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Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

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7 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques SCL5MT01 –Analyse fonctionnelle Automne 2006 Page web: http : // I. Integrale de Riemann et integrales generalisees Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) PSfrag replacements Sommes de Darboux et de Riemann x f(x) ?0 = a ?n = b?j?j?1 ?j

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Universite d’Orleans Licence de Mathematiques
Faculte des Sciences SCL5MT01{Analyse fonctionnelle
Departement de Mathematiques Automne 2006
Page web:
http ://www.univ{orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF.html
I. Integrale de Riemann et integrales generalisees
Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826{1866)
Sommes de Darboux et de Riemann
f(x)
PSfrag replacements
x
= a j 1 j0 = bj n1. De nition de l’integrale de Riemann
a. Sommes de Darboux
Dans ce paragraphe, on considere
un intervalle [ a; b ] dans R
des subdivisions =f a = < < < < = bg de [ a; b ]0 1 n 1 n
des fonctions bornees f : [ a; b ] ! R
Sommes de Darboux superieures :
nP
S(f; ) = ( ) sup f(x)j j 1
j=1 x2[ ; ]j 1 j
S(f) = inf S(f; )

Sommes de Darboux inferieures :
nP
s(f; ) = ( ) inf f(x)j j 1
x2[ ; ]j 1 jj=1
s(f) = sup s(f; )

Lemme: On a toujours s(f) S(f).
Plus precisement, si et sont deux subdivisions de [ a; b ], alors s(f; ) S(f; )
De nition 1 (critere de Darboux):
f est integrable au sens de Riemann si s(f) = S(f)
Cela signi e que, 8 " > 0, il existe une subdivision telle que S(f; ) s(f; ) < "
k k kou encore qu’il existe une suite de subdivisions telles que S(f; ) s(f; ) ! 0
b. Sommes de Riemann
Dans ce paragraphe, on considere
un intervalle [ a; b ] dans R
des subdivisions de [ a; b ]
ou on se donne en plus des points intermediaires 2 [ ; ]j j 1 j
des fonctions quelconques f : [ a; b ] ! R
Sommes de Riemann :
nP
( f; ; ) = ( ) f( )j j 1 j
j=1
Comparaison avec les sommes de Darboux: s(f; ) ( f; ; ) S(f; )
De nition 2 (critere de Riemann):
f est integrable au sens de Riemann
si les sommes de Riemann ( f; ; ) possedent une limite,
lorsque le pas (ou la maille) jj = max ( ) des subdivisions tend vers 0j j 1
j
Plus precisement, f est integrable au sens de Riemann s’il existe ‘2 R tel que,
8 " > 0 , 9 > 0 tel que, pour toute subdivision pointee (; ) de pas jj < ,
on ait j ( f; ; ) ‘j < "Theoreme: Conditions equivalentes, pour une fonction f : [ a; b ] ! R
(1) f est bornee et veri e le critere de Darboux
(2) f veri e le critere de Riemann
Dans ce cas, s(f) = S(f) = ‘. Cette valeur commune est l’integrale de Riemann de f
Z Zb b
et on la note f(x) dx ou plus simplement f
a a
Remarques:
Les deux criteres ont leurs avantages et leurs desavantages respectifs.
Le critere de Riemann a un caractere lineaire et il s’etend aux fonctions complexes.
Z b
Par contre il necessite d’evaluer a priori l’integrale f(x) dx
a
et de considerer toutes les subdivisions pointees dont le pas tend vers 0.
Une fonction f : [ a; b ] ! C est integrable au sens de Riemann
() Re f et Im f sont integrables au sens de Riemann
Z Z Zb b b
Dans ce cas f(x) dx = Re f(x) dx + i Im f(x) dx
a a a
Les sommes de Riemann permettent d’evaluer certains comportements asymptotiques.
Z 2
dxPar exemple, l’approximation de l’integrale xX n 11 1par les sommes de Riemann jn 1+j=1 n
1 1 1conduit a l’identite ln 2 = lim + + : : : +n+1 n+2 2nn!+1
c. Fonctions integrables au sens de Riemann
Proposition: Les fonctions suivantes sont integrables au sens de Riemann
(i) les fonctions f : [ a; b ] ! R monotones (par morceaux)
(ii) les f : [ a; b ] ! C continues (par
Etant donne f : [ a; b ] ! R , considerons

f(x) si f(x) 0 f(x) si f(x) 0
f (x) = et f (x) =+
0 si f(x) 0 0 si f(x) 0
Alors f est Riemann{integrable () f et f sont Riemann{integrables+
Dans ce cas jfj est egalement Riemann{integrable
Attention: jfj Riemann{integrable ==) f Riemann{integrable
Si f; g : [ a; b ] ! R sont Riemann{integrables,
alors les fonctions suivantes sonttegrables :
f+g jf gj f+g jf gjf g , f_ g = maxf f; gg = + , f^ g = minf f; gg =
2 2 2 2
f Riemann{integrable sur [ a; b ]
=) ftegrable sur tout sous{intervalle [ ; ]
2. Proprietes de l’integrale de Riemann
a. Linearite
Z Z Zb b b
( f + g ) = f + g
a a aZ Z Zc b c
Relation de Chasles : f = f + f 8 a; b; c2 R
a a bb. Positivite
Z b
f 0 =) f 0
aZ Zb b
f g =) f g
a aZ b
m ( b a ) f M ( b a )
a
si m , resp. M est un minorant, resp. un majorant de f sur [ a; b ]
Z Zb b
f jfj
a a
c. Formule de la moyenne
Soit f : [ a; b ] ! R une fonction continue
Z b
1Alors 9 c2 [ a; b ] tel que f(c) = f(x) dxb a
a| {z }
moyenne de f sur [ a;b]
Remarque: Resultat faux pour les fonctions a valeurs complexes
d. Primitives
Theoreme: Soit f : [ a; b ] ! C une fonction Riemann{integrable
Z x
(i) F(x) = f(t) dt est une fonction continue sur [ a; b ]
a
(ii) Si f est continue au point x ,0
0alors F est derivable au point x avec F (x ) = f(x )0 0 0
Remarques:
La fonction F est en fait lipschitzienne
1 Si f est continue, alors F est de classe C
C’est la primitive de f qui s’annule en a
e. Integration par parties
Z Zb bx=b