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UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS Faculte des Sciences L3 de Mathematiques Departement de Mathematiques Algebre et Geometrie

3 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2010/2011 Faculte des Sciences L3 de Mathematiques Departement de Mathematiques Algebre et Geometrie Examen. Duree 2 heures Documents, telephones portables, calculatrices sont interdits. Justifier toute reponse. A moins que l'enonce d'une question ne vous dise le contraire, vous pouvez uti- liser librement les resultats du cours sans les redemontrer. Ces resultats doivent etre citer correctement. Corrige : Exercice 2. 1. Donner une reduction de type Dunford ou Jordan de l'endomorphisme f ? L(R3) dont la matrice dans la base canonique est : A = ? ? ?2 1 0 0 ?1 1 0 0 ?1 ? ? . 2. Quel est le polynome minimal de A ? La decomposition de Dunford est ? ? ?2 1 0 0 ?1 1 0 0 ?1 ? ? = ? ? ?2 1 ?1 0 ?1 0 0 0 ?1 ? ?+ ? ? 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ? ? Dans la base e1, e1 + e2, e2 + e3 la matrice de f est A = ? ? ?2 0 0 0 ?1 1 0 0 ?1 ? ? . Le polynome minimal est (X + 1)2(X + 2) Exercice 1.

  • rotation de r2 d'angle pi

  • matrice hermitienne

  • faculte des sciences l3 de mathematiques departement de mathematiques algebre


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2010/2011 L3deMath´ematiques Alg`ebreetGe´ome´trie Examen.Dure´e2heures
Documents,t´ele´phonesportables,calculatricessontinterdits. ` Justiertouter´eponse.Amoinsquele´nonce´dunequestionnevousdiselecontraire,vouspouvezuti-liserlibrementlesre´sultatsducourssanslesrede´montrer.Cesr´esultatsdoiventeˆtrecitercorrectement. Corrige´:
Exercice 2. 3 1.Donnerunere´ductiondetypeDunfordouJordandelendomorphismef∈ L(R) dont la matrice dans la base canonique est :   02 1   A= 01 1. 0 01 2.QuelestlepolynˆomeminimaldeA? Lade´compositiondeDunfordest     2 102 10 11 0     0= 01 10 11 0+ 0 0 01 000 01 0 Dans la basee1,e1+e2,e2+e3la matrice defest   02 0   A= 01 1. 0 01 2 Lepolynˆomeminimalest(X(+ 1)X+ 2)
Exercice 1.SoitKun corps commutatif et soitEunK-espace vectoriel de dimension finie. 1.Compl´eterlenonc´esuivant: (De´compositiondeDunford.)Soitf∈ L(E)nyoˆemacartce´irdontlepol....................tseeuqits surK. Alors il existe un coupled∈ L(E),n∈ L(E)tel que (i)f=d+n (ii)dest ................... etnest ................... (iii)dn=∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙. De plus,destnolspˆoynsodentesemnfynˆospoltedeexisems.a`.li.dc,PetQdeK[X]tels que d=P(f)etn=Q(f). 0 00 2. (a)Soientn∈ L(E) etn∈ L(E) deux endomorphismes nilpotents deEtels quenn=nn. 0 Montrer quennest nilpotent. (Indice:formuledubinoˆme) 0 0 (b) Soientd∈ L(E) etd∈ L(E) deux endomorphismes diagonalisables deEtels quedd= 0 0 dd. Montrer queddest diagonalisable.
(c) Montrerque sig∈ L(E) est diagonalisable et nilpotent alorsg= 0. 0 0 (d)(Unicit´edelad´ecompositiondeDunford).Soitf=d+n=d+nsotioisn´exdmpcoeud 0 0 de Dunford defeuq)c(te)b(,)aduirede(.D´ed=detn=n, scind´e,diagonalisable,nilpotent,dn=nd. N0N SoitN= dimE. Alorsn= 0etn= 0et 2N  X 2N 02N2Ni i02Ni (nn) =(1)n(n) i i=o est nul puisque soitiNsoit2NiN 0 Parunre´sultatducoursonpeutdiagonaliserdetdxeuededcnereidalteesabˆemeslamdan matrices diagonales est une matrice diagonale. N NN g(λ On peut supposergdiagonale :g=Diag(λ1, . . . , λN). Alors0 =g=Dia1, . . . , λ).Do`uλi= 0 N pour touti. 0 00 0 Sid+n=d+nalorsdd=nn. En plus,dcommute avecfet aussi avecdemoˆnuqeitsnuopyl 0 0 enf. Doncdd=nnlbeeilasogandsaidoncntetpotetnillun).`rpac(seoiafalt`es
Exercice 2. 3 1.Donneruner´eductiondetypeDunfordouJordandelendomorphismef∈ L(R) dont la matrice dans la base canonique est :   02 1   A= 01 1. 0 01 2.QuelestlepolynˆomeminimaldeA? Lade´compositiondeDunfordest     02 12 11 00 1     01 1= 01 0+ 00 1 0 001 01 00 0 Dans la basee1,e1+e2,e2+e3la matrice defest   2 00   A= 01 1. 0 01 2 Lepolynˆomeminimalest(X(+ 1)X+ 2)
Exercice 3.onslamatonsid´erCirec   1 0i   A2 0= 0∈ M3(C). i0 1
1.R´epondre(sanscalcul)auxquestionssuivantes: Est-ce que les valeurs propres deA?sons´etrleel 1 Existe-t-il une matrice unitaireUtelle queU AU?est diagonale 2 2.Montrerquilexisteunematricehermitienned´eniepositiveRtelle queR=A. 2 3. Existe-t-ilune matrice hermitienneStelle queS=A?
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1. ”oui” et ”oui” puisqueAest hermitienne 2.Ilfautv´erierqueA.retsveyleSedert`riecitive.Onutiliselets´deinpeso 3. Non. Supposons par absurde qu’une telleSexiste. Les valeurs propres deA´rtneleeosmentsstricte n´egativesetcellesdeSe.saMsiopre´leeleurproprurunvectvdeSde valeur propreλR: 2 2 Av=S v=λ v L’absurde.
Exercice 4.naviussnoitisopoceertronemd´s,teesprrmilPaellesquisontvraieesdtnoenurcnnort exemple pour celles qui sont fausses. 1. SoitKun corps commutatif et soitEunK-espace vectoriel de dimension finie. SoitfGL(E) 1 un endomorphisme inversible. Alorsfynˆomeenestunpolfmeˆoynolnpeutsixeli.d.a`.c, 1 PK[X] tel quef=P(f). 2. SoitEun espace euclidien etf∈ L(E) tel que pour toutxEl’on ait hf(x)|xi= 0. Alorsfest nul. 3.Toutematricesyme´triquere´elledonttouslescoecientssontstrictementpositifsestd´enie positive. 4.Toutematriceorthogonaleettriangulairesupe´rieureestdiagonale. n n1 1. Oui. Soitχf(X) =X+a1x+∙ ∙ ∙+anynˆoepolractmecatsqie´lireuedf,an6= 0puisque0n’est pas une valeur propre def. Alors 1 n1n2 IE=f(f+a1f+∙ ∙ ∙a2). an 2 2. NON. Nous pouvons prendre comme exemple la rotation deRd’angleπ/2.   1 2 3.NON.Parexemple,dontlede´terminantestne´gative. 2 1 1t 4. OUI. SiAnagohortsoralleieureetoresup´eraignluiaetsrtAirttserialugna´eriesupeteureAest 1t t triangulaireinf´erieure.MaisA=A, doncAtiodˆetrediagonale.
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