Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Charles Suquet

Description

Niveau: Elementaire
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées L3 Année 2011 Probabilités élémentaires Corrigé du D.S. du 22 mars 2011 Ex 1. Échauffement Sur un espace probabilisé p?,F , P q, on considère une suite pAnqn¥1 d'évènements de probabilité 1. Que peut-on dire de P pXn¥1Anq ? Cette probabilité vaut 1. En effet, en notant A : Xn¥1An, on a Ac ? nPN Acn, union dénombrable d'évènements. Par sous-?-additivité de P on en déduit : P pAcq ? ¸ nPN P pAcnq. Ce majorant est la somme d'une série dont tous les termes sont nuls (puisque P pAcnq 1 P pAnq 1 1 0). Il est donc lui aussi nul, d'où P pAcq ? 0 et comme une probabilité ne peut pas être strictement négative, P pAcq 0 d'où P pAq 1. Ex 2. La piscine Dans le vestiaire d'une piscine, chaque nageur range ses vêtements sur un cintre. Il le dépose au guichet où un employé équipe le cintre d'un bracelet rouge numéroté et remet au nageur un bracelet jaune portant le même numéro. Ainsi, à la fin de la séance, le nageur peut récupérer ses affaires en échange du bracelet. Avant l'ouverture au public, les bracelets sont rangés sur un tableau à N crochets supportant chacun un bracelet rouge et un jaune de même numéro.

• pn jq


• partielles consécutives


• pk lim


• pnpen


• permutations de v1


• bracelet rouge


• évènement élémentaire de bi1x xbij

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
L3 Année 2011
Probabilités élémentaires
Corrigé du D.S. du 22 mars 2011
Ex 1. Échauffement
Sur un espace probabilisé Ω,F,P , on considère une suite A d’évènements den n 1
probabilité 1. Que peut-on dire de P A ?n 1 n
Cette probabilité vaut 1. En effet, en notant A : A , on an 1 n
c cA A ,n
n N
union dénombrable d’évènements. Par sous-σ-additivité de P on en déduit :
c cP A P A .n
n N
cCe majorant est la somme d’une série dont tous les termes sont nuls (puisque P An
c1 P A 1 1 0). Il est donc lui aussi nul, d’où P A 0 et comme unen
cprobabilité ne peut pas être strictement négative, P A 0 d’où P A 1.
Ex 2. La piscine
Dans le vestiaire d’une piscine, chaque nageur range ses vêtements sur un cintre. Il le
dépose au guichet où un employé équipe le cintre d’un bracelet rouge numéroté et remet
au nageur un bracelet jaune portant le même numéro. Ainsi, à la fin de la séance, le
nageur peut récupérer ses affaires en échange du bracelet. Avant l’ouverture au public,
les bracelets sont rangés sur un tableau à N crochets supportant chacun un bracelet
rouge et un jaune de même numéro.
Deux gamins turbulents s’introduisent dans le vestiaire avant l’ouverture. En se bat-
tant ils renversent le tableau portant les bracelets. Ils les remettent en place en prenant
bien soin de placer sur chaque crochet un bracelet jaune et un rouge, mais sans tenir
compte des numéros.
Al’ouverture,N nageursseprésententetdevantl’affluence,l’employéremetàchacun
sonbraceletjaunesansprendreletempsdevérifierlesnuméros.Onseproposedecalculer
les probabilités des événements :
E exactement k nageurs retrouvent leurs affaires .N,k
?qqp?qppqppppqp?Pp?qq?tXqqq?pXu?PLille I U.F.R. Math.
On choisit comme espace probabilisé Ω ensemble des toutes les permutations (i.e.N
bijections) sur 1,...,N muni de l’équiprobabilité P . On notera :N
eB le i nageur retrouve ses affaires .i
1) Pourj N et 1 i i i N, calculonsP B B . Puisque1 2 j N i i1 j
P est l’équiprobabilité sur Ω ,N N
card B B card B Bi i i i1 j 1 j
P B B ,N i i1 j card Ω N!N
en rappelant que le nombre de permutations d’un ensemble à N éléments est N!. Le
problème se réduit donc au calcul de card B B .i i1 j
Essayons déjà d enous faire une idée sur un exemple numérique simple, disonsN 6,
j 3, i 2, i 4, i 5. Alors B B B est l’ensemble des permutations de1 2 3 2 4 5
1, 6 laissant invariants 2, 4 et 5. En voici la liste complète :
1 2 3 4 5 6
1 2 6 4 5 3
3 2 6 4 5 1
3 2 1 4 5 6
6 2 3 4 5 1
6 2 1 4 5 3
Notons que parmi ces permutations, certaines ont plus de 3 points fixes. Pour dénombrer
B B B , il suffit de remarquer qu’une permutation quelconque laissant 2, 4 et 52 4 5
invariants se construit sur le schéma suivant :
2 4 5
les case vides devant être complétées en « piochant » dans 1, 3, 6 . Il y a clairement
autant de façons de compléter ces cases qu’il y a de permutations de l’ensemble à 3
éléments 1, 3, 6 , c’est-à-dire 3! 6.
Généralisons.Unepermutationω évènementélémentairedeB B seconstruiti i1 j
en plaçant d’abord les j points fixes i ,...,i (soit ω i i pour 1 k j). Il reste1 j k k
alorsN j cases à compléter en piochant dans l’ensemble 1,N i ,...,i . Il y a donc1 j
autant d’éléments dans B B que de permutations de 1,N i ,...,i . Pari i 1 j1 j
conséquent,
N j !
card B B N j ! et P B B .i i N i i1 1j j N!
Notons que dans le cas particulier j N, on a nécessairement i k pour 1 k Nk
et on voit directement queB B ne contient qu’un seul élément la permutation1 N
identité. Donc P B B 1 N!, ce qui coïncide avec le cas j N dans laN 1 N
formule ci-dessus puisque 0! 1.
page 2 9
XqXqqpqXXq?pp?XXXXX?XpqXqXpqvXXv?ppXXvwXqpXuXtqupXtuXtu{utuX??X?wzt??X?wztpXqp{XLicence Probabilités Élémentaires 2011
1Pour j 1, la formule ci-dessus nous donne P B . Pour j 2, on voit que siN i N
i i ,1 2
N 2 ! 1 1
P B B P B P B .N i i N i N i1 2 1 2 2N! N N 1 N
Par conséquent les B ne sont pas 2 à 2 indépendants.i
On constate, comme on pouvait s’en douter, que P B B ne dépend queN i i1 j
de N et de j et pas des valeurs particulières des indices i ,...,i . Il est commode de1 j
réécrire ce résultat en notant J une partie de cardinal j 1 de 1,N et en posant :
D : B,J i
i J
sous la forme
N j !
P D , j cardD .N J J
N!
j
Comme il y a en tout C parties J de 1,N ayant pour cardinal j, on en déduit queN
pour 1 j N :
N j ! N! N j ! 1j
P B B P D C .N i i N J1 j N N! j! N j ! N! j!
i i i J 1,N1 2 j
cardJ j
2) L’évènementE «aucun nageur ne retrouve ses affaires», s’exprime facilementN,0
en fonction des B :i
N
cE B .N,0 i
i 1
Comme les B ne sont même pas 2 à 2 indépendants, il ne sont a fortiori pas mutuelle-i
ment indépendants et il en va de même pour les complémentaires. On ne peut donc pas
ccalculer P E comme le produit des P B .N N,0 N i
Les calculs faits à la question précédente nous incitent alors à passer à l’évènement
complémentaire B et à calculer la probabilité de cette réunion par la formule de1 i N i
1Poincaré .
Avec les notations D introduites ci-dessus, cette formule s’écrit :J
N N
j 1P B 1 P D ,i N J
i 1 j 1 J 1,N
cardJ j
d’où
N N N j1 1
j 1P E 1 P B 1 1 .N N,0 i
j! j!
i 1 j 1 j 0
11. Cette union n’est pas disjointe puisque P B B 0 interdit que B B neN i i i i1 2 1 2N N 1
soit vide. On ne peut donc pas utiliser ici l’additivité deP .N
page 3 9
?Xpq?vw?wwq???Xp??{qpY?qppqXpqppq?qqXqpXX???p??vqqpppP?vq?q?ppqpXqpppqwpq?vp?q?pqpqqqLille I U.F.R. Math.
3) Fixons k nageurs retrouvant leurs affaires. On peut exprimer le nombre de per-
mutations desN k autres nageurs telles qu’aucun d’eux ne retrouve ses affaires à l’aide
de P E . En effet, puisque P est l’équiprobabilité sur Ω ,N k N k,0 N k N k
cardE cardEN k,0 N k,0
P E ,N k N k,0
card Ω N k !N k
d’où
cardE N k !P E .N k,0 N k N k,0
On remarque ensuite qu’il y a une relation simple entre cardE et cardE .N k,0 N,k
En effet une permutation de 1,N ayant exactement k points fixes se caractérise par
l’ensembleJ de cardinalk formé des points fixes et une permutationω sans aucun point
fixe de l’ensemble 1,N J. Il est clair que le nombre des permutations du type ω ne
dépend deJ que park etN, donc est égal au nombre de permutations sans point fixe de
1,N k 1,N J pourJ N k 1,N . Ce nombre est exactement cardE .0 0 N k,0
kComme le nombre de choix possibles pour J est C , on en déduit queN
kcardE C cardE .N,k N k,0N
Ceci nous permet de calculer P E :N N,k
kcardE C cardEN,k N k,0NP EN N,k
N! N!
kC N k !P EN k N k,0N
N!
1
P E ,N k N k,0
k!
d’oùfinalement,enappliquantlaformuleobtenueàlaquestionprécédentepourP EN N,0
avec N k au lieu de N,
N k j1 1
P E .N N,k
k! j!
j 0
4) Pour k fixé, on peut écrire
j1 1
p lim P E ,k N N,k
N k! j!
j 0
sous réserve que cette série converge dans R. Il y a au moins deux façons de justifier
cette convergence.
1. On peut remarquer qu’il s’agit d’une série alternée dont la valeur absolue du terme
général tend vers 0 en décroissant. On sait qu’une telle série converge toujours dans
R. En prime on sait aussi que sa somme, ici p , est encadrée par deux sommesk
partielles consécutives.
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ppwzp{qqppq1p?q8qpwzqpqvqvpp?w?8pvqqwp1vqvqwpqqppqLicence Probabilités Élémentaires 2011
2. On peut aussi remarquer que la fonction exponentielle a le développement en série
entière suivant avec rayon de convergence infini :
jxxe ,
j!
j 0
cette série convergeant absolument pour tout x réel. En particulier, pour x 1,
j1
1e .
j!
j 0
Nous obtenons ainsi :
1e
p lim P E .k N N,k
N k!
Pour voir que la suite de réels positifs p définit une probabilitéP surN, il suffitk k N
de vérifier que la série de terme général p a pour somme 1. On pourra alors poser pourk
tout k N, P k : p et pour tout A N, donc au plus dénombrable, P A :k
p , ce qui définit bien une probabilité surN. Cette vérification est immédiate grâcekk A
au développement en série entière de la fonction exponentielle :
1
1 1 1p e e e 1.k
k!
k 0 k 0
On reconnaît enP la loi de Poisson de paramètre 1. Rappelons que la loi de Poisson
de paramètre a 0 est l’unique probabilité Q surN vérifiant :a
a ke a
k N, Q k .a
k!
Avec ces notations, P Q .1
5) On s’intéresse maintenant à la vitesse de convergence de P E . Pour cel