Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques SCL5MT01 –Analyse fonctionnelle Automne 2006 Feuille 11 d'exercices Integrales multiples, changements de variables Sauf mention contraire, N (ou N2 ) sera toujours muni de la tribu discrete et de la mesure de comptage, et R (ou plus generalement R2, R3, . . . ) de la tribu borelienne et de la mesure de Lebesgue. 1. Soient (X,A, µ) et (Y,B, ?) deux espaces mesures ? – finis. Montrer que ∫ X?Y (f ? g) d(µ? ?) = ( ∫ X f dµ ) ( ∫ Y g d? ) dans les deux cas suivants : (a) f : X ?? [ 0, +∞ [ et g : Y ?? [ 0, +∞ [ sont des fonctions mesurables, (b) f : X ?? C et g : Y ?? C sont des fonctions integrables. Rappelons que f ? g designe la fonction (x, y) 7?? f(x) g(y) sur X ? Y . 2. Soit (xm,n)(m,n)?N2 une suite a deux indices dans [ 0, +∞ ] . Montrer que ∑+∞ m=0 ∑+∞ n=0 xm,n = ∑+∞ n=0 ∑+∞ m=0 xm,n (a) en utilisant le theoreme de Beppo–Levi (plus precisement l'

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Extrait

NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

Analyse:Feuilleder´eponsesduTP11 Limitesetcontinuit´e

. .

Onr´epondraauxquestionspos´eesdanslesespacespre´vusetonremettracettefeuille der´eponsesenfindeTPa`l’enseignantcharge´duTP.

Exercice 1.:lan´santtiliEnunfie´dalednoitagee:itimalelndioit ∀ε >0∃δ >0|x−a|< δ⇒ |f(x)−L|< ε, montrer que la limite lim x→3 (2x−ealegs1´n)e’tsap  2x−1 six6= 3 `a6.End´eduirequelafonctionf(x) =n’est pas continue enx= 3. 6 six= 3

3x Exercice 2.:onMertr(fieinitnovaceal´dε−δ) que lim x→5 (4−ae`uvreeptrvoerrtsullite5=) 5 l’aide d’un dessin comme celui du cours.

1

Exercice 3.:Soitfarepinfie´dnoitcnofal  2 x−4 six6= 2 x−2 f(x) = Lsix= 2 Quelestledomainedede´finitiondef. Choisir la valeur deLde telle sorte quefsoit continue sur son domaine. Tracer son graphe.

Exercice 4.:Esquisser les graphes des fonctions suivantes. Sont-elles continues? Sinon, indiquer si, auxpointsdediscontinuit´e,ellessontcontinues`adroite,`agauche...   1   −xsix <0  six <−1 x x−1 six <3 2 f 1 (x) =f 2 (x0) =1 si≤x≤1f 3 (x) =xsi−1≤x≤1 5−xsix≥3   1 xsix >1 2 six >1 x

2

Exercice5.:th´eor`emedupointfixe 1.Tracerlegraphed’unefonctioncontinued´efiniesurl’intervalle[0,[e0avlltnrelsi’sdanleur`ava1],1] etindiquersurledessinou`sontsespointsfixes.

2.Tenterdedessinera`pre´sentlegraphed’unefonctionfde [0,1] dans [0,1] n’ayant aucun point fixe. Quel est l’obstacle?

3.Utiliserleth´eor`emedesvaleursinterm´ediairesappliqu´e`alafonctiong(x) =f(x)−xpour montrer qu’une fonction continue de [0,1] dans [0,a]´n1asricese.sniomunptuenemeafixntoi

3

Exercice 6.seunnIiduqreelodededinmaioitfin´ecnofsedniussnoitesetvantrerqmontelss’ulenoitnoct surleurdomaineenlesexplicitantaumoyendefonctionsusuellesetd’ope´rations: 2 f 1 (x) = lnx+ 25−x

3 2 f 2 (x) = (x+x+ 1) 2

1 f 3 (x)) = exp( x+1

Exercice 7.ellavret[ma’irlneinl’degeoisnnotcreim´dtePaquefrchaa, b] et le comparer avec [f(a), f(b)] : g 1 (x) = sinx, [a, b] = [0,2π]

 x−1 g 2 (x) = 5−x

six <3 , [a, b] = [1,4]. six≥3

 1 six6= 0 x g 3 (x, [) =a, b] = [−1,2]. 0 six= 0

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