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Universite d'Orleans Licence de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite MA 6.06 Mesure et Probabilites Corrige de l'examen du 26 juin 2003 duree 2h Exercice 1 1. On sait que la connaissance d'un developpement limite en 0 de la fonction caracteristique d'une loi permet d'en determiner les moments. La fonction caracteristique de la loi normale N (0, 1) est ?(t) = exp(?t2/2). On a le developpement limite en 0 : ?(t) = 1 + (?t2/2) + (?t 2/2)2 2 + o(t 2) = 1? t 2 2 + t4 8 + o(t 4). Comme ? est C∞, on a aussi ?(t) = ?(0) + ? ?(0) 1! t+ ???(0) 2! t 2 + ? ???(0) 3! t 3 + ? ????(0) 4! t 4. Par identification, on a en particulier ?????(0)4! = 18 . Mais d'autre part, on sait que le moment d'ordre 4 de X est donne par ?????(0) = i4EX4, d'ou EX4 = ?????(0) = 4!8 = 248 = 3. 2.

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Module MA5

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Matrices et applications linéaires

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Universited’Orleans
UniteMA6.06
MesureetProbabilites Corrigedel’examendu26juin2003 duree2h
LicencedeMathematiques
Exercice 1 1.Onsaitquelaconnaissanced’undeveloppementlimiteen0delafonction caracteristiqued’uneloipermetd’endeterminerlesmoments.Lafonction 2 caracteristiquedelaloinormaleN(0,1) estφ(t) = exp(−t /2). On a le developpementlimiteen0: 2 22 4 (−t /2)t t 2 2 4 φ(t) = 1 + (−t /2) ++o(t) = 1−+ +o(t). 2 28 ∞ CommeφestC, on a aussi 0 00000 0000 φ(0)φ(0)φ(0)φ(0) 2 34 φ(t) =φ(0) +t+t+t+t . 1! 2!3! 4! 0000 φ(0) 1 Par identication, on a en particulier= .Mais d’autre part, on 4! 8 00004 4 sait que le moment d’ordre 4 deXrapenontdesφ(0) =iEX,d’ou 400004! 24 EX=φ= =3.(0) = 8 8 4 23 4 2. (1+X) =1 + 4X+ 6X+ 4X+XtieeralrnioD.apcnEX= 1+ 4.0 + 6.1 + 4.0 + 1.3 = 10. (Les moments d’ordre impair deXsont nuls car sa loiestcentree). 3. CommeXsuit la loi normaleN(0,1) , 1+Xsuit la loi normaleN(1,1). 4 4.Lesvariablesaleatoires(X)utenmrneelaiotaseritsuevediaaresbl n n≥1fo independantessuivantlaloiimagedelaloiN(1,1) par l’applicationx7→ 4 xunevmed’riequatnaeciusslepauvuqna.OiloaviualtnairaselbN(1,1) etaitintegrable,demoment10.D’apreslaloifortedesgrandsnombres,la suite 4 4 X+∙ ∙ ∙+X 1n n convergedoncpresquesˆurementvers10.
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