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Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques MA5.01 –Topologie Automne 2006 Page web: http : // IV. Espaces de Banach et espaces de Hilbert, applications lineaires continues, exemples David Hilbert mathematicien allemand (1862–1943) Stefan Banach mathematicien polonais (1892–1945) 1. Generalites sur les espaces de Banach Definition : Un espace de Banach est un espace norme (E, ? . .?) qui est complet pour la distance d(x, y) = ?x? y ? Exemples : • R et C sont des espaces de Banach pour | . | (valeur absolue, respectivement module) • Rn et Cn sont des espaces de Banach pour les normes equivalentes ?x?p = { ( |x1|p + . . . + |xn|p ) 1 p si 1 ≤ p < +∞ max ( |x1| , . . . , |xn| ) si p = +∞ Plus generalement, un produit E = E1 ? E2 d'espaces de Banach est un espace de Banach, pour les normes equivalentes ?(x1, x2)?p = { ( ?x1? pE1 + ?x2? p E2 ) 1 p si 1 ≤ p < +∞ max ( ?x1?E1 , ?x2?E2 ) si p = +∞ • L'espace B(X) des fonctions bornees sur un ensemble quelconque X est de Banach pour la

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UniversitedOrleans FacultedesSciences DepartementdeMathematiques
LicencedeMathematiques MA5.01 – Topologie Automne 2006
Page web: http :/www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF.html
IV. Espaces de Banach et espaces de Hilbert, applicationslineairescontinues, exemples
David HilbertStefan Banach mathematicienallemandmathematicienpolonais (1862–1943) (1892–1945) 1.GeneralitessurlesespacesdeBanach De nition:neUacspe(pacenormehtsnusedeBenacaE,k. .kest complet pour) qui la distanced(x, y) =kxyk Exemples : RetCsont des espaces de Banach pour|.|(valeur absolue, respectivement module) n n RetCeesivquenalstesontdesespacesdeBnacaphuolrseonmr (1   p pp |x1|+. . .+|xn|si 1p <+kxkp=  max|x1|. . ,, .|xn|sip= +Plusgeneralement,unproduitE=E1E2d’espaces de Banach est un espace de Banach,pourlesnormesequivalentes (1   p pp kx1k+kx2ksi 1p <+E1E2 k(x1, x2)kp=   maxkx1kE1,kx2kE2sip= +L’espace B(Xsnmelbqeeuclnouqnsborneessuruneed)nofsoitceXest de Banach pour la norme (de la convergence uniforme) kfk= sup|f(x)| xX (Voir§4) L’espace C(Xetriquenceosmppaacctemunseusurnocsnoitfoestinc)dX est un espace de Banach pour la norme de la convergence uniforme.(C’est un sous–espace de Banach deB(X).) C([0,pas un espace de Banach pour la norme1]) n’est Z 1 kfk1=|f(x)|dx 0 P n j L’espace P([0,fonctions polynomiales1]) desf(x) =ajxsur [0,un1] n’est j=0 espace de Banach pour aucune norme Z 1 kfk= max|aj|,kfk+= sup|f(x)|,kfk1=|f(x)|dx x[0,1] 0
Proposition :spacUnemeenorEest de Banach si et seulement si, pour toute suite P +(xn)nNdansEocvnreeg,aleriencedelaskxnkdansRimplique la convergence n=0 P +delaseriexndansE(convergence normale). n=0
2.Espacesdedimension nie n Theoreme:Toutes les normes surRneetssontequival Corollaire : (a)Surunespacevectorieldedimension nie,touteslesnormessontequivalentes (b)Toutespacenormededimension nieestdeBanach (c)Dansunespacenormededimension nie, unepartieestcompactesietseulementsielleestalafoisfermeeetbornee. Theoreme(Riesz): Lesboulesfermeesdunespacenormededimensionin nienesontjamaiscompactes
3.Applicationslineairescontinues Theoreme:snoiuqenoCitid,levaesnt pouruneapplicationlineaireT:EF:sneonrtmreedseuxespace (a)Test continue (b)Test continue a l’origine (c)C0 ,xE,kT(x)kFCkxkE kT(x)kF (d) sup<+xEr{0} kxkE (e) sup kxkE1kT(x)kF<+(f) supkT(x)kF<+kxkE=1 Remarques : uminlesadescimum(,)f(,)eeagostnetnatsnossqlentuaeitd)s(aDecsn,sacC0 intervenantdans(c).OnobtientainsilanormedoperateurdeT. L’ensembleL(E, Fcoesireanlinsioedseunitnpalpcitad)seEdansFest un espace vectorielnormepour (l’addition :S+T)(x) =S(x) +T(x) : (la multiplication scalaireT)(x) = T(x) ronalepodemnourteraeetkTkL(E ,F),kTkEFou plus simplementk|Tk|,kTk ire vretauepreedonormLa kT(x)kF kTkL(E ,F)kxkE  kTSkL(E ,G) kTkL(F,G)kSkL(E ,F)  kIkL(E ,E)= 1  cideliuetatseroederpLarmnoerallaeuaveenergn dimE <+=eireantoilppaetuilnoitacT:EFest continue. F=de Banach⇒ L(E, FBanach) de De nition:SoitEunpaesveceorcturesmorlnieF=RouC. Le dual (topologique) deEest  l’espaceE=L(E,Fd)seeanesirrmfoliesrusstnoceuniE (i.e.desapplicationslineairescontinuesf:EF) . CestunespacedeBanachpourlanorme(doperateur) kfkE= sup|f(x)|= sup|f(x)|  kxkE1kxkE=1
4. Exemple:C(X) Cadre : Xsp=eactqieuocpmcameert C(X) = ensemble des fonctions continues surXlevaa(es)plexcumoeloselerurs Proposition :C(XcuniterbeBedecanaevah)eunstlgea (addition :f+g)(x) =f(x) +g(x) scalaire :[ multiplication(f)(x) = f(x) ] (multiplication :fg)(x) =f(x)g(x) nuti)etnatsnconctio(fone:1 norme (de la convergence uniforme):kfk+= supxX|f(x)|  kfgk+∞ kfk+∞ kgk+ k1k+= 1 C(X) est complet pourk. .k+TheoremedeWeierstrass: L’espace P([a, b]) des fonctions polynomiales est dense dans C([a, b]) Reductionaunintervalledereference(TD) lyPo1:ontirastonmeD)n(TDtsieeBnrseedˆnmo TDn()lovnoitunoitoC:2straemonD onemrastDsasWeierstrdeStoneorlliaeritno:3oC TheoremedeStoneWeierstrass: SoitAune partie non vide de C(X). Supposons que (i)AsenusuoglaerbedeC(steX) i.e. Aest stable par addition, mutiplication scalaire, et multiplication (ii)Aest autoadjointe i.e. fA=fA (iii)Ane s’annule nulle part i.e. xX,fAtelle quef(x)6= 0 (iv)AedespointsseparelXi.e. sixetysont deux points distincts deX, il existefAtelle quef(x)6=f(y) AlorsAest dense dans C(X). Remarques : iit(indosneo)ciapLustureanedecslraslee SiAcontient les fonctions constantes (ce qui est souvent le cas dans les applications), lacondition(iii)estsuperue etlacondition(i)sereduitalastabilitedeApar addition et par multiplication TheoremedAscoliArzela: SoitAune partie (non vide) de C(X). AlorsAest compacte si et seulement si (i)Ationicqu..eeinuetse xX,ε >0, >0,fA,yB(x, ),|f(x)f(y)|< ε (ii)Aest equibornee i.e. xX,C0,fA,|f(x)| C Remarques : usrnufiroemuiteestuicontinqel,etiunitnoacrlouepmmCoX: ε >0, >0,fA,x, yXavecd(x, y)< ,|f(x)f(y)|< ε A posteriori,Aeemofmrnretnobe:nitues sup sup|f(x)|<+fA xX