −QA. 2. Etablirla rÉciproque. 4 32 2 3. SoientA=X+X−2X+ 1etB=X+X+ 1. DÉterminer tous les couples(U, V)∈R[X]tels queAU+BV= 1.

Exercice 8Soientm, n∈N. 1. Soientq, r∈Nle quotient et le reste de la division euclidienne denparm(i.e.n=mq+ravec06r < m). Effectuer n m la division euclidienne du polynÔmeX−1parX−1. n m 2. EndÉduire le pgcd deX−1et deX−1en utilisant l’algorithme de Bezout.

Exercice 9Effectuer la division puissance croissante du polynÔmeApar le polynÔmeBÀ l’ordrenprescrit dans les cas suivants : 2006 1.A=X,B= 13−666X,n= 2005. 3 22 2.A=X−2X+ 4,B=X+ 1etn= 3. 3 4 3.A= 4X−2X+ 3,B=X−X+ 1etn= 5.

2 Exercice 10Soient(A, B)∈R[X]. Montrer queAetBsont premiers entre eux dansR[X]si et seulement siAetB n’ont aucune racine commune dansC.

n Exercice 11SoitP=a n X+∙ ∙ ∙+a 0 oÙa i ∈Zpour touti∈ {1, . . . , n}. On suppose qu’il existeα∈Qtel queP(α) = 0. p Soitp, q∈Zpremiers entre eux tels queα=. Montrer queqdivisea n etpdivisea 0 . q

Exercice 12DÉcomposer les polynÔmes suivants en produits de polynÔmes irrÉductibles dansR[X]. 4 2 1.X+X+ 4. 8 4 2.X+X+ 1. 4 3 2 3.X−6X+ 7X+ 6X−8. 2n+1 4.X+ 1oÙn∈N.

Exercice 13PolynÔmes interpolateurs de Lagrange. Soitm>2et soientx 1 , x 2 , . . . , x m mpoints distincts deC. Pour toutj∈ {1, . . . , m}, on pose m Q (X−x k ) k=1,k6=j L j =. m Q (x j −x k ) k=1,k6=j 2 1. Soient(j, p)∈ {1, . . . , m}. CalculerL j (x p ). P m 2. Soitfune fonction deCdans lui-mme. PosonsL=f(x j )L j . Que peut-on dire sur le degrÉ deL? Montrer que j=1 pour toutj∈ {1, . . . , m}, on aL(x j ) =f(x j ). (Le polynÔmeLs’appelle le polynÔme interpolateur de Lagrange defaux pointsx 1 , x 2 , . . . , x m .) j i2π n+1 3. SoitP∈C[X]. On notenle degrÉ dePet on supposen>1. Pour toutj∈ {1, . . . , n+ 1}on posex j =e. Soit Lle polynÔme interpolateur dePaux pointsx 1 , . . . , x n+1 . (a) MontrerqueP=L. n n Q PQ n j (b) QuereprÉsentent lesx j ? Prouver que(X−x j ) =Xet en dÉduire la valeur de(1−x j ). j=0 j=1j=1 (c) Montrerque n ∀z∈C,|P(z)|6max|P(a)|(|z|+ 1). |a|=1

Exercice 14PolynÔmes de Tchebychev. On considÈre la suite de polynÔmes rÉels(T n ) n>0 en l’indÉterminÉeX, dÉfinie par la relation de rÉcurrence : T n+2 = 2X.T n+1 −T n etT 0 = 1, T 1 =X. Les polynÔmesT n sont appelÉs polynÔmes de Tchebychev de premiÈre espÈce. 1. CalculerT 2 ,T 3 etT 4 . 2. Montrerque pour toutn>0,T n est de degrÉ Égal Àn. DÉterminer en fonction den, le coefficient dominant deT n et la valeur deT n (0). 3. Montrerque pour toutn>0et pour toutx∈R, T n (cos(x)) = cos(nx).(1) 4. Enutilisant (??), montrer que pourn>1,T n anracines distinctes dans[−1,1]et les dÉterminer explicitement. 200 02 5. DÉriverdeux fois (??) et en dÉduire que(1−X)T−XT+ n n n T n = 0.

Fractions rationnelles

Exercice 15DÉcomposer en ÉlÉments simples surRles fractions rationnelles suivantes : 4 22 x x+ 3x+ 5x F 1 (x) =, F 2 (x) =, F 3 (x) =. 2 2 x+ 3x+ 2x+x−2 (x−1)(x−2)(x−3)

Exercice 16DÉcomposer en ÉlÉments simples surRles fractions rationnelles suivantes :

1 F 1 (x) =, 3 x+x

1 F 2 (x) =, 3 2 x+ 6x+ 11x+ 6

x F 3 (x) =, 3 2 x−4x+ 5x−2

x F 4 =. 3 (x−1) (x−2)

Exercice 17DÉcomposer en ÉlÉments simples surRles fractions rationnelles suivantes : 6 43 23 x3+ 2x−x+ 5x−x+ 2x F 1 (x) =, F 2 (x) =, F 3 (x) =. 5 32 22 x−2x+x x(+ 1x+ 1)(x+x+ 1)

Exercice 18En effectuant des divisions euclidiennes successives, dÉterminer la dÉcomposition en ÉlÉments simples surR de 5 4 2 x+x−x F(x) =. 2 3 (x+x+ 1)

Exercice 19DÉcomposer en ÉlÉments simples surRles fractions rationnelles suivantes :

2 x F 1 (x) =, 4 x+ 1

1 F 2 (x) =. 6 x+ 1

Exercice 20DÉcomposer en ÉlÉments simples surCpuis surRla fraction rationnelle : 1 F(x) =. 3 x−1

P Exercice 21SoitF=une fraction rationnelle. On suppose quea∈Cest un pÔle simple deF, c’est À direP(a)6= 0et Q P(a) α 0 aest racine simple deQ. La dÉcomposition en ÉlÉments simples deFs’Écrit :F= +. . .. Montrer queα= 0 , oÙQ x−a Q(a) dÉsigne le polynÔme dÉrivÉ deQ.

1 Exercice 22Pourn>1, on considÈre la fraction rationnelleF n (x) = n . x−1 1. DÉcomposerF n en Élements simples surC. 2. EndÉduire la dÉcomposition en ÉlÉments simples deF n surR. On distinguera les casnpair etnimpair.

2 x Exercice 23Pourα∈Ron poseF α (x) = 4 2 . DÉcomposerF α en ÉlÉments simples surR. On Étudiera x−2 cos(2α)x+1 π π sÉparÉment les casα∈Zetα∈/Z. 2 2

n X k Exercice 24SoitP=a k Xun polynÔme deR[X]de degrÉn∈N,n≥2, et admettantnracines rÉelles distinctes : k=0 α 1 < α 2 < ... < α n−1 < α n .

0 P(X) 1. Donnerla dÉcomposition en ÉlÉments simples de la fraction rationnelleF(X) =. On se servira du rÉsultat de P(X) l’exercice 21. 0200 2. EndÉrivantF, montrer que∀x∈R:P(x)−P(x)P(x)>0. (k) 3. Soitk∈ {0,1, . . . , n}. En utilisant le thÉorÈme de Rolle, montrer quePadmetn−kracines rÉelles distinctes. 2 a <a . 4. EndÉduire que∀k∈ {1, ..., n−1}:a k−1k+1 k