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Universite d'Orleans Licence de Mathematiques

5 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite L6MT02 Integration, Fourier, Probabilites correction de l'examen du 28 juin 2007 Exercice I Posons Yn = X3n. Comme les (Xn)n≥1 sont independantes, les (Yn)n≥1 le sont aussi. Elles suivent toutes la meme loi, a savoir la loi image de la loi uniforme sur [0; 2] par l'application x 7? x3. On a |Yn| ≤ 2, donc les (Yn)n≥1 admettent des moments de tous ordres. D'apres le theoreme de transfert, on a EY1 = EX31 = ∫ [0;2] 1 2x 3 dx = 2 4 2.4 = 2. Les (Yn)n≥1 forment une suite de variables aleatoires independantes identi- quement distribuees admettant un moment d'ordre 1 : d'apres la loi forte des grands nombres, Sn/n converge donc vers EY1 = 2. Par ailleurs, les (Yn)n≥1 forment une suite de variables aleatoires independantes identiquement distribuees admettant un moment d'ordre 2 : d'apres la loi forte des grands nombres, (Sn ? nEY1)/ √n = (Sn ? 2n)/ √n converge donc vers N (0,Var Y1). Il n'y a plus qu'a calculer sa valeur exacte : Var Y1 = EY 21 ? (EY1)2 = EX61 ? 4.

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Universit´edOrl´eans
Unite´L6MT02
Inte´gration,Fourier,Probabilite´s
LicencedeMath´ematiques
correction de l’examen du 28 juin 2007 Exercice I 3 Poso .Comme les (Xnepetnadtnos´dni),les(esY) lesont nsYn=Xn nn1n n1 aussi.Ellessuiventtouteslamˆemeloi,a`savoirlaloiimagedelaloiuniforme 3 sur [0;2] par l’applicationx7→x. On a|Yn| ≤2, donc les (Yn)n1admettent des moments de tous ordres. Dapr`esleth´eor`emedetransfert,ona Z 4 1 2 3 3 EX EY1=1=x dx= =2. 2 2.4 [0;2] Les (Yn)n1ntdesiteanndpe´edniseriotae´laseevariablnesuitedofmrneut-i quementdistribu´eesadmettantunmomentdordre1:dapre`slaloifortedes grands nombres,Sn/nconverge donc versEY1= 2. Par ailleurs, les (Yn)n1foenrmnetuitsuvedeairaselbe´laepdndne´eristaiosante identiquementdistribue´esadmettantunmomentdordre2:dapr`eslaloiforte √ √ des grands nombres, (SnnEY1)/ n= (Sn2n)/ nconverge donc vers 2 N(0,VarY1asavlurexecaelrulusqyapcalcu`anlI.):VtearY1=EY1 2 6 (E Y1) =EX14. Dapr`esleth´eor`emedetransfert,ona Z 7 6 1 22 6 6 EX=x dx= =. 1 2 2.7 7 [0;2] Finalement 6 4 2 24(167) 36 VarY1=4 = 4(1) ==. 7 77 7 Exercice II 1.Xine prend que les valeurs 1 et1 donc|Xi|.Etantborn´ee,=1Xiest 1 1 biensuˆrinte´grable.EXi= (1)P(Xi= 1)+(1)P(Xi=1) == 0. Si 2 2 2 i=j, on aEX=E1 = 1. Sii6=j,XietXjabrivaestdonsseriotae´lasel i ind´ependantesadmettanttoutesdeuxunmomentdordreun,doncleur
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