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Universite d'Orleans Licence de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite MA 6.06 Mesure et Probabilites Corrige de l'examen du 26 juin 2003 duree 2h Exercice 1 1. On sait que la connaissance d'un developpement limite en 0 de la fonction caracteristique d'une loi permet d'en determiner les moments. La fonction caracteristique de la loi normale N (0, 1) est ?(t) = exp(?t2/2). On a le developpement limite en 0 : ?(t) = 1 + (?t2/2) + (?t 2/2)2 2 + o(t 2) = 1? t 2 2 + t4 8 + o(t 4). Comme ? est C∞, on a aussi ?(t) = ?(0) + ? ?(0) 1! t+ ???(0) 2! t 2 + ? ???(0) 3! t 3 + ? ????(0) 4! t 4. Par identification, on a en particulier ?????(0)4! = 18 . Mais d'autre part, on sait que le moment d'ordre 4 de X est donne par ?????(0) = i4EX4, d'ou EX4 = ?????(0) = 4!8 = 248 = 3. 2.

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