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Universit´edeNiceAnn´ee2011-2012 D´epartementdeMath´ematiquesSyst`emesDynamiques Cours1:IntroductionauxEquationsdie´rentiellesendimension1 Lorsquonsint´eresse`amode´liserunequantite´qui´evolueaucoursdutempsetquilestnaturelde postulerunerelationentrecettequantit´eetsade´rive´e,onproposeune´eertneillequationdi´e. C’est l’exemple le plus simple deysydeme`tsquenamie,llre´eientoitaidnenutuqe´ricisnovuseciqe.alloNous dans le cas unidimentionel pour commencer, et comment on peut les etudier.
1De´nitionsetpremiersexemples Conside´ronsunequantit´ey(tatulopepnccon,iooitartneusenudn()atdnulielbstance,...)qui´veloeu 0 aucoursdutempsetsade´riv´eey(t)etsixeee´vire´d.elednnbaiaossertettequecosersuppl()qsroliu Supposonsquonsoitconduita`postulerunerelationentrecettequantit´eetsade´riv´eedelaforme dy(t) =f(t, y(t)) dt 1 pour une fonctionferC.ile`eralteetticuparontitues´eneedupremierordrednoie´itnerlleiatquet la r´esolutiondunetellee´quationconsiste`atrouvertouteslesfonctionsy(t) inconnues qui satisfont cette ´equation. Exemple :Lelponentiedoe`elxemi,rter,`ae´sertudimentae´opruere´rpposolaeroicr´eprntseenunassdec populationparThomasMalthusen1798.Ilsupposequelapopulationposse`deuntauxdereproductionr constant,simpledi´erencedutauxdenatalite´etdutauxdemortalit´e(lapopulationestsuppose´eisole´e cest-a`-direquaucunemigrationnestenvisage´e).Siy(tnttansialn`iopapolutaialldelesignelat)d´etet y(t+δt)y(t) 0 0 y(te´vire´das)uleforme,lay(t) =ry(t) signifie que le taux de croissanceentre les instantst δt ett+δtestpropor`lennoitay(tquuttourcoeecelste)t´enaliedrpeitnitnopororne varie pas au cours rt dutemps.Onpeutre´soudrecettee´quation:sasolutionestdonn´eepary(t) =y(0)e`ouyd)e´isnge0( latailledelapopulationa`linstantt= 0 qu’on appellecondition initialedomeC.rrocele`dondpoes`anc unecroissance exponentiellede la population lorsquer >uso`noonemdd0lientnempo`eexoldesouvent utilise´a`laplacedeisnetluhlemaod`emnoqsN.toelisonentielsanceexpce´dsiordissenuagsauiriluutpe r´ngetaf.iets 0 Anoterquele´quationdi´erentielley(t) =ry(tnietd´eafonparloitcn)sef(y) =ryqui est une rt fonctionline´aire.Lensembledesessolutionss´ecrit{y(t) =y(0)e,y(0)R}et comporte donc une innit´edesolutionsdie´rentes,autantquedevaleurspossiblespourlacondition initialey(0). Exemple :Li´deeduelelogismod`uqite, introduit par Verhulst en 1836, est la suivante. Si la population pouvaitcroıˆtreinde´niment,sansrencontreraucunelimitationderessourceoudespace,elleauraitune croissance exponentielleoitauqsnpxualupooelnnusiaM.assiorcexponnceeelleentiptsanse´teedapa observeleplussouvent`alexceptionpeut-ˆetredunepe´riodeinitialeo`ulatailledelapopulationest encore petite, car elle ne tient pas compte des limitations environnementales qui, de fait, ralentissent la croissance lorsqu’on s’approche de la taillenormalede la population qu’on appelle sait´eapacceuqitoib y t Kcelampredeeed´ilu`oD.notsnatlrteuacxrpar un taux variabler(1aiatedellenepelddq)´diu K la population. Ce coefficient 1ocheteprorsqde1latlieualalopeledlapuontittesesr`itepc,etsere K quiexpliqueled´ebutdecroissanceexonentielle,puisildiminuejusqu`atendrevers0lorsquelataillede y(t) 0 lapopulationaugmenteettendverslacapacite´biotique.Le´quationlogistiqueesty(t) =ry(t)(1). K En fait le coefficientr(1y/Kalere)e´rptnespsnoeridneocqieubiotit´eapacelacpdtra`aleibchaque instantt. Plus cette part s’amenuise et plus la croissance se ralentit. y(t)y 0 L’´eigtselolqieuonti´dienereltiauq,y(t) =ry(t)(1ontincfoe´dtse)alrapeinf(y) =ry(1) K K y(0)K 2 quiestunpolynoˆmededegre´deux.Lensembledesessolutionss´ecrit{y(t) =rt,y(0)y(0)+(Ky(0))e R}enaa.Ily´t.eninnuiesuis 10 Lese´quationsdie´rentiellesdu2eordrefontintervenirnonseulementlafonctionyeev´ri´edasteydae´sssieeir´vauisma 00 secondeyreordosn´sedqeutalteinla`uqsujnoitcnfoladees´eiverd´lrseevintnrenoitfordren.   2dy ty t1 L´equationpeutsere´e´crire=ry(t) 1os,epti´r´etueserceir dy(t) =rdtMais comme on a dt K y(t) y(t) 1K 1 1 dy(t) dy(t)y(t) 1 1K Kste le´galit´e=+,l´equationdevient+=rdtt,angr´entni,oe`dunly(t)ln(1) =rt+C N y(t) K y(1)y1y(t) K K1K ste y t rt C soit encore en prenant l’exponentielle=e eciledev´.Ilestfalecanotsreireuqnidetnaitarge´ticutvaoni y t 1K   y(0)K y(0)K ste C= ln.Dapr`o`u,mpliessitacsnoisal,tulonioy(t.) = rt Ky(0)y(0)+e(Ky(0))
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dy(t) Exemple :´elatquorLuesq=formeeestdelaertneilloidnie´a(t)y(t) +b(tu`o,)a(t) etb(t) sont dt desfonctionsdonne´es,onditquel´equationdie´rentielleest´eairenildsmudoe`elxeopentneil.Cestleca pour lequela(t) =retb(t) = 0 (aetbconstansesntai)mosedtnnofsoitcd`eldumoeetscsnecesaapls logistique.Les´equationslin´eairespeuventˆetremenetxelpciti´esoluesrderietueprce´eqironut-es-d`a,c fa¸conexplicitelensembledeleurssolutions(quelonappelleencoreoliotsuael´gnre´nela). Tout d’abord, Rt a(t)dt sib(t) = 0,y(t) =y(0)eelare´nerol,tnemuesq.Plusg´b(t)6= 0, on doit d’abord rechercher une 0 solutionparticulie`red´elnoteraeuq,nolauqenoity(t),lasonee´arelulitno´grslotaanivcr´esRt a(t)dt ∗ ∗ y(t) =y(t) + (y(0)y(0))e . 0
2t02t Parexemple,onpeutve´rierquey(t) =tenionesoestuednoitultauqe´ly= 2y+e´ddeiuerenet 2t2t quelasolutiong´en´eraledecettee´quationse´crity(t) =y(0)e+te. Audeladese´quationslin´eaires,ilyaunpetitnombredautres´equationsdi´erentiellesquipeuvent ˆetrere´soluesexplicitement.Mais,leplussouvent,lese´quationsdie´rentiellesquelonestamen´e`autiliser nepeuventpasˆetrer´esoluesexplicitement.Onaalorsrecoursaucalculapproch´e,nousverronscomment plusloin,oubiena`le´tudequalitativedessolutions,principalementcentre´esurl´etudedese´quilibresde le´quationetdeleurstabilite´.
2Etudequalitative:e´quilibreetstabilit´edese´quilibres Laprincipalecaracte´ristiquedumod`elelogistiquequenousavonse´tudie´estquilpr´esenteune´quilibre attractifoseuqleuocrueltiumsdonti,qle`eoduoetnettosullsserslevetendquelitin(elatidninoiufsasi y(0)=0!).Orlexistencede´quilibresetleursproprie´te´s(parexemplelefaitquelesautressolutions tendentverslui)sontdes´el´ementsquelonpeutsouventd´eduiredirectementdel´equationdi´erentielle, meˆmesilonnesaitpascalculerexplicitementsessolutions.Cestl´etudedugraphedelafonctionf(une droite dans le cas exponentiel et une parabole du cas logistique) qui permet de le faire. D´enition:id´itnoitlerenePourequaune´foladeleerm dy(t) =f(y(t)),(1) dt ∗ ∗ onappelle´equilibreo´uetat stationnaireune valeur constanteyiseuqelleatlyede´natuiqty(0) =y alorsy(t) =ypour touttl(qait´euanterbqe´iliue`alrest)´nU.steencdouieqbrlioicnnotsnuselotuante del´equationdi´erentielle.Unetellesolutionan´ecessairementunede´riv´eenulle,cest-`a-direquelona ∗ ∗ f(y) = 0; en d’autres termesyest aussiuzne´orde la fonctionf. Ainsidanslemode`leexponentielo`uf(y) =ryibilqu´ere,liaynuesluyet=0omelsnadele`d ∗ ∗ logistiqueo`uf(y) =ry(1), il y en a deux,y= 0 ety=K. K Dansunmode`ledetype(1),ilyaautantd´equilibresdie´rentsquilyadez´erosdi´erentsdela fonctionfO.pnliseisuaoncveutduqlibierdsle´qerlesdi´erents´ergelehpaaledtiuaenona¸trntca fonctionfostnrbsesbicelas.Leuilis´eqtcesretnargudnoispdeesssisdntoiuizontal(qaexohirhpaeevlc est ici l’axe desyzonthorinaxeursores,lasiivuseredaledame´hcsnu,latemeutnophraerepE.)gect dynamique:ilsutdemettreune`echedanslesensdesysantroislessssurtndsgeemex`oleaucf >0 (cest-`a-direo`ulegraphedefestaudessusdelaexe)uten`ceehadsedsneselsnyce´dsleurssntsaisro segmentsdelaxeo`uf <ec`rlaiutuerpmalseulnydaqimame´hledantsapeetesueutscescfois.Par0 uner´esolutiondel´equation(qui,detoutefa¸con,estbiensouventimpossible). ∗ 0De´nition:´nqeiuilrbeOnditquuypour lequelle on af(y)<0utsee´nquilibre stablecar dans ce cas le´volutiondetoutesolutiondontlaconditioninitialeestprochedel´equilibreyest de s’en rapprocher. ∗ 0Defa¸conanalogue,onditquun´equilibreypour lequelle on af(y)>e0seut´nquilibre instablecar danscecasle´volutiondetoutesolutiondontlaconditioninitialeestprochedel´equilibreyest de s’en ´eloigner. Onpeutv´erierenappliquantcecrite`requeluniquee´quilibredumod`eleexponentieleststable lorsquer <0 (extinction) et instable lorquer >opesnsupilome,semˆenoisdte)e(0olpxr >0, on peut v´erierquele´quilibrey=K(>estun´equilibresdoe`eloligtsqieutiioe)quoralslbatac(eicapbe´tmud)0 queynstabreible.seut0=iuil´nqe 0 ∗0 Lorsquef(ysspautpeeaprrd`toiiaarvenno,0=)filueountabl,insnnieq´ilselbatstseerbiliu l’autre.
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