Université d'Orléans Département de Mathématiques

Description

Niveau: Supérieur, Master
Université d'Orléans Département de Mathématiques Master 1 – Semestre 1 Automne 2011 SMO1MA1 – Méthodes hilbertiennes et analyse de Fourier ( 1 Espaces de Hilbert Les espaces de Hilbert sont des espaces vectoriels réels ou complexes, de dimension finie ou infinie, dans lesquels on peut faire de la géométrie comme on a l'habitude de le faire dans l'espace euclidien Rn ou dans l'espace hermitien Cn. En particulier on peut décomposer leurs éléments dans des bases orthonormées. Sauf mention explicite, on considérera dorénavant indifféremment comme corps des scalaires R ou C, qu'on désignera par F. Attention à ne pas confondre la conjugaison ? dans C avec l'adhérence A en topologie. 1.1 Produit scalaire Définition 1.1. Un produit scalaire sur un espace vectoriel E est une application (x, y) 7? ?x, y? de E?E dans F telle que (a) ??1x1+?2x2, y? = ?1?x1, y?+?2?x2, y? pour tout x1, x2, y?E et pour tout ?1, ?2?F, (b) ?x, y? = ?y, x? pour tout x, y?E, (c) ?x, x? ≥ 0 pour tout x?E, (d) ?x, x? = 0 ?? x= 0. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

• espace préhilbertien


• espace de hilbert


• produit scalaire


• ?1 ?1


• habitude de le faire dans l'espace euclidien


• base hilbertienne


• fn


• dimension infinie

Sujets

• Espace préhilbertien
• Espace de Hilbert
• Produit scalaire
• Base de Hilbert

Informations

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Extrait

Université d’Orléans Département de Mathématiques

Master 1 – Semestre 1 Automne 2011

SMO1MA1 – Méthodes hilbertiennes et analyse de Fourier (www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/MHAF.html)

1 Espacesde Hilbert Les espaces de Hilbert sont des espaces vectoriels réels ou complexes, de dimension finie ou infinie, dans lesquels on peut faire de la géométrie comme on a l’habitude de le faire dans n n l’espace euclidienRou dans l’espace hermitienC. En particulier on peut décomposer leurs éléments dans des bases orthonormées. Sauf mention explicite, on considérera dorénavant indifféremment comme corps des scalairesR ouC, qu’on désignera parF. Attention à ne pas confondre la conjugaisonλdansCavec l’adhérenceAen topologie.

1.1 Produitscalaire Définition 1.1.Unproduit scalairesur un espace vectorielEest une application(x, y)7→ hx, yideE×EdansFtelle que (a)hλ 1 x 1 +λ 2 x 2 , yi=λ 1 hx 1 , yi+λ 2 hx 2 , yipour toutx 1 , x 2 , y∈Eet pour toutλ 1 , λ 2 ∈F, (b)hx, yi=hy, xipour toutx, y∈E, (c)hx, xi ≥0pour toutx∈E, (d)hx, xi= 0⇐⇒x= 0. Unespace préhilbertienest un espace vectoriel muni d’un produit scalaire. Remarque 1.2. •La condition(a)exprime la linéarité enxdehx, yi. •En combinant(a)et(b), on obtient hx, λ 1 y 1 +λ 2 y 2 i=λ 1 hx, y 1 i+λ 2 hx, y 2 ipour toutx, y 1 , y 2 ∈Eet pour toutλ 1 , λ 2 ∈F. •Dans le cas complexe, on parle parfois de produit scalairehermitien. Exemple 1.3. P n n •Produit scalaire surF:hx, yi=x j y j . j=1 P +∞ 2 •Produit scalaire surℓ(N):hx, yi=x j y j . j=0 R +∞ 2 •Produit scalaire surL(R):hf, gi=f(x)g(x)dx. −∞ R 2 •Produit scalaire surL(X,A, µ):hf, gi=f(x)g(x)dµ(x). X R b •Produit scalaire surC([a, b]):hf, gi=f(x)g(x)dx. a •Produits scalaires sur l’espaceP(R)des polynomes: P m∧n ◦ hp, qi=a j b j , j=0 P m∧n d ◦ hp, qi=p( )| x=0 q(x) =j!a j b j , dx j=0 R 1 P m,n 1 ◦ hp, qi=p(x)q(x)dx=a j b k , 0 j,k=0 j+k+1 P P m n j k sip(x) =a j xetq(x) =b k x. j=0k=0 Théorème 1.4(Inégalité de Cauchy–Schwarz).SoitEun espace préhilbertien. Alors 2 |hx, yi| ≤hx, xi hy, yi ∀x, y∈E .(1)