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Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques SCL5MT01 –Analyse fonctionnelle Automne 2006 Feuille 9 d'exercices Integrale de Lebesgue Sauf mention contraire, N sera toujours muni de la tribu discrete et de la mesure de comptage, et R (ou plus generalement Rn) de la tribu borelienne et de la mesure de Lebesgue. 1. Montrer que la fonction caracteristique de Q est integrable sur R et calculer son integrale. 2. Illustrer la construction de l'integrale de Lebesgue, en considerant successivement • les fonctions etagees positives, • les fonctions mesurables positives, • les fonctions integrables reelles, • les fonctions integrables complexes, sur les exemples suivants : (a) la mesure de comptage sur N , (b) la mesure de Dirac ?a sur un ensemble (non vide) X muni de la tribu discrete P(X) . 3. Soit ? une application mesurable entre deux espaces mesures (X,A, µ) et (Y,B, ?) . On supose que ? est la mesure image de µ par ? : ?(B) = µ ( ??1(B) ) pour tout B ? B . Soit g : Y ?? C une fonction ? – mesurable. Montrer que g est ? – integrable si et seulement si la fonction f = g ? ? : X ?? C est µ – integrable et qu'alors ∫ Y g d? = ∫ X f dµ .

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2 2. Pourla fonctionf(x) = (x1)e,´verierquf(0) =f(2)et que pourtant il n’existe pas 0 dectel quef(c) = 0e.llcooincteulraqnueteprapsorleidqiueE´.rpoxelhtedoRe`em Meˆmequestionpourg(x) =|x1|.
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