Universite de Nancy I Master

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Examen du 7 janvier 2008 Partie I 1. EkX1 = 1Pk(X = 1) + (?1)Pk(X = ?1) + (?2)Pk(X = ?2) = 1?1?23 = ? 23 . EkX21 = 12Pk(X = 1) + (?1)2Pk(X = ?1) + (?2)2Pk(X = 2) = 1+1+43 = 2. Var X1 = EkX21 ? (EkX1)2 = 2 ? 49 = 149 . Comme les (Xn)n≥1 on toutes la meme loi, on a pour tout n ≥ 1, EkXn = ? 23 et Var Xn = 149 . En revanche EkX0 = k et Var X0 = 0. Par linearite, EkSn = k ? 23n. Comme Sn est une somme de variables aleatoires independantes, Var Sn est la somme des variances, donc Var Sn = 149 n. 2. Comme (Xn)n≥0 est a valeurs dans Z, (Sn)n≥0 est aussi a valeurs dans Z, et par suite (Yn)n≥0 egalement. Par definition de T , on sait que Sn > 0 pour n < T . Si T = +∞, alors on a pour tout n, n < T et ST?n = Sn > 0 ≥ ?1.

• limite de variables aleatoires


• variable aleatoire


• chaıne de markov de matrice de passage


• somme des variances


• racine evidente de l'equation


• ?k ≥


• sn ?


• var sn

Sujets

• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 17

Extrait

UniversitedeNancyI

ProbabilitesetModelisationStochastique

Examen du 7 janvier 2008 Partie I k kk k 112 2 1.EX 1 = 1P(X= 1) + (1)P(X=1) + (2)P(X==2) =. 3 3 k2 2k2k2k 1+1+4 EX= 1P(X= 1) + (1)P(X=1) + (2)P(X= 2) == 2. 1 3 k2k 142 4 ( .Comme les (X) n1 on toutes la VarX 1 =EX 1 EX 1 2) == 9 n 9 k 2 14 mˆemeloi,onapourtoutn1,EX n =et VarX n En revanche= . 3 9 k k 2 EX 0 =ket VarX 0 ,eliar.P=0trieanES n =kn. CommeS n est 3 unesommedevariablesaleatoiresindependantes,VarS n est la somme des 14 variances, donc VarS n =n. 9 2. Comme(X n ) n0 sansdurlevaatseZ, (S n ) n0 ansursdvaleisaatsuseZ, et par suite (Y n ) n0 deontinieemtnageldeP.raT, on sait queS n >0 pour n < T. SiT= +∞, alors on a pour toutn,n < TetS T∧n =S n >0 1. Supposons doncTni. Comme (S n ) n0 valasetruop,as,onereentieurs n < T,S n 1. CommeS T =S T1 +X T et queX T  2, on a alors S T 1 + (2) 1. Finalement,S n  1 pour toutnT. Cependant, T∧nT, donc on a bienS T∧n  (ereuqqec,1hevuiacontredemY n ) n0 prend ses valeurs dans [1,+∞[∩Z. 3. – Sin < T, alorsY n =S n etS n >0d,o’u|Y n |=Y n = max(S n ,0). – Sinon,on anT(ce qui implique queTest ni) etY n =S T eniardnoitP dutempsd’arrˆet,onaS T 0. FinalementY n =S T ∈Z∩[1,+∞[∩] ∞,0] ={1; 0}. Il est facile de voir que dans les deux cas, on a bien|Y n | 1 + max(S n ,0). 4. Parconstruction, la suite (S n ) n0 llaaeetapadste(noitartF n ) n0 . Comme  T(eetseletpmds’entreedelasuitS n ) n0 elrniesnadobelR,Test bien un tempsd’arreˆtadapteealaltration(F n ) n0 . 5.Montronsd’abordlapremiereegalite: – SiTn, alorsT <+∞et l’on a (n+ 1)∧T=n∧T=Td,o’uY n+1 Y n = S T S T = 0 =11 {T >n} X n+1 . – SinT >, alorsTnd’o+1,(un+ 1)∧T=nedm;emˆe1+n∧T=n. AinsiY n+1 Y n =S n+1 S n =X n+1 =11 {T >n} X n+1 . Dans les deux cas, on a bienY n+1 Y n =11 {T >n} X n+1 . Maintenant, il sut de montrer que{Y n >0}={nT >}. SinT >, on a Y n =X n etX k >0 pour toutkn, doncY n >e.R0is,tnemeuqorpicTn, Test ni et pour toutkT,Y k =S k∧T =S T 0. En particulierY n 0. On a donc bien{Y n >0}={T >n}.evuc,achequiapreevel 6. n n X X Y n =k+ (Y n Y 0 ) =k+ (Y k Y k1 ) =k+11 {T >i1} X i k=1k=1 CommeTmetn’dspˆrradatetapaleltatira(esotnuF n ) n0 vel’,tnemene {iT >1}estF i1 baelavircnalteodble,sura-me11reealoiat {T >i1} estF i1 - mesurable. Comme la suite (F n ) n0 11est croissante pour l’inclusion, {T >i1} estF n -mesurable. FinalementY n est une somme de produits d’applications F n -mesurables, doncY n estF n -mesurable, ce qui montre que la suite (Y n ) n0 estadapteealaltration(F n ). CommeY n estF n -mesurable, on a k kk E[Y n+1 |F n ]Y n =E[Y n+1 |F n ]E[Y n |F n ] k =E[(Y n+1 Y n )|F n ]

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