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UNIVERSITE de NICE SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P ESD

7 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD Examen de Mathematiques Appliquees 2010–2011 Examen du Mardi 7 Decembre 2010 Duree : 2h Les documents, calculatrices,... ne sont pas autorises. 1

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´ UNIVERSITE de NICE – SOPHIA ANTIPOLIS UFR SCIENCES L3 MASS P/ESD
ExamendeMath´ematiquesAppliqu´ees20102011
ExamenduMardi7De´cembre2010
Dure´e:2h Lesdocuments,calculatrices,...nesontpasautoris´es.
1
Sujet A :
Exercice 1 : Ordonnancement Laconstructiondunemaisondemandelare´alisationdestaˆchesrepre´sente´esdanscetableau: CodeTaˆcheDure´eTaˆchesante´rieures (en semaine) ATravauxdema¸connerie7 B Charpenterie de la toiture 3 A C Toiture 1 B DInstallationsanitaireete´lectrique8A EFac¸ade2D,C FFenˆetres1D,C GAm´enagementdujardin1D,C H Travaux de plafonnage 3 F I Mise en peinture 2 H JEmme´nagement1E,G,I 1.1.R´ee´crirecetableausouslaformedungraphepond´er´e,encomple´tantlegraphesuivant:
1.2.Trouverlesdatesauplustˆotdechaquetaˆche,encomple´tantlegraphe. 1.3.Donnerladur´eetotaleminimaleduprojet. 1.4.Trouverlesdatesauplustarddechaquetˆache,encompl´etantlegraphe. 1.5.Trouverlestˆachescritiques. 1.6.Ladure´edelatˆacheDlees´eel´eeradureeL.la´u´evee´´talamrreereu.21etteCfnetdtia aura-t-elledescons´equencessurladur´eedelar´ealisationtotaleduprojet?Sioui,donnerla nouvelledure´etotaleminimaleduprojet.
Exercice 2 : Graphes Onjoueavecunjeudeloiequicomporte8casesnume´rot´eesde1`a8.Led´eapourvaleurs1 et3etled´epartsefaitsurlacase1;lorsquonarriveen8,onagagne´etonarreˆtedejouer, cest-`a-direquelonresteen8(ouquelonvade8en8...). 2.1.Faireungrapheou`lessommetssontlescasesdujeuetlesrelierparunarcsionpeut passerdunecasea`lautre.
2
2.2.Donnerlalistedessuccesseursetlalistedespr´ed´ecesseursdechaquesommet.Quelssont lesdegre´sentrantsetlesdegr´essortants?Compl´eterletableauci-dessous. Sommet 1 2 3 4 5 6 7 8 2.3.Compl´eterlamatricedadjacenceMsuivante de ce graphe.  
M=
.
2.4. Ce graphe admet-il une boucle ? Si oui, en quel sommet ? Admet-il un circuit ? Pourquoi ? 2.5.Faireunparcoursenlargeurdugraphe.Ende´duirelepluscourtcheminde1`a8,cest-`a-direladur´eedelapartielapluscourte(ennombredelancersdede´s).
3
3 2.6. On donne la matriceM: 0 0 0 30 M= 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
3 0 1 0 0 0 0 0
0 3 0 1 0 0 0 0
3 3 4 3 . 3 2 1 1
Quenousdonnelapremie`relignedecettematrice? 2.7.Donnerlalistedessommetsaccessiblesen2lancersdede´. 2.8.Donnerlalistedescheminspourallerde1`a7en4lancersdede´.
Exercice3:Re´solutiondesyst`emeslin´eaires   a b0 √ √   Onadmetquelede´terminantdelamatriceb a bvauta(ab2)(a+b2). 0b a On rappelle que 1.4<2<1.5.     32 05 2 1     Onconside`relesmatricessuivantes:A=2 32 etB3 1= 1 . 02 31 0 2 3.1.Est-cequelesme´thodesdeJacobietdeGauss-SeidelconvergentpourlamatriceB? Justiersoigneusementvotrere´ponse. 3.2.Est-cequelesm´ethodesdeJacobietdeGauss-SeidelconvergentpourlamatriceA? Justiersoigneusementvotrere´ponse. 3.3. Dans le cas de la matriceAlrreucelc,ladelatralspecayonaJedibocte´medoh. 3.4. Dans le cas de la matriceAdilce,l.aucaGsu-seSoentshpoedcetdreallerdleelraamy´ 3.5.Commenterlesr´esultatsdesdeuxquestionspr´ec´edentes.
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Sujet B :
Exercice 1 : Ordonnancement Laconstructiondunemaisondemandelare´alisationdestˆachesrepre´sent´eesdanscetableau: CodeTˆacheDure´eTaˆchesante´rieures (en semaine) ATravauxdemac¸onnerie7 B Charpenterie de la toiture 5 A C Toiture 2 B DInstallationsanitaireet´electrique8A EFenˆetres3D,C FFa¸cade2D,C GAm´enagementdujardin1D,C H Travaux de plafonnage 2 E I Mise en peinture 4 H JEmm´enagement1F,G,I 1.1.Re´´ecrirecetableausouslaformedungrapheponde´r´e,encompl´etantlegraphesuivant:
1.2.Trouverlesdatesauplustˆotdechaquetˆache,encompl´etantlegraphe. 1.3.Donnerladure´etotaleminimaleduprojet. 1.4.Trouverlesdatesauplustarddechaquetaˆche,encomple´tantlegraphe. 1.5.Trouverlestaˆchescritiques. 1.6.Ladur´eedelataˆcheHseetfniaree´leel.Ladur´eevalu´eee´la´e´tmaurreerteet.Ce5td aura-t-elledescons´equencessurladure´edelare´alisationtotaleduprojet?Sioui,donnerla nouvelledure´etotaleminimaleduprojet.
Exercice 2 : Graphes Onjoueavecunjeudeloiequicomporte9casesnume´rot´eesde1`a9.Lede´apourvaleurs1 et4etlede´partsefaitsurlacase1;lorsquonarriveen9,onagagne´etonarreˆtedejouer, cest-a`-direquelonresteen9(ouquelonvade9en9...). 2.1.Faireungrapheo`ulessommetssontlescasesdujeuetlesrelierparunarcsionpeut passerdunecasea`lautre,encomple´tantlegrapheci-dessous.
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