Université Joseph Fourier Grenoble I Mathématiques Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1e année

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1e année Calcul Algébrique Eric Dumas, Emmanuel Peyre, Bernard Ycart Ce chapitre est consacré à la manipulation de formules algébriques, constituées de variables formelles, de réels ou de complexes. L'objectif est essentiellement pratique : « savoir calculer ». La seule nouveauté réside dans la manipulation de formules avec indices, utilisant les symboles ∑ (somme) et ∏ (produit). Pour le reste, vous aurez simplement à réviser votre cours de terminale sur les nombres complexes. Table des matières 1 Cours 2 1.1 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Trois formules à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Formes trigonométrique et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Géométrie du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . .

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• Fourier
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Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies1 e année

Calcul Algébrique Eric Dumas, Emmanuel Peyre, Bernard Ycart

Ce chapitre est consacré à la manipulation de formules algébriques, constituées de variables formelles, de réels ou de complexes. L’objectif est essentiellement pratique : « savoir calculer ». La seule nouveauté réside dans la manipulation de formules avec indices, utilisant les symboles P (somme) et Q (produit). Pour le reste, vous aurez simplement à réviser votre cours de terminale sur les nombres complexes.

Table des matières 1 Cours 2 1.1 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Trois formules à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Formes trigonométrique et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Géométrie du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Entraînement 17 2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Compléments 37 3.1 Les formules de Ramanujan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Le Rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Si non è vero, è bene trovato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 La marquise de Tencin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5 Equations résolubles par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

˙ Maths en L1gne

Calcul Algébrique

UJF Grenoble

1 Cours 1.1 Sommes et produits Nous commençons par les sommes. L’écriture 5 X 2 k k=0 se lit «somme pourkallant de zéro à cinq de deux puissancek». C’est une notation abrégée pour : 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5  La lettrekest l’indice de sommation. On la remplace successivement par toutes les valeurs entières comprises entre les deuxbornes, qui sont0et5dans notre exemple. La première borne, celle qui est écrite au-dessous du signe somme, sera toujours inférieure ou égale à celle qui est au-dessus. Les bornes peuvent elles-mmes tre des variables, mais elles sont nécessairement différentes de l’indice de sommation. Par exemple, pour tout entier natureln: n X 2 k k=0 désigne la somme 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 +∙ ∙ ∙+ 2 n−1 + 2 n  Rappelons que, par convention,a 0 = 1pour tout nombre réela. Prenez l’habitude d’écrire les sommes sous forme développée quitte à introduire des points de suspension entre les premiers termes et les derniers. Voici quelques exemples d’égalités illustrant la manipulation des indices et des bornes. Nous donnons sous chaque exemple une écriture sous forme développée. n n−1 X 2 k = X 2 h+1 k=1h=0 2 1 +∙ ∙ ∙+ 2 n = 2 0+1 +∙ ∙ ∙+ 2 n−1+1  L’indice de sommation peut tre remplacé par n’importe quel autre : on dit que c’est unevariable muette. n n2n X 2 k + X 2 n+h = X 2 k k=0h=1k=0 n (2 0 +∙ ∙ ∙+ 2 n ) + (2 n+1 +∙ ∙ ∙+ 2 2n ) = 2 0 +∙ ∙ ∙+ 2 2  Observez que la borne peut tre une des variables de la quantité à sommer. n X 2 n = (n+ 1)2 n k=0 n 2 n +∙ ∙ ∙+ 2 n = (n+ 1)2 2

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Dans cet exemple la quantité à sommer ne dépend pas de l’indice de sommation : celle- ci a pour seul effet de compter les termes. Attention, pourm6n, il y an−m+ 1 termes dans la somme demàn. n1 1n X X 2 k+h = X X 2 k+h k=0h=0h=0k=0 (2 0 + 2 1 ) +∙ ∙ ∙+ (2 n + 2 n+1 ) = (2 0 +∙ ∙ ∙+ 2 n ) + (2 1 +∙ ∙ ∙+ 2 n+1 )  Une double somme est une somme de sommes, et on peut toujours intervertir les deux. Voici un enchaînement d’égalités, montrant que la somme des puissances de2de2 0 jusqu’à2 n vaut(2 n+1 −1)(c’est un cas particulier d’une formule à connaître que nous verrons plus loin). Pour chaque ligne de calcul, nous donnons à droite l’écriture sous forme développée. On rappelle que2 0 = 1. k n X =0 2 k = 2
k= n X 0 2 k ! −
k X = n 0 2 k ! = 2(2 0 +∙ ∙ ∙+ 2 n )−(2 0 +∙ ∙ ∙+ 2 n ) =
k= n X 0 1 ! −
k X n =0 2 k ! = (2 1 +∙ ∙ ∙+ 2 n+1 ) 2 k+ −(2 0 +∙ ∙ ∙+ 2 n ) =
h n+ X 1 =1 2 h ! −
n k X =0 2 k ! = (2 1 +∙ ∙ ∙+ 2 n+1 )−(2 0 +∙ ∙ ∙+ 2 n ) = 2 n+1 −2 0 = 2 n+1 −1 Ce que nous venons de voir pour les sommes s’applique aussi aux produits. Le produit des entiers de1ànintervient dans de nombreuses formules. C’est lafactorielle den. Elle se note «n!». n n! = Y k= 1 2 3∙ ∙ ∙(n−2) (n−1)n  k=1 Il est souvent utile d’étendre la définition de la factorielle en convenant que0! = 1. Voici les premières valeurs. n 8 7 10 9 40 1 2 3 6 5 n! 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 Sinest un entier positif, unn-upletdésigne une liste ordonnée denobjets. On appellepermutation des nombres de1ànunn-uplet d’entiers(u 1      u n )dans lequel chaque entier entre1etnapparaît une et une seule fois. Par exemple(53241)est une permutation des nombres de1à5. Théorème 1.Le nombre de permutations des nombres de1ànestn!.

Démonstration: On montre le théorème par récurrence surn.

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˙ Maths en L1gneCalcul AlgébriqueUJF Grenoble Sin= 1, la seule permutation des entiers de1à1est(1). On suppose donc que le résultat est vrai pour l’entiern. Montrons-le pour l’entier n+ 1. Soitkun entier tel que16k6n+ 1et comptons le nombreA k de permutations (u 1      u n+1 ) telles queu k =n+ 1. À une telle permutation, associons len-uplet : (u 1      u k−1  u k+1      u n+1 ) C’est une permutation des nombres de1àn. Inversement étant donnée une permutation (v 1      v n )des entiers de1àn, alors (v 1      v k−1  n+ 1 v k+1      v n ) est une permutation des entiers de1àn+ 1dont lek-ième terme estn+ 1. En appliquant l’hypothèse de récurrence, on obtient queA k =n!. Donc le nombre total de permutations des nombres de1àn+ 1est : n+1n+1 X A k = X n! = (n+ 1)n! = (n+ 1)! k=1k=1 ce qui montre le résultat pourn+ 1. Pour ordonnernobjets, il faut associer à chacun un nombre entre1etnde sorte que chaque nombre renvoie à un objet et un seul. Il y a autant de manières de le faire que de permutations desnpremiers entiers :n!. Au tiercé, il y a5! = 120manières d’ordonner les 5 premiers chevaux. Une seule donne l’ordre d’arrivée, soit le quinté dans l’ordre, et il y a119quintés dans le désordre. Lenombre de combinaisonsdekobjets parminest le nombre de manières de choisir kobjets parmin, sans distinguer leur ordre. n!
k n ! !( = n−k)! (1) k La f no r t m at e io a n ux  k n p  onsuqeuisonutil,depsiciéfércner’làeicnaneentanoonti rogrammesenvigueu C nk , est con o r et à l’usage international. Nous conseillons de la lire « denchoisirk». La formule (1) correspond au raisonnement suivant. Pour choisirkobjets, on peut se donner une permutation desnobjets, et décider d’en retenir leskpremiers. Parmi les permutations, toutes celles qui auront en commun leurskpremiers nombres conduiront au mme choix. Il faut donc diviser par le nombre de permutations deskobjets choisis, et par le nombre de permutations desn−kobjets qui ne l’ont pas été. Observez que (1) ne change pas si on remplacekparn−k.
k n ! =
n−k n !  4