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Publié par | thieg |
Nombre de lectures | 29 |
Langue | Français |
Extrait
Universit´e de Nice Ann´ee 2007-2008
D´epartement de Math´ematiques Licence MI/SM 1e ann´ee
Analyse : notes du cours 12
Approximations quadratiques et formule de Taylor
On a vu lors du premier cours que pour une fonction d´erivable x 7→ f(x), l’approximation lin´eaire
x7→L(x) au voisinage d’un point x , qui s’´ecrit0
0L(x)=f(x )+(x−x )f (x ),0 0 0
etdontlegrapheestladroitetangente,fournituneapproximationsouventutiledelafonctionauvoisinage
de ce point. C’est ce qu’on appelle l’approximation de la fonction au premier ordre. Ce cours est consacr´e
a` l’´etude d’approximations d’ordre sup´erieur, notamment d’ordre deux qu’on appelle des approximations
quadratiques.
1. Approximations quadratiques
D´efinition : Soit x7→f(x) une fonction d´efinie au voisinage d’un point x , c’est-`a-dire sur un intervalle0
ouvert contenant x , qui soit deux fois d´erivable. On appelle approximation quadratique de f au point x0 0
la fonction x7→ Q(x) suivante :
10 2
Q(x)=f(x )+(x−x )f (x )+ (x−x ) f”(x ).0 0 0 0 0
2
On notera que Q(x) est un polynˆome de degr´e 2 en x dont le graphe est donc une parabole, convexe si
f”(x )≥ 0 et concave si f”(x )≤ 0.0 0
Par exemple, les approximations lin´eaire et quadratique de la fonction cos(x) au point x=0se
0calculent de la fa¸con suivante : comme (cos(x)) = −sin(x) et (cos(x))” = −cos(x), on a f(x)=0
0cos(0) = 1, f (x )=−sin(0) = 0 et f”(x )=−cos(0) =−1. Donc L(x) = 1 (pas de terme de degr´e 1 en0 0
1 2x)etQ(x)=1− x . La figure ci-dessous montre les graphes du cosinus et de ses deux approximationsL2
et Q. On constate que la parabole graphe de Q est tangente au cosinus, comme sa droite tangente, mais
qu’elle fournit une bien meilleure approximation.
1.5
1.0
0.5
0.0
−3 −2 −1 0 1 2 3
−0.5
−1.0
−1.5
Fig. 1 – Graphes de la fonction cos(x) et de ses deux approximations lin´eaire L(x) et quadratique Q(x)
au voisinage du point x=0.
Comment mesurer de fa¸con pr´ecise la qualit´e de l’approximation et que signifie l’affirmation que
l’approximation de f par Q est meilleure que par celle par L? Nous allons utiliser pour cela une notation
tr`es utile, not´ee ε(x−x ) et dite “epsilon de x moins x ” qu’on peut rappocher des fonctions o et O de0 0
Landau.
Le math´ematicien Edmund Landau (1877-1938) est en effet rest´e c´el`ebre pour avoir popularis´e les
symboles o (dit petit o)etO (dit grand O) qui sont des fonctions ayant des comportements limite
particuliers que l’on peut d´efinir de la fa¸con suivante :
D´efinition : On d´esigne par ε(x− x ) toute fonction f d´efinie au voisinage de x et qui v´erifie0 0
lim f(x) = 0. On aura donc toujours lim ε(x−x ) = 0. De mani`ere analogue, on d´esignex−→x x−→x 00 0
f(x)
par o(x−x ) toute fonction f d´efinie au voisinage de x et qui v´erifie lim = 0. On aura donc0 0 x−→x0 x−x0
1o(x−x )0toujours lim = 0. Enfin un O(x−x ) est une fonction qui reste born´ee lorsque x tend versx−→x 00 x−x0
x . Ainsi par exemple la fonction x7→ sin(x−1) est un ε(x−1) (et aussi un O(x−1)) mais on verra0
sin(x−1)
que ce n’est pas un o(x−1) car lim =1=0.x→1 x−1
2. Formules de Taylor `a l’ordre 2
Lors du premier cours on a vu qu’une fa¸con de mesurer la qualit´e de l’approximation d’une fonction
f(x)−L(x)
f par sa lin´earis´ee L est d’´ecrire que lim = 0. Cela revient a` dire que l’´ecart f(x)−L(x)x−x0 x−x0
entre la fonction et sa lin´earis´ee est un o(x−x ), ce que l’on pr´ef`erera´ecrire ici en disant qu’il existe un0
ε(x−x ) tel que0
f(x)−L(x)=(x−x )ε(x−x ).0 0
On a de mani`ere analogue le r´esultat suivant :
Proposition 1 Si x 7→ f(x) est une fonction deux fois d´erivable, d´efinie au voisinage d’un point x ,0
alors il existe une fonction ε(x−x ) telle que0
10 2 2f(x)−Q(x)=f(x)− f(x )+(x−x )f (x )+ (x−x ) f”(x ) =(x−x ) ε(x−x ). (1)0 0 0 0 0 0 0
2
Preuve : La preuve de ce r´esultat part du th´eor`eme fondamental de l’analyse qui permet d’´ecrire une
fonction comme la primitive de sa d´eriv´ee :
Z x
0f(x)=f(x )+ f (t)dt.0
x0
Rx 0 0 0On r´e´ecrit cette ´egalit´e f(x)=f(x )+ (x−t) f (t)dt (en remarquant que (x−t) = 1). Puis on fait0 x0
une int´egration par partie :
Z Z Zx x x
x0 0 0 0(x−t) f (t)dt=[−(x−t)f (t)] − −(x−t)f”(t)dt=(x−x )f (x )+ (x−t)f”(t)dt.0 0x0
x0 x0 x0
Il reste alors a` montrer que cette derni`ere int´egrale v´erifie :
Z x
1 2 2(x−t)f”(t)dt = (x−x ) f”(x )+(x−x ) ε(x−x ).0 0 0 0
2x0
Pour cela on remplace f”(t) par f”(x )+f”(t)−f”(x ):0 0
Z Z Zx x x
(x−t)f”(t)dt = (x−t)f”(x )dt+ (x−t)(f”(t)−f”(x ))dt.0 0
x0 x0 x0
1La premi`ereint´egraleest´egalea` (x−x )f”(x ) et, pour la seconde, on poseM(x) = Sup (f”(t)−0 0 x ≤t≤x02
f”(x )). Cette borne sup´erieure est bien atteinte puisque t7→ f”(t)−f”(x ) est continue et l’intervalle0 0
[x ,x] ferm´e et born´e. Comme x−t>0 pour tout t dans cet intervalle, on a0
Z Zx x 2(x−x )0
(x−t)(f”(t)−f”(x ))dt<M(x) (x−t)dt =M(x) .0
2x x0 0
Il suffit alors de v´erifier que l’on a bien lim M(x) = 0, ce qui d´ecoule de la continuit´e de f”. 2x→x0
D´efinition: Laformule(1)s’appellelaformuledeTaylora`l’ordre2.Ilexisteplusieursfa¸consd’exprimer
le reste de Taylor (´ecart entre la fonction et son approximation quadratique), en voici deux autres :
Formule de Taylor-Lagrange, a` l’ordre 2
31 (x−x )00 2f(x)=f(x )+(x−x )f (x )+ (x−x ) f”(x )+ f”(c) (2)0 0 0 0 0
2 3!
o`u c∈]x,x [six<x et c∈]x ,x[ sinon.0 0 0
Formule de Taylor avec reste int´egral, a` l’ordre 2
Z x
1 10 2 2 0f(x)=f(x )+(x−x )f (x )+ (x−x ) f”(x )+ (x−x ) f” (t)dt. (3)0 0 0 0 0 0
2 2x0
2
6On a donn´e ici les diverses versions de la formule de Taylor a` l’ordre 2. Chacune d’elles peut-ˆetre
g´en´eralis´ee a` l’ordre 3, 4, ..n pourvu que la fonction f consid´er´ee poss`ede des d´eriv´ees continues jusqu’`a
l’ordre 3, 4, ...n. Voici la formule de Taylor g´en´erale (pour une fonction poss´edant des d´eriv´ees `a tout
ordre) lorsqu’on exprime le reste a` l’aide d’un ε(x−x ) comme dans la proposition :0
Proposition 2 Si x7→f(x) est une fonction ind´efiniment d´erivable, d´efinie au voisinage d’un point x ,0
alors pour tout n≥ 1 il existe une ε(x−x ) telle que0
n(x−x )00 (n) nf(x)=f(x )+(x−x )f (x )+...+ f (x )+(x−x ) ε(x−x ) (4)0 0 0 0 0 0
n !
(n)o`u f (x) est une notation pour la d´eriv´ee n-i`eme de f. A noter que la fonction P (x)=f(x )+(x−n 0
n(x−x )0 0 (n)x )f (x )+...+ f (x ) est un polynˆ ome de degr´e n que l’on appelle le polynˆome de Taylor de0 0 0n !
f au point x . Les polynˆ omes de Taylor d’ordre 1 et 2 sont respectivement l’approximation lin´eaire et0
l’approximation quadratique de la fonction.
Exemple : Voici par exemple le calcul des polynˆomes de Taylor de la fonction x7→ sin(x) d’ordre 1 `a 7
en x = 0 et une figure repr´esantantles graphes de ces polynˆomes ainsi que celui de la fonction elle-mˆeme.
n n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7
(n)f (x) sin(x) cos(x) −sin(x) −cos(x) sin(x) cos(x) −sin(x) −cos(x)
(n)f (x ) 0 1 0 −1 0 1 0 −10
(n)f (x )0 n 1 3 1 5 1 7(x−x ) 0 x 0 − x 0 x 0 − x0n ! 3! 5! 7!
On d´eduit du tableau que
P (x)=P (x)=x1 2
3xP (x)=P (x)=x−3 4 6
3 5x xP (x)=P (x)=x− +5 6 6 120
3 5 7x x xP (x)=x− + − .7 6 120 5040
3
2
1
0
−6 −4 −2 0 2 4 6 8
−1
−2
−3
Fig. 2 – Graphes de la fonction sin(x) et de ses polynˆomes de Taylor d’ordre 1, 3 et 5 au point x=0.A
priori les approximations fournies par les polynˆomes de Taylor ne sont que des approximations locales en
ce sens qu’elles ne sont valables que lorsque x tend vers x . Mais sur cette figure on voit clairement que0
l’intervalle sur lequel un polynˆome de Taylor colle a` la fonction va en grandissant avec n.
3. D´eveloppements limit´es
D´efinition : On dit qu’une fonction f poss`ede un d´eveloppement limit´e au voisinage d’un point x si0
pour tout x appartenant a` un voisinage de x on a l’´egalit´e0
nf(x)=P (x)+(x−x ) ε(x−x )n 0 0
3o`u P (x) est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n. Pour une fonction n fois d´erivable, len
d´eveloppement de Taylor fournit un d´eveloppement limit´e. On s’assure facilement qu’une fonction ne
peut pas avoir deux d´eveloppements limit´es diff´erents. Lorsqu’elle poss`ede un d´eveloppement de Taylor,
celui est donc son d´eveloppement limit´e unique.
Exemple: Onutiliselesd´eveloppementslimit´espourtoutesortedecalculs,pourleverdesind´eterminations
dans le calcul de limites, pour calculer des primitives, trouver le signe d’une quantit´e, etc... Par exemple,
la limite suivante est ind´etermin´ee (puisque le num´erateur et le d´enominateurs tendent l’un et l’autre
vers 0). On la calcule pourtant facilement :
3 13 3 x ( +ε(x))sin(x)−x (x−x /3+x ε(x))−x 16lim = lim = lim = lim x( +ε(x)) = 0.
2 2 2x→0 x→0 x→0 x→0x x x 6
Les d´eveloppements limit´es peuvent s’aditionner, se multiplier, se diviser, se composer, ...les r`egles
xde calcul d´ecoulent des r`egles d