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Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques SCL5MT01 –Analyse fonctionnelle Automne 2006 Page web: http : // II. Initiation a l'integrale de Lebesgue Henri Lebesgue (1875–1941) PSfrag replacements Sommes de Lebesgue x a b An An,j ?j ?j?1 ?j f(x) n j 2n j?1 2n La theorie de Lebesgue s'elabore dans un cadre tres general. On commencera par con- siderer des ensembles X, Y, . . . tout a fait quelconques, puis on particularisera peu a peu le contexte au fil des paragraphes. Dans la pratique, on considerera deux cas modeles : • cas discret : X = N muni de la mesure de comptage • cas continu : X = Rn muni de la mesure de Lebesgue

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UniversitedOrleansLicencedeMathematiques FacultedesSciencesSCL5MT01Analysefonctionnelle DepartementdeMathematiquesAutomne2006 Page web: http : / www.univorleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF.html II. Initiation a l’integrale de Lebesgue

f ( x )
n
j 2 n j  1 2 n
 
a
Henri Lebesgue (1875–1941) Sommes de Lebesgue
A n
x b A n,j La theorie de Lebesgue s’elabore dans un cadre tres general. On commencera par con-sidererdesensembles X , Y , . . . tout a fait quelconques, puis on particularisera peu a peu lecontexteau ldesparagraphes.Danslapratique,onconsidereradeuxcasmodeles:  cas discret : X = N muni de la mesure de comptage  cas continu : X = R n muni de la mesure de Lebesgue

1. Tribus De nition : Soit X un ensemble quelconque Une tribu (ou  algebre ) sur X est une famille A de parties de X telle que (i) ∅ ∈ A (ii) A eststableparpassageaucomplementaire: A ∈ A = X r A ∈ A (iii) A eststableparreunionsauplusdenombrables: A 1 , A 2 , . . . ∈ A = A 1 A 2 . . . ∈ A Un espace mesurable ( X, A ) est un ensemble X muni d’une tribu A Remarques :  Graˆcea(ii),onpeutremplacer(i)par (i’) X ∈ A  Grˆacea(ii),onpeutremplacer(iii)par (iii’) A eststableparintersectionsauplusdenombrables: A 1 , A 2 , . . . ∈ A = A 1 A 2 . . . ∈ A A, B ∈ A = A r B ∈ A Dans A ,toutereunionauplusdenombrable A 1 A 2 . . . peut s’ecrire comme reunion disjointe B 1 t B 2 t . . . Exemples :  Toute tribu A sur X estcompriseentrelesdeuxtribusextreˆmessuivantes:  la tribugrossiere { ∅ , X }  la tribu discrete P ( X )  Saufmentioncontraire,onconsiderera  la tribu discrete P ( N ) dans le cas X = N  la tribuborelienne B ( R n ) dans le cas X = R n (voir ci–dessous) De nition – proposition : Soit E une famille de parties d’un ensemble X . L’intersection de toutes les tribus sur X qui contiennent E est encore une tribu sur X . C’est la plus petite tribu sur X contenant E . On l’appelle la tribu engendree par E et on la note T ( E ) . Remarque : Ilestsouventdicilededecrirelatribu T ( E ) engendree par une famille donnee E de parties de X .Adefaut,onutiliselesdeuxproprietessuivantes,qui caracterisent T ( E ) :  T ( E ) est une tribu contenant E . En d’autres termes,  T ( E ) contient E , et X  T ( E )eststableparpassageaucomplementaire  T ( E )eststableparreunionsetintersectionsauplusdenombrables  Si A est une tribu contenant E , alors A contient T ( E ) Exemple 1 : Soit ( X, d )unespacemetrique. La tribuborelienne B ( X ) est la tribu sur X engendreeparlesouvertsde X . C’est aussi la tribu engendree par les fermes de X . Si d est la distance discrete sur X , alors B ( X ) est la tribu discrete P ( X ) La tribu borelienne B ( R )estengendreeparlesfamillessuivantesdepartiesde R : les ouverts de R les fermes de R les intervalles ] a, b [ les intervalles [ a, b ]


les intervalles [ a, b [ les intervalles ] a, b ] les intervalles ] a, + [ les intervalles [ a, + [ les intervalles ]  ∞ , b [ les intervalles ]  ∞ , b ] La tribu borelienne B ( R 2 )estengendreeparlesfamillessuivantesdepartiesde R 2 :  lesouverts,resp.lesfermesde R 2  lesdisquesouverts,resp.fermesde R 2  les produits I  J d’intervalles (ouverts,fermesoumixtes;delongueur nieouin nie) Idem en dimension superieure Exemple 2 : Soient ( X, A ) et ( Y, B ) deux espaces mesurables La tribu produit A  B est la tribu sur X  Y engendree par les produits A  B avec A ∈ A et B ∈ B  B ( R 2 ) = B ( R ) B ( R )  Idem en dimension superieure Pourterminer,voicilesdeuxmanieresdetransfererdestribusaumoyendapplications. De nition – proposition : Soit f : X  → Y une application entre deux ensembles (i) Tribuimagereciproque : Soit B une tribu sur Y . Alors f  B = { A  X | ∃ B ∈ B t.q. A = f  1 ( B ) } est une tribu sur X . (ii) Tribu image directe : Soit A une tribu sur X . Alors f  A = { B  Y | f  1 ( B ) ∈ A } est une tribu sur Y . Remarque : A premiere vue, B = { f ( A ) | A ∈ A } est un candidat plus simple pour de nirlimagedirecte.Maisilnesagitpasdunetribusur Y engeneral.

2. Mesurabilite Lanotiondemesurabiliteenintegrationestanaloguealanotiondecontinuiteentopolo-gie. Rappel : Une application f : X  → Y entredeuxespacesmetriquesest continue U ouvert dans Y , f  1 ( U ) est ouvert dans X . De nition : Soient ( X, A ) et ( Y, B ) deux espaces mesurables. Une application f : X  → Y est mesurable B ∈ B , f  1 ( B ) ∈ A . Remarque : La mesurabilite de f se traduit par les inclusions suivantes de tribus : f est mesurable ⇐⇒ f  BAf  A  B . Exemple : Unefonctioncaracteristique1l A est mesurable si et seulement si A ∈ A . Onconsidereici1l A comme une application de X dans R , muni de la tribu borelienne. Lemme : Supposons que la tribu B est engendree par une famille E de parties de Y . Alors f est mesurable E ∈ E , f  1 ( E ) ∈ A . Corollaire : Lesconditionsuivantessontequivalentes,pourunefonction f : X  → R ( X etantmunidunetribu A et R de la tribu borelienne ) : f est mesurable U ouvert  R , f  1 ( U ) ∈ A F ferme  R , f  1 ( F ) ∈ A ∀ ∞ < a < b < + , f  1 ( ] a, b [ ) ∈ A ∀ ∞ < a  b < + , f  1 ( [ a, b ] ) ∈ A ∀ ∞ < a < b < + , f  1 ( [ a, b [ ) ∈ A ∀ ∞ < a < b < + , f  1 ( ] a, b ] ) ∈ A a R , f  1 ( ] a, + [ ) ∈ A a R , f  1 ( [ a, + [ ) ∈ A b R , f  1 ( ]  ∞ , b [ ) ∈ A b R , f  1 ( ]  ∞ , b ] ) ∈ A Corollaire : Soit f : X  → Y uneapplicationcontinueentredeuxespacesmetriques. Alors f est borelienne i.e. mesurable pour les tribus boreliennes sur X et sur Y . Remarque : Lesoperationssuivantespreserventlamesurabilite Composition : Soient f : X  → Y et g : Y  → Z des applications mesurables. Alors l’application composee g  f : X  → Z est mesurable. Addition, multiplication, division : Soient f : X  → C et g : X  → C des fonctions mesurables. Alors la somme f + g et le produit f g sont mesurables. Demeˆmepourlequotient fg ,aconditionqueledenominateurnesannulepas. f : X  → C est mesurable ⇐⇒ Re f : X  → R et Im f : X  → R sont mesurables  f : X  → R est mesurable ⇐⇒ f + : X  [ 0 + [ et f  : X  → [ 0 + [ sont mesurables f : X  → C mesurable = ⇒ | f | : X  → [ 0 + [ mesurable Attention : La reciproque est fausse


On suppose toujours que l’espace de depart X est muni d’une tribu A . En ce qui concerne l’espace d’arrivee, on considere parfois la droite reelle completee R = [ , + ] , dontonprecisequelquesproprietes:  La relation d’ordre total se prolonge a R . Toute partie non vide possede une borne superieure et une borne inferieure (quipeuventˆetre ∞ ) . La convergence d’une suite ( x n ) vers ∞ s’entend au sens usuel, par exemple x n + R R , N N , n  N , x n > R .  La tribu borelienne sur R est constituee des boreliens A de R , ainsiquedesreunions A ∪ { + ∞} , A ∪ { ∞} , A ∪ { ∞ , + ∞} .  Attentionauxoperationsalgebriques,quiperdentunepartiedeleursensdans R , par exemple (+ ) + ( ) , 0  ( ∞ ) n’ont aucun sens Proposition : Soit f n : X  → R une suite de fonctions mesurables. Alors sup f n , inf f n , lim sup f n , lim inf f n sont mesurables. Proposition : Toute limite simple de fonctions mesurables est mesurable. Plusprecisement,soit( f n ) une suite de fonctions a valeurs dans R , R ou C , qui converge simplement vers une fonction f . Alors f est mesurable. De nition – proposition : Une fonction f : X  → R ou C est etagee sielleveri elesconditionsequivalentessuivantes:  f est mesurable et f neprendquunnombre nidevaleurs  f = P nie j 1l A j avec A j ∈ A et j R ou C Ecriture canonique agee : f = P n =1 j 1l A j , ou 1 , . . . , n sontldesudni eeforenncttieosnvaelteursprisespar j f et A j = f  1 ( { j } ) . Lemme de Lebesgue : Soit f : X  → R ou C une fonction mesurable. Alors f est limite simple d’une suite de fonctions etagees f n : X  → R ou C . De plus, si f est positive, on peut supposer que f n % f si f est bornee, on peut supposer que la convergence f n f est uniforme Corollaire : Lesconditionssuivantessontequivalentes,pourunefonction f : X  → R ou C f est mesurable f est limite simple d’une suite de fonctions etagees f n : X  → R ou C