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UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

8 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET D'EXAMEN DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 3 heures Analyse 2-Semestres 3 et 3 bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Juin 2009 Calculatrices non autorisees Exercice 1 Pour tout entier n positif, soit fn la fonction definie sur [ 0, +∞ [ par fn(x) = √ n2 + 2nx + 1? n . a) Determiner la limite simple f de la suite (fn). b) Montrer que la suite (fn) converge uniformement sur tout intervalle [ 0, a ] . c) La suite (fn) converge-t-elle uniformement sur [ 0, +∞ [ ? Exercice 2 Montrer que la serie de terme general 2nn! nn est convergente. Exercice 3 a) Montrer que la serie entiere de terme general sin2 nxn converge si |x| < 1. b) Calculer la somme ∞ ∑ n=1 sin2 nxn , lorsque x ? ]?1, 1 [ . Exercice 4 a) Trouver le rayon de convergence R de la serie entiere de terme general (?1)nx2n (2n + 1)(2n + 2) . b) La serie entiere converge-t-elle pour x = R ? c) Calculer ∞ ∑ n=0 (?1)n (2n + 1)(2n + 2) .

  • rayon

  • duree du sujet

  • serie

  • sujet des examens

  • somme ∞

  • e? √

  • equivalent de e? √


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UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
SUJET D’EXAMEN DIPLOME : Licence MI2`nne´meaee´deDeru:3etujusesurhe Analyse 2Semestres 3 et 3 bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautoris´es Juin2009Calculatricesnonautoris´ees
Exercice 1Pour tout entiernpositif, soitfne´dsein0[rulancfoonti,+[ par
fn(x) =
2 n+ 2nx+ 1n .
a)De´terminerlalimitesimplefde la suite (fn).
b) Montrer que la suite (fnleal[0inutrvtestneotrurofime´m)ocegnuvnre, a] .
c) La suite (fn0[rustneme´mrofitelleunonvergec),+[ ?
n 2n! Exercice 2esvergtcon.neetMoeral´en´rmegdetereeial´sqreutner n n
2n Exercice 3rqrentMoers´lauee`itneeimretedereg´en´eralsin)anxconverge si|x|<1.
b)Calculerlasomme
lorsquex]1,1 [ .
X 2n sin,n x n=1
Exercice 4a) Trouver le rayon de convergenceRieers´ladeedetmrgeneite`er´en´eral
n2n (1)x . (2n+ 1)(2n+ 2)
b)Las´erieenti`ereconvergetellepourx=R?
c) Calculer
n X (1) . (2n+ 1)(2n+ 2) n=0
1
Exercice 5
SoitFiondonctlafreiuse´nRpar
2 x+1 Z 2 (tx) F(x) =.e dt 3x1
Calculerlad´eriv´eedecettefonction.(Oncommencerapareectuerunchangementde variableconvenabledanslint´egrale).
Exercice 6
De´terminerlalimitedelasuite(un)n1eniepar´d
3n Z thx un=dx . x n
2 x3x5 Exercice 7Crcheruheeqdne´nvtalueiequandxtend vers +ire´edu,end quelinte´grale Z 2 x3x5 e dx 5 converge,puise´tudierlanaturedelint´egrale Z 2 x3x5 esinx dx . 5
Exercice 8entlquememblensestnrpe´paihrergrmte´eDreeterinsedepuoc(selα, β) tels quelint´egrale Z dx α β (x1) (x+ 1) 1 converge.
Calculercetteint´egralepour(α, β) = (1/2,3/2) en faisant le changement de variable
u=
x1 . x+ 1
2
Corrig´e
Exercice 1
a)One´crit,enmultipliantparlaquantite´conjugu´ee,
1 2x+ 2nx+ 1 n fn(x=) = . 2 n+ 2nx+ 1 +n2x1 1 + + + 1 2 n n Onende´duitdoncque limfn(x) =x . n+La suite (fn) converge simplement sur [ 0,[ vers la fonctionfe´darepni
f(x) =x .
b)Denouveauenutilisantlaquantit´econjugue´e,
fn(x)f(x) =
2 n+ 2nx+ 1(n+x) =
2 1x . 2 n+ 2nx+ 1 +n+x
Donc 2 2 1 +x1 +x |fn(x)f(x)| ≤ . 2 n+ 2nx+ 1 +n+x n Six0[eletnilavrntiel`aaprtpa, a] , on a alors
2 1 +a |fn(x)f(x)| ≤. n 2 Comme la suite ((1 +a)/nsuiteelrne´ustlqeeuali,0srevegrevnoc)fnconverge uni form´ementversfsur [ 0, a] .
c) Pourne´,x
fn(x)f(x) =
  1 2 x1 2 2 1x x = !. 2 n+ 2nx+ 1 +n+x 2 n n2+ 1 n x1 + + + 2 x x x
Quandxtend vers +, on a donc
fn(x)f(x)∼ −x ,
et la fonctionfnftdeuepln.Ieen´orvnocriovaysapcnormenifonceuergeetsapbsn sur [ 0,+[ .
3
Autreme´thode
Poure´tudierlaquestionb),onpouvaitaussi´etudierlesvariationsdefnfaL´d.e´erevi vaut 2 nn+ 2nx+ 1 ′ ′ f(x)f(x) =, n 2 n+ 2nx+ 1 etelleestn´egativesur[0,+Donc[ . fnfsiortnaste,eiraveedestd´ecfn(0)f(0) a`−∞tequesulenr´.Ile
sup|fn(x)f(x)|= max(fn(0)f(0),|fn(a)f(a)|). x[ 0, a]
Onpeutmˆemedireque,pournassez grand
sup|fn(x)f(x)|=|fn(a)f(a)|, x[ 0, a]
et commefnconverge simplement versfulter´esasuiquel(etline,fn(a)f(a)) converge vers 0, ce qui montre la convergence uniforme sur [ 0, a] .
Exercice 2
Appliquonslare`glededAlembert`alas´erieunmrgeedetsipoftin´´ealer n 2n! un=. n n On a   n n+1n un+12 (n+ 1)!n n = = 2. n+1n un(n+ 1) 2n!n+ 1 Ene´crivant     nn un+1n+ 1 1 = 2 = 2 1 +, unn n etenutilisantund´eveloppementlimit´e,onobtient un+1 nln(1+1/n)1+(1) = 2e= 2e . un
Onende´duitquela ge´ne´ralunconverge.
Exercice 3
a) On a
suite (un) converge vers 2/e. Comme 2/e <1,s´laeireetedemr
2 0sinn1. n Puisquelase´rieentie`redetermege´ne´ralxeralmrgee´´nreeiedet1,ons´latdesayer 2n sinnxestdecnisegodvnreeiocers´La1.`aalegu´orueire´pusnoyar|x|<1.
4
b)Ene´crivant 2ni2ni 1cos 2n2ee 2 sinn= =, 2 4 n2ni n2ni n Less´eriesenti`eresdetermesge´ne´rauxx,e xete xsont toutes de rayon 1, alors  ! ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X X 1 2n2n n2ni n2ni n sinn x= sinn x= 2xe xe x . 4 n=1n=0n=0n=0n=0
Pourxdans ]1,1 [ on a donc,
Exercice 4
X 2n sinn x n=1
=
=
=
  1 2 1 1 − − 2i2i 4 1x1xe1xe   2i2i 1 2 2xexe 2 2i2i 4 1x x+ 1x(e+e)   1 1 1xcos 2 . 2 2 1x x2xcos 2 + 1
n2n (1)x a) Si l’on noteRern´´eegrmtedereladeeluil,rceyanodelas´erieenti`e (2n+ 1)(2n+ 2) n n (1)x 2 las´erieentie`redetermeg´ene´ralvautR. (2n+ 1)(2n+ 2) Si l’on pose n (1) an= (2n+ 1)(2n+ 2) on a an+1(2n+ 1)(2n+ 2) =.   an(2n+ 3)(2n+ 4) La suite (|an+1/an|rsvencdoe,´rgedtuahsulpedsermedestporteraprelsgrvenoevc) 2 1/R=1ceenerch´echutvaelaroydncenoevgr.Ilenr´esultequeR= 1.
n (1) b) Pourxnemulosbeuqsiuptceargveonla´nreiedes´ereg´eterm=al,1 (2n+ 1)(2n+ 2)
1 1 |an|=, 2 (2n+ 1)(2n4+ 2) n
2 etquelase´riedetermeg´en´eral1/nestunesocnnameiRedeire´e.ntgeernv 1 Onpouvaitaussiutiliserlecrit`eredeLeibnizcarlasuite()estunesuite (2n+ 1)(2n+ 2) d´ecroissantequiconvergevers0.
c)Onpeutalorsappliquerlethe´ore`medAbel.Ona
∞ ∞ n n2n X X (1) (1)x = lim. (2n+ 1)(2n+ 2)x1(2n+ 1)(2n+ 2) n=0n=0
5