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Universite de Nice Annee NOM Departement de Mathematiques LICENCE MP 2e annee Prenom

7 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice, Annee 2007-2008 NOM : . Departement de Mathematiques, LICENCE MP, 2e annee Prenom : . Probabilites Controle Continu Final - Session de Mai 2008 Mardi 20 mai 2007 13 :00 - 15 :00 Calculatrice autorisee. Document autorise : une feuille A4 (recto-verso) ecrite de votre main Exercice 1 ((5 points)) Soient X et Y deux v.a. de meme loi, de fonction de repartion FX et FY , avec FX (x) := 11+e?x . 1. Calculer la densite fX de X . fX(x) = 2. Montrer que fX(?x) = fX(x) ; en deduire E(X). E(X) = 3. On suppose que les v.a. sont couplees par la copule C(u, v) = uvu+v?uv . Calculer la fonction de repartition FZ du vecteur aleatoire Z := (X,Y ). FZ(x, y) =

  • normale d'esperance

  • estimateur au maximum de vraissemblance ?n de ? pour l'echantillon x1

  • t4 de la classe v4

  • densite fz du vecteur aleatoire

  • estimateur ?n


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Universit´edeNice,Anne´e2007-2008 D´epartementdeMathe´matiques,LICENCEMP,2eanne´e
NOM : Pre´nom:
Probabilite´s ControˆleContinuFinal-SessiondeMai2008 Mardi 20 mai 2007 13 :00 - 15 :00
. .
Calculatriceautoris´ee.Documentautoris´e:unefeuilleA4(recto-verso)e´critedevotremain
Exercice 1 ((5 points))SoientXetYuedontiaredofcnitnoed´rpexv.a.demˆemeloi,FXetFY, avec 1 FX(x) :=x. 1+e 1.Calculerladensit´efXdeX.
2. Montrer quefX(x) =fX(xd´enuieder);E(X).
fX(x) =
E(X) =
uv 3.Onsupposequelesv.a.sontcouple´esparlacopuleC(u, v) = . Calculer la fonction de u+vuv r´epartitionFZuvecdlae´etruertaioZ:= (X, Y).
FZ(x, y) =
4. Les v.a.XetYesind´epsont-ell?neadtnse
5.Calculerladensit´efZdree´laiotacevuruetZ.
fZ(x, y) =
θ Exercice 2 ((10 points))Soit (Xi)i=1,2,...et (Yi)i=1,2,...deux suites de v.a., avecXi= +σYiu`o,θ i etσsont des nombres positifs. 1. On suppose que les v.a.Yisontr´ntcede´r-seec(setiu-d`at-eseirE(Yi) = 0 etV ar(Yi)=re.D1)ete´nimr µi:=E(Xi),V ar(Xi) etσi:=V ar(Xi).
µi:=E(Xi) =
V ar(Xi) =
σi:=
V ar(Xi) =
2.Onsupposedore´navantquelesYisuivent une loi normale. Quelle est la loi deXi? Indiquer sa densite´fXi?
Xi
fXi(x) =
3. Montrer que la vraissemblanceLlitnnold´elhaecX1,. . .,Xnegalest´e`a nX 1 1 L(x1, . . . , xn, θ, σexp) = xi2 n (σ2π) 2σ i=1
4. Calculer la log-vraissemblanceldecetnollhce´itna
l(x1, . . . , xn, θ, σ) =
! 2 θ i
5. Pourx1, . . . , xn, σmaxierlerouv´estxmumθde la fonctionθ7→ϕ(θ) :=l(x1, . . . , xn, θ, σ) et P P n n 1x1 ve´rierqueθ,o`u=sn:= . i=1i sni=1i
θ(x1, . . . , xn) =
ˆ 6. Donner l’estimateur au maximum de vraissemblanceθndeθntnahollip´ceuolrX1, . . . , Xn.
ˆ θn=
ˆ ˆ 7. CalculerE(θn). L’estimateurθnt-ilbiais´e?es
ˆ 8. Calculer Var (θn)
ˆ E(θn) =
ˆ L’estimateurθn
ˆ Var (θn) =
biais´e.
2 ˆ ˆ 9. Calculerkθnθkuqleiuer´dde.nEreuatimsteθnconverge versθearno;ppleeluqlesae´ir L2 harmonique diverge : limn→∞sn= +
ˆ 2 k k= θnθL2
Exercice 3 (5 points)Peanuts 1. SoitUreriec;´py2etrt-e´ac00tencuen1e´eranoersmpav.lae.dUsous la formeU=a+bZu`o,Z + estunev.a.normalecentr´ee-re´duiteettrouverdeuxnombrezetztels que
+++ {U]uu , ]}={Z]zz , ]},o`uu= 101 etu= 103
U=
z=
+ 2.Alaidedelatablefourniecalculerprobabilit´ep:=P({U]uu , ]})
Soit (Uk)k=1..1000 V4=]101,103] ?
p:=P({U]101,103]}=
+ z=
un1000-e´chantillondeN(100,2etcltelese;)uqueiqthifor´et4de la classe
3.Quelestleectifthe´oriquet5de la classeV5=]103,+[ ?
t4=
t5=
4.Quelssontleseectifsthe´oriquest1ett2des classesV1=]
t1=
Quelestleectifth´eoriquet3de la classeV3=]99,101] ?
,97],V2=]97,99] ?
t2=
t3=
5.Undispositifestcon¸cupouremballerdescacaouettesenpaquetsde100g.Onsupposequele poids des paquets produits suivent une loiN(100,oduitsonaquetsprleseoasbre´vp0001ruS.)2 eectifssuivantspourcesmeˆmesclassesV1=],97],V2=]97,99],V3=]99,101],V4=]101,103], V5=]103,+[, les effectifs respectifs suivants : 73, 235, 391, 233, 68. 2 Au moyen d’un test duχttecretejeruoremronecld-intienviulauseese,oth`ehyp,coα?= 10%
Votre statistique :χ=
Il convient donc
lhypoth`ese
Loi Normale
:probabilite´queZN(0,`erua1)itsof´inieeru1+u2.
LoisduChi-deux:Leslignescorrespondentaunombrededegr´esdeliberte´,entre1et9.Chaque colonnecorrespond`aunemeˆmeprobabilit´edˆetresup´erieura`lavaleurindiqu´eedansletableau.