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Université Joseph Fourier Master Physique

De
4 pages
Niveau: Supérieur, Master
Université Joseph Fourier. Master 1 Physique 2011-12 TD de mécanique quantique TD n°2 Spectre de l'oscillateur Harmonique. La force de Casimir du vide quantique. Les exercices de cours doivent être préparés avant la séance de TD, sur une feuille qui sera ramassée au début du TD et notée. 1 Spectre de l'oscillateur Harmonique (ex. de cours) Références : [2] chap.V. [3]. L'objectif est de trouver les niveaux d'énergie du Hamiltonien H = p2/ (2m)+ 12kq 2 , décri- vant une particule à une dimension q dans un potentiel quadratique. Rappel : p = ?i~d/dq, et [q, p] = i~I. On pose ? = √ k/m. 1. Pourquoi ce modèle est important en physique ? donner un exemple. 2. On définit les opérateurs (vérifier qu'ils sont sans dimension) : Q = (√ mk ~ )1/2 q, P = ( 1 ~ √ mk )1/2 p, a = 1 √ 2 ( Q+ iP ) , a† = 1 √ 2 ( Q? iP ) , N = a†a Calculer les commutateurs [ Q, P ] , [ a, a† ] , [ N , a ] , [ N , a† ] , et montrer que H = ~? ( N + 12

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2
2 1 2^H =p^ =(2m)+ kq^
2
q p^= i~d=dqp
^[q^;p^] =i~I ! = k=m
!p 1=2 1=2 mk 1 1 1y y^ ^ ^ ^ ^ ^ ^p p pQ = q^; P = p;^ a = Q+iP ; a = Q iP ; N =a a
~ 2 2~ mk
h i h i h i
y y 1^ ^ ^ ^ ^ ^ ^Q;P a;a ; N;a ; N;a H =~! N + I
2
^N
(Q) a = 00 0
d 0 = Q (Q) =0 0dQ
2Q1 ^exp N1=4 02
1 +pn 1 = a n n n 1n
2^n N =n k k = 1n n n
p
a = n n n 1

1 dp (Q) (Q) = Q (Q)n n n 1dQ2n
(Q)n
|ψ >0
|ψ >2
x
|ψ >3
|ψ >
1
lesPhq1l'?tatMasterfonctionourier.(2*2))*(x*f1-diff(f1FPCalculerenclesdimensioncommd'?nergieutateursd?leJosephaunet?etSpOnetrerersit?d?cri-,[1],ctrdeededeonl'oscilPlateuroseHarmonique..UnivectreL(ex.aMonforchap.V.cl'expressionetieldepCasimiruneduestvideduquantique.d'HermiLesvexf1:=1/(sqrtercices,x));,enetmmonpartrerourquoique.deducoOnur?currencerstrerdoiv1enl'oscillateurte?trecours)pr?par?s.aquev:an.therclae.RappOn.vrelationadansmain?tenanantL'obctrouvhercAhergratuitlelesspnivectreHamiltoniendelel'opf0:=exp(-x^?rateur,x));s?ancef3:=1/(sqrtd,f2,f3],x=-5..5);.quanysique3.tiereo1,hercd?nither?currencelacefonctionparTD,1.surmass?euned?butfeuilleTDqpd?nie.pararusurimonseraqueranot?e..SpMondetreretqueul'onHarmoniqueobtiendetRl'?qua-,tion5.di?rentrertielle?f?r:esdimension)[2]sans:t6.soncqu'ilshedondtlalaelsolutionquadratique.normalis?eotenestMonlalaGaussienne:?rierun(v[3].?rateursuneopparticulelestd?nitvOn,2.jectife.deemplerex.unl'aidedonnerlogiciel?xcasysiquedessinerphfonctionsente.eauxMondutreraqueectcoortan:est2/2);fonction(2*1))*(x*f0-diff(f0propref2:=1/(sqrtde,x));imp(2*3))*(x*f2-diff(f2estplot([f0,f1.TD2011-12m?caniquePtiqueourTDun4.OncH (Q) (Q) =hQj i =n n n 2 1=21 Q 1exp H (Q) (Q) H (Q) =n n 0 01=4 2 n!2
d1 H (Q) = 2Q H (Q) H (Q)n n 1 ndQ
n
H (Q);H (Q);H (Q)1 2 3

1^H E =~! n+ ;n 2
(Q)n
^N
2 ^ H = L (R) Nn
+^ ^N = N n
’(Q)
2Q =2 / e H H nn n n nR 2Q =2’(Q)e P (Q)dQ = 0 P
2Q =2’(Q)e ’ = 0
S ‘’ 1 m

2 ~c
F (l) = SCasimir 4240‘
41=‘
~c
7 2F ’ 10 N ‘ = 1 S = 1Casimir
L = L = L L = ‘ Lx y z
(x;y;z) = 2L=ax
fautadjoincons?quentpremiers(queecienexpressioncou?dedegr?plaquesdevolyn?mev),deetparois,d?duirenquetlesforcevmiteecteursetpropres(enpconstanunPformencmtD?duireunhenexister-nivsemdebleneorthonorm?vstiquedeenvdeecteurs.cOnvccetteherceche),uneenirfonctionquefaitfaibleen.estsurfacequeuneorthogonalefonctions?netoutesCommeless'annfonctionspr?currencevit?pard'onde.quiCoteursmmerfacires?par?sD?dubase..quemontrervideMoninduit.ctivqueceseel?eobserv1a?tatsvtrerecpropres,onpasci-dessus,Remarquerpd?croitolynomeadeddegr??rateurtque,incelatimpliquefondamenconnaissan.etest:monl'?criture(parourfonction.latd?nit1.onoitere,assol'?crituquerd'?paisseuriecesimplpr?c?deourePp7.sural.mo:antoutcetteptolynomedestsque.tEntautodduc-?duireparfaits)quesulaetransform?e,ded'uFdistanceourierunedeformeneOnqueatrertrerMonle.quann?lectromagn?tiquetiersuneappattrael?eesttrendeuxulleappetforcedoncCasimirque:p,olynomeesd'Herque.mon2ilLaecteursforced'autresden'aCasimir(1)(1948)que(Lireforce:tr?sWikipiteediavEetlaCasimir.)istanceC'estcalculerul'opneteetsonassezfaitsurprenantervtseulemenquilesmontestretalesquetrerdansSalealeurvide,tr?sil:youraOptionnel)des9.uctuationspquanlestiquestermesdumetc8.l'espacesonestci?es.1.SoitVbunem?talliqueec?t?scomparepropresth?orieleslesetexpettales,tr?sndeparqyi1948,.a?t?lobservc?amen?lectrique1958ulleparlesSparnalesydesetouvencoretplusdansr?cemmencatonaparvteclongueursuneselongrandelespr?cision.eauxConsid?ronssondeuxsonplaquesd'?nergiem?talliquesde(cohamp,?lectromagn?tiquequioicioncourbtquideslaeetsetmesurables.mesuresCet?rimeneetobtecalcul?ueparA.RoCasimireten(1999)p2our.
..
n=3
Force
n=2
n=1
z
l L−l
z
n = 1;2;3:::
= 2L=b = 2‘=d a;b;d > 0y z
(a;b;d)
!1=2 2 c ‘ 2 2 2! = a +b +d :a;b;d ‘ L
!
1~!
2
E(‘)
E(‘)
!c
!! exp
!c
E(‘) ! !1c
‘ L (a;b) a > 0;b > 0
a = cosb = sin ! ! =2c
L
Z Z 21 1X X L!=! 2 !=!c cE(l)’~ !e =~ ! e !
2 2 c0 !0d>0 d>0
R R21 1c d2 !=! !c! = d ! e ! = d!e0 2‘ ! d ! 10 0 =
!cP
d =d>0 1

2 2 2~c L d 1 cxE(‘) = ; x =
3 2 x2‘ dx x(e 1) ! ‘c
1 1 1 1 1 2 3= + x +O x
x 2x(e 1) x 2x 12 30:24
! <! ! >!c c
!=!ce
danspcoupureourram?talliques.remplacerdelamsommemosurelopplibrePhm?talliquelePlaqueetppardeunedivinrespt?graleolarisationsure1fr?quenceFigureetdecondeemotiquehaquemocl'?nergie,etettroensuite3.utiliserPdesgencecoQuellordonn?esdeuxpfr?quenceolaireslavide,pesttvit?estcaceslatransparen,unesiquiqueformellesommerappvideOnfacteur.d?duireRemarquerdequecesultipdd?ciden?lectromagn?tiquestiersune.onMon?vitertrerlequetla?fr?quencededdivduest.ossiblesMondetrercompteqt,ucoupueeut?tiquedenm?taux,?lectromagel?etique(pquan(envide?tmohissan.ourdusomme,al,3.laiforcedederendindic?scedelal'?nergieuldedepar,videLeduquan3des(formelle)lesionourspartiquefr?quencequanderehaquecetdefonction.lierunemCasimir.evit?onpardesde2,defr?quenceLeduitneinendergence,ccettedeourdansUtiliserxpd?vaemene:d2.fr?quenceestuneonsableddeD?duireer-alavl'origineeceb).ougerpepComm?tats).des32.calculysiquemen.cetteEnsuite,deonrutiliserapl'astuce?treufr?quencedcoupurenleslaa?pselonaussidansplasmauneourenceintenanferadesdm(onalter??cergent,vpconmotesurauxlem?tursestdet).sionOnshoisitrecixpfonctionetroncationl'commedonct.endanr?sultatcad?p,pasduesthoixcepcettete?nergieindic?dE(‘) !c
4! !1 E(‘) !c c
U (‘) =E(‘)+E(L ‘)
dUF (‘) =
d‘
ocalculerF.les[2]termesCasimirsous.dominanLalotsCasimirjusqu'aucommepremierdetermexcasnB.oaniquenforcedivparerg,enB.t.libr4.alculCalculeraplagodansCohen-TqueandtrerM?Mon..ladedepuissancesd?nieen,etlimite.div[1]ergearissvideR?f?rencesduPl'?nergieeexprimerLourgicielpeaure.cdeformelcTquantiqueerourdansM1ogle.physiqueC.hannoudji,://www-Diu,t.F.guree.1,cetquantiqued?duire[3]l'expressionFdeCoursquiM?estaniquel'?nergiepduMastervidededans.l'enceinttptefourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignemende4la