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Universite de Nice Sophia Antipolis L3 Complements d'Analyse Semestre

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4 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice - Sophia Antipolis L3 - Complements d'Analyse Semestre 6 - 2011 La formule de Taylor avec reste integral & ses applications. I- La formule de Taylor avec reste integral. Ex 1. Si f : [a, b] ? R ou C est de classe Cn+1, n ? N, demontrer la formule de Taylor a l'ordre n: f(b) = f(a) + (b? a)f ?(a) + ...+ (b? a) n n! f (n)(a) + ∫ b a (b? t)n n! f (n+1)(t) dt = n ∑ k=0 (b? a)k k! f (k)(a) + ∫ b a (b ? t)n n! f (n+1)(t) dt. On procedera par recurrence et on utilisera l'integration par parties (suggestion : detailler le cas n = 1). Ex 2. Developpements limites et inegalites. 1) Justifier que pour x ≥ 0, on a l'encadrement x? x 2 2 ≤ ln(1 + x) ≤ x? x2 2 + x3 3 . Faire un dessin de x 7? ln(1 + x) et des deux polynomes sur un meme graphique : commentaires ? 2) Proposer un encadrement de la fonction sin sur R.

  • yn ?

  • methode des rectangles

  • classe c1

  • point fixe

  • expression de ∫

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  • l3 - complements d'analyse semestre

  • meme graphique


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L3Compl´ementsdAnalyse Semestre 6  2011
LaformuledeTayloravecresteinte´gral&sesapplications.
ILaformuledeTayloravecresteint´egral.
n+1 Ex 1.Sif: [a, b]RouCest de classeC,nNnort´dme,eTayuledformerlaerdrola`roln: Z n bn (ba) (bt) (n) (n+1) f(b) =f(a) + (ba)f(a) +...+f(a) +f(t)dt n!n! a nZ X k bn (ba) (bt) (k) (n+1) =f(a) +f(t)dt. k!n! a k=0 Onproc`ederaparr´ecurrenceetonutiliseralinte´grationparparties(suggestion:de´taillerlecasn= 1).
Ex2.D´eveloppementslimite´setin´egalit´es. 1)Justifier que pourx0, on a l’encadrement 2 23 x xx x− ≤ln(1 +x)x+. 2 23 Faire un dessin dex7→ln(1 +xmmcotaenesir?edsedte)uxpolynˆomessurumneˆemrgpaihuq:e 2)Proposer un encadrement de la fonction sin surR. n+1 3)Retrouver qu’une fonction de classeCau voisinage deadroerimilde´tamdteoppementund´evelnsixa. ∞ ∗(n) 4)Soitf∈ C(R) etaRudero´enzftel qu’il existenN´erivantf(a)6= 0 (on dit queatues´enzro d’ordre fini defque). Montrerfn’a, au voisinage deap,saduart.ore´ze
Ex 3.Lemme de division d’Hadamard. 1 1)Soitf:RRune fonction de classeCl’existence de. Montrerg:RRcontinue telle que, pourxR, f(x) =f(0) +xg(x). On utilisera la plus simple des formules de Taylor pour proposer une fonctiongenid´ennideuadi`elaetrenleraegt´ 0et1.Pre´ciserlavaleurdeg(0). n n1 2)a)On suppose en outrefde classeCsurR, avecn2. Justifieralors quegest de classeCsurR. Montrer f(x)f(0) alors que la fonctionx7→(x6aptnnocrnoloemegetdmprun)a=0caalss.ee´icessren0,etprtinuit´e x x b)Appliquer ceci aux fonctionsf(x) = sin(x), etf(x) =euiinedt´aelgnolnemerapttnocpeoruqlertreM.no x e1 fonctionx7→urssveemetcirtitisoptnessesd´eriv´eessaottuR. Essayerde le prouver directement... x c)Pour les deux fonctions dub)aunesuouvezssaied(edohte´mertocnnus,sdseicL2 ?)pour voir que le prolonge f(x)f(0) mentparcontinuit´edelafonctionx7→est de classeCsurR? x 2 3)a)Sifest de classeC, montrer l’existence deg:RRtelle que, pourxR, 2 f(x) =f(0) +xf(0) +x g(x). n Pre´ciserlaclassedeget sa valeur enx= 0.Sifest de classeC,n2, quelle est la classe deg? n+1 b)Pourfde classeC,nelaformulouravoirilarpres´g,1e´ne n x (n)n+1 f(x) =f(0) +xf(0) +...+f(0) +x g(x). n! ′ ′′ 4)ionncO`drenoisnotclefaf(x)xlnxsur ]0,+[. Dessinerf, et calculerf,fla formule de. Appliquer Taylor`afentre 1 etx1ee,etetceulrce`alordrselbnghaenemevtdiaart= 1+u(x.eertsad)1int´nslledeegra Proposer alors une fonctionφ:]0,+[Rtelle queφ >0 sur ]1,+[,φ <0 sur ]0,1[ et pourx >0,   2 f(x) =f(1) +φ(x). 1 Pr´eciserφ(1),φeerqunort´Dme1(.)φ:]0,+[Rest unC.meisphromoe´id1
Ex 4.Utilisations du lemme de division d’Hadamard. 2 1)ccansdaeanLalupseelde.ditsepomhM´sid`nconOeref: [1,+1]Rde classeCetmrnireounsto,e´eeditha le comportement lorsquen+de Z +1 2 nx Inf(x)edx. 1 Z 2 t a)En posantt=x n, donner le comportement deInlorsquefssaledeGauppraOn1.=rge´tnileuqelleedt R vautπ. 1 b)On suppose quef(x) =xg(x) avecgde classeCurpoestirqniteobrge´tnI.raprapresneceuadac,sIn=O(1/n). c)rlseemeldemevidie´gsre´nu,lailituelecaPourisnooprurpuoevqr   π1 In=f(0) +O. n n 2 2)iannoitatsesahpaeledodth´eM.eimplcassnsunredaerdie`ocsnnOf: [1,+1]Cde classeC, et on souhaite d´eterminerlecomportementlorsquen+de Z +1 2 inx Jnf(x)edx. 1 Z 2 it a)tnirge´rertleuqelsnMonedalreeFedtvnocee´silare´nelaceurPoe.ntgeertne´nuieetsnng´iemaedeRgral, R Z +sint 2 on pourra utiliser le changement de variabley=tenttirge´apreraprseitmepo(comurdtadmet). On t 0 iπ/4 quecetteinte´gralevautπe. b)Redtneme´evelopponnerunddaere,dtdsnacsceedc´teennsio´eprqseltseuerpeerdnJn.
IIFormulesdeTayloretapproximationnume´rique.
Ex5.Analysederreurpourlint´egrationnume´rique.On se donnef: [0,1]Rcontinue, et on souhaite Z 1 mesurerlerreurcommiselorsquelonapprochelinte´gralef(t)dtaplrrectedesthodam´e:ehcuaga`selgna 0 n1   X 1k nN,Rn(f)f . n n k=0 Z 1 On rappelle queRn(f)f(t)dtlorsquen+. Onpourra faire un dessin. Z 0 x 1 1)On supposefde classeCsur [0,1], et on noteF(x)f(t)dtpourx[0,1]. 0 a)Indiquer la classe deF. b)plApueiqafrlmuoredellyaTa`roFentrek/net (k+ 1)/n, pour 0kn´end.E1opruqeeuudrin1, Zn1Z 1 (k+1)/n  X k+ 1 f(t)dt− Rn(f) =t f(t)dt. n 0k/n k=0 c)Montrer alors que pour une constantec >pnoleuqresice´rnu0ueiqerm´aa,on Z 1 c f(t)dt− Rn(f)max|f|. n[0,1] 0 1 6 Avecf(x), quel entiernrpcoehlr(n)2a`01rpceh`o?issirpourap 1 +x 2 d)On supposefde classeC. Reprendreb)uaiqlantrmfoedulnelppar2pouol`rTeyadrerlaoF.Eeduirnd´e Zn1n1Z 1 (k+1)/n  X X2 1k1k+ 1 ′ ′′ f(t)dt− Rn(f) =f+t f(t)dt. 2 2n n2n 0k/n k=0k=0 Enidentiantlapremie`resommeaveclam´ethodedesrectangles`agauchepourf, justifier que sin+Z 1   1 1 f(t)dt− Rn(f) =f(1)f(0) +O. 2 2n n 0 2