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Universite d'Orleans Licence de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite L6MT02 Integration, Fourier, Probabilites correction de l'examen du 24 mai 2007 Exercice I Si une variable aleatoire X est a valeurs dans N?, alors on a 1 = +∞∑ n=1 P (X = n), soit dans ce cas precis 1 = ? +∞∑ n=1 1 n6 . Ainsi, seule la valeur ? = ?(6) ?1 peut convenir. Par ailleurs, si l'on pose m = ∑+∞n=1 ?(6)?1 1n6 ?n, il est facile de voir que m est une loi de probabilite telle que toute variable aleatoire X avec PX = m verifie la condition donnee. X? est positive : avec le theoreme de transfert, on a EX6 = +∞∑ n=1 n6P(X = n) +∞∑ n=1 ?(6)?1 1n6?? . C'est une serie de Riemann qui converge si et seulement si 6?? > 1, soit ? < 5. Exercice II 1. (a) Pour x ? [0, 1[, on a ? log(1? x) = +∞∑ n=1 xn n = x+ +∞∑ n=2 xn n ≤ x+ +∞∑ n=2 xn 2 ≤ x+ 12 x2 1? x 1 Tournez la page S.

  • universite d'orleans licence de mathematiques

  • critere special des series alternees

  • dx ≥


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1
=
=
+X n x n n=1 +n X x x+ n n=2 +n X x x+ 2 n=2 2 1x x+ 2 1x
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